拓展专题04 圆锥曲线的第二定义、第三定义及应用6大考点38题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

拓展专题05 圆锥曲线的第二定义、第三定义及应用 考点01 圆锥曲线的通径问题(共5小题) 6 考点02 椭圆中的焦点弦与焦半径问题（共6小题） 8 考点03 双曲线第二定义的应用（共7小题） 13 考点04 抛物线中的焦点弦及焦半径问题(共8小题) 18 考点05 椭圆第三定义的应用(共6小题) 25 考点06 双曲线第三定义的应用(共4小题) 29 【重要方法与结论】 一、圆锥曲线的第二定义及焦半径公式 1.圆锥曲线的统一定义 平面内到一个定点F与到一条定直线l(l不过点F)的距离之比等于常数e点的集合叫作圆锥曲线. 这个定点F叫作圆锥曲线的焦点，这条定直线l叫作圆锥曲线的准线，常数e叫作圆锥曲线的离心率． 当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆； 当e>1时，圆锥曲线是双曲线； 当e=1时，圆锥曲线是抛物线． 2.椭圆的第二定义 (1)如图,平面内到定点(或)的距离与到定直线(a>c>0)的距离之比为常数的点的轨迹叫做椭圆.其标准方程为,其中. (2)定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是椭圆的离心率e. 3.双曲线的第二定义 (1)如图,平面内到定点(或)的距离与到定直线(c>a>0)的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线.其标准方程为,其中. (2)定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是双曲线离心率e. 4.椭圆、双曲线的焦半径公式 （1）焦半径：椭圆（双曲线）上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径. （2）椭圆的焦半径公式 ①当椭圆的焦点在x轴上时，设分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的任一点，则,. 推导如下：由椭圆的第二定义，得（为点P到左准线的距离），则同理，得 ②类似可得，当椭圆的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是椭圆上的任一点，则,. （3）双曲线的焦半径公式 ①当双曲线的焦点在x轴上时，设分别为双曲线的左、右焦点,点是双曲线上的任一点，则,. ②类似可得，当双曲线的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是双曲线上的任一点，则,. 二、椭圆与双曲线的第三定义 1.椭圆的第三定义 已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时，有，，则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的椭圆． 2.双曲线的第三定义 已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时有，， 则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的双曲线． 注：第三定义及对应的结论在小题中可以直接使用，在大题中不能直接使用． 3．统一形式 已知点，是椭圆或双曲线上关于原点对称的两点，是椭圆或双曲线上异于，的一点，且，存在，则（其中，为椭圆或双曲线的离心率）． 4.图形扩展：两种特殊情形 图中，为椭圆的切点，则； 图中，为线段的中点（，分别在双曲线的两条渐近线上），则． 三、由两个定义推导出的重要结论 1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则 (2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则 2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: (2)为双曲线的上、下焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: 3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 (2)为椭圆的上、下焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 特殊情形，对于焦点在轴上的椭圆，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 (2)为双曲线的上、下焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 特殊情形，对于焦点在轴上的双曲线，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 轴上, (2) 焦点在 轴上, 6. 椭圆的角度式焦半径公式 设是椭圆上任意一点，为它的一个焦点，，则 注:上述公式定义为圆锥曲线上的点,为焦点 7. 双曲线的角度式焦半径公式 设 是双曲线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 与 位于 轴的同侧时取正，否则取负. 取 ，无需讨论焦点位置. 8. 抛物线的角度式焦半径公式 已知 是抛物线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 9. 椭圆其他斜率形式拓展 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有. 考点01 圆锥曲线的通径问题(共5小题) 1.抛物线的通径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将抛物线方程，化为标准方程，再利用通径公式求解. 【详解】抛物线方程，化为标准方程为， 所以通径． 故选：D 2．过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出直线与双曲线交在一支的最小值和交在两支的最小值，建立关于的齐次不等式，即可求出离心率的范围. 【详解】当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，易知为双曲线的通径时取值最小， 令，得，则，故，即有最小值为； 当直线与双曲线的交点在两支上，易知直线的斜率为0时，即为实轴时最小，最小为2a； 由题意可得，即为，即有，则离心率, 又双曲线的离心率，故． 3．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用通径公式结合题意列出关系式，即可求解. 【详解】根据题意，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为， 则，得， 即，所以的离心率为． 故选：C 4．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，令椭圆为且，结合已知有、求椭圆参数，即可得方程. 【详解】由题设，令椭圆为且，其中， 由，得，故， 所以，可得（负值舍），则， 故椭圆方程为. 故选：B 5．(多选)（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）若双曲线的实轴长为，焦距为，右焦点为，则下列结论正确的是（    ） A．的渐近线上的点到的距离最小值为 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为 D．过的通径长为 【答案】ACD 【分析】根据题意求得双曲线方程，再根据双曲线的性质对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】由题意可得2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5，b＝＝4，则双曲线. 右焦点F(5，0)，渐近线的方程为4x－3y＝0，所以C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离d＝＝b＝4，所以A正确； 离心率e＝＝，所以B不正确； 双曲线上，顶点到焦点的距离最小，5－3＝2，所以C正确； 过焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长为＝，故D正确． 故选：ACD. 考点02 椭圆中的焦点弦与焦半径问题（共6小题） 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解. 【详解】设，则由焦半径公式得， 同理，. 因此. 的倾斜角为，∴直线的斜率， 根据弦长公式，可得. 由，可得，故. ． 故选：A 7．已知椭圆的右焦点为.点为椭圆上不同的两点，且满足.过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示：过作准线于，准线于点，计算，根据勾股定理结合均值不等式计算得到答案. 【详解】如图所示：过作准线于，准线于点，，， 则， ， 根据均值不等式：，即， 即，当时等号成立，即. 故选：C. 8．（23-24高二上·北京东城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围. 【详解】如下图所示：    （1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形， 此时，有个满足条件的等腰； （2）当构成以为一腰的等腰三角形时， 以为底边为例，则或，此时点在第一或第四象限， 由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形， 不妨设点在第一象限，则，其中， 则， 或， 由可得，所以，，解得， 由可得，所以，，解得， 综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是. 9．过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（    ） A． B． C． D．与弦斜率有关 【答案】B 【分析】不妨设为椭圆的右焦点，，，利用椭圆的右焦半径公式，， 联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，将式子化简整理可得． 【详解】令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 所以，， 又，，所以， 综上，. 故选：B. 10.人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆（）上动点到左焦点的距离和动点到直线的距离之比是常数.已知椭圆：，为左焦点，直线：与轴相交于点，过的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），分别过点，向作垂线，垂足为，，则（    ） A． B． B． 直线与椭圆相切时， D． 【答案】ABD 【分析】对A：由判断；对D：作轴于，表示出，根据A结论判断；对B：利用D结论可判断，由角平分线性质得结论；对C：根据D结论可判断当且仅当时与椭圆相切即可. 【详解】 对A：由条件知：，故，故A正确； 对D：作轴于，则， ，所以，故D正确； 对B：同D知：， 因为，所以， 所以，即平分， 由角平分线性质知即，故B正确； 对C：下面证明当且仅当时与椭圆相切， 因为，所以时当且仅当，此时点是唯一的，故与椭圆相切 当时，，满足条件的有两个，即点有两个，此时与椭圆相交， 故当且仅当时与椭圆相切，此时，故C错误. 故选：ABD 11.已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，点在椭圆上，则的最小值是 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 3 【分析】根据椭圆方程求出离心率与右准线方程，设在右准线上的射影为，利用椭圆的第二定义，把转化到右准线的距离，利用“两点间的距离最短”和条件，求出最小值以及对应的点的坐标． 【详解】解：由椭圆的方程，可知，，，所以，右准线． 如图，设在右准线上的射影为， 根据椭圆的第二定义，有，即，所以． 显然，当、、三点共线时，有最小值， 即． 此时，将代入椭圆的方程得或（舍去），所以． 考点03 双曲线第二定义的应用（共7小题） 12．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线左支上的点到的距离最小值，可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】双曲线左支上一点为，则，且， 则，则， 由已知可得，解得，因此，双曲线方程为. 故选：B. 13．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可 【详解】    如图所示，设双曲线实轴长为，则， 所以由焦半径公式得， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故选：A 14．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，求出点到双曲线焦点距离的最小值为，再利用直线与双曲线无公共点可得出，可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【详解】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为， 若取最小值，则点在双曲线的右支上，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 联立可得， 因为与直线无交点，则， 即，因为，解得. 故选：B. 15．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A．    B．    C．    D． 【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解. 【解析】设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于， 如图所示： 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， ∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵，∴，∴ 故选：B 16.过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为， 则， 所以， 设，则， 所以，，即， 所以， 所以，当且仅当即时，等号成立， 故选：C. 17．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【答案】8 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 18．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 【答案】 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可. 【详解】由题意可知， 代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以双曲线方程为：， 设， 则，同理， 因为，则， 故答案为：. 考点04 抛物线中的焦点弦及焦半径问题(共8小题) 21．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 22．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】写出直线方程与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，利用焦点弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得直线，与抛物线方程联立， 得. 设，，则，所以，故. 故选：A 23．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 24．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可． 【详解】 如图，设抛物线的焦点坐标为， 焦点为， ，得，即抛物线方程为， 当轴时，易得，，则， 则； 当不垂直轴时，设斜率为，，， 则直线的方程为， ，代入 可得，即， 则，， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则，， ， 则， 于是，， 当且仅当，即时取等号. 综上：因,故 的最小值为. 故选：C. 25．（多选）（25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，则（    ） A．的坐标为 B． C．若，则 D．为钝角 【答案】BCD 【分析】根据抛物线方程得交点坐标即可判断A；根据直线斜率是否存在，分类讨论并结合韦达定理即可判断B；根据抛物线定义即可判断C；利用韦达定理及向量的数量积公式即可判断D. 【详解】如图： 选项A，由已知得焦点，所以A不正确； 选项B，当直线的斜率不存在时，，，则， 当直线的斜率存在时，设其方程为，与抛物线方程联立， 得，则，，所以B正确； 选项C，由抛物线定义知，，若，则，所以C正确； 选项D，由， 则，所以为钝角，所以D正确. 故选：BCD. 26．(多选)（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义，可判断A的真假；写出直线的方程，与抛物线方程联立，求出点的横坐标，结合抛物线的定义，可判断BCD的真假. 【详解】对A：根据抛物线的定义可得，又轴，，所以，所以为等边三角形，故A正确； 对B：因为，直线方程为：，代入抛物线方程得：， 整理得：， 所以，. 根据抛物线的定义：，. 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由AB可知，，所以，故D正确. 故选：ACD 27．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为 . 【答案】 【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，设，则，利用即可求解. 【详解】当直线斜率为正时，如图所示， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线定义可知，，， 所以，， ， 在中，， 则直线 的斜率. 由对称性可知，当直线斜率为负时，. 故答案为： 28．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由抛物线定义得到边相等，根据等边对等角得到，根据平行得到角相等，从而得到平分．同理可得平分，即可得到结果. 【详解】解法1  如图，由抛物线定义易知， 根据等边对等角，所以， 因为轴，根据两直线平行，内错角相等，从而，所以平分． 同理可得平分，所以． 解法2  抛物线的焦点为，由题可知的斜率不为0， 故设直线的方程为， 令，，则，， 联立直线与抛物线方程得，消去整理得， 则，． 又，，所以， 则，则． 考点05 椭圆第三定义的应用(共6小题) 29.(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A.B.C. D. 【答案】A 【详解】法一：设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以kAP·kAQ＝·＝＝　①.因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)，代入①式，得＝，所以e＝＝.故选A. 法二：(第三定义)：设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e＝.故选A. 30.如图所示，A1，A2是椭圆C：的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝ A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】设，，求出直线的方程为，的方程为，联立可得，结合，可得，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】设，，则直线的斜率为， 由，所以直线的斜率为． 于是直线的方程为：． 同理，的方程为：． 联立两直线方程，消去，得． 因为在椭圆上，所以， 从而．所以． 所以，故选A. 31.已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 【答案】 【分析】利用椭圆的第三定义得到即可求解. 【详解】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点，又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率． 32.如图，已知椭圆的离心率，，是椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（与，不重合），令，，则 ． 【答案】## 【分析】根据椭圆上的点与椭圆两顶点连线的斜率关系推得，从而得到，对所求式结合图形消去，利用和角公式展开，化弦为切后代入结论即得. 【详解】如图， ，设 ，则直线，的斜率分别为： 因，故有， 由 令，又，由图知， 则 故答案为：. 33.已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆上存在一点P，使，可知点P既在椭圆上，又在以为直径的圆上．根据条件写出圆的方程，将其与椭圆的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，可求得，然后由椭圆的几何性质可得，化简可得a,c之间的关系，进而可得离心率的范围。 【详解】设点．由知，点在以为直径的圆上． 圆的方程是，即。 　① 又点在椭圆上，故 　② 把①代入②，得.故， 因为，所以. 又，∴ ，即， 两边同处，整理得：，即， 解得：或， 又，∴所求椭圆的离心率的取值范围是， 故答案为：. 34.已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线过点且与轴垂直，点是椭圆上异于的动点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率是 ． 【答案】 【分析】依题意，不妨取点为椭圆的上顶点，表示出直线，从而得到的坐标，由两直线垂直，可得斜率乘积为，从而得到、的关系，再求出椭圆的离心率； 【详解】解：不妨取点为椭圆的上顶点如图所示， 则：，则，所以，又因为，，所以，所以，所以 所以 故答案为： 考点06 双曲线第三定义的应用(共4小题) 35.已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为2，则双曲线的离心率为（    ） A．              B．               C．    D． 【分析】先利用双曲线的第三定义得到，再利用基本不等式进行求解. 【详解】由，得，所以，即．故选A． 【温馨提醒】根据双曲线的第三定义可知，如果关于原点对称的点，在双曲线（，）上，而是双曲线上满足条件的任意一点，则，利用该定义可以简化运算过程，提高解题速度． 36.双曲线的左、右顶点分别是，，为上任意一点，若直线，的斜率之积为4，则双曲线的离心率为（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，利用点在双曲线上进行消元化简得，易求离心率. 【详解】 如图，，设 ，则直线，的斜率分别为： 因，故有，则 ， 于是， ．故. 故选:B． 37.双曲线的渐近线方程为 ；设、分别为的左、右顶点，为上的一点，若，则 . 【答案】， 【分析】由双曲线的标准方程可求得该双曲线的渐近线方程，设点，计算得出，再利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】由题，，渐近线方程为. 设，由题设，， 又，，即，即， ，，. 38.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上两点M，N关于原点对称，P为双曲线上的点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若k1·k2＝，则该双曲线的离心率为_____ 【答案】 【详解】设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，所以kPM·kPN＝·＝.因为－＝1，－＝1，两式相减可得＋＝0，即＝.因为kPM·kPN＝，所以＝，所以e＝＝＝.故选A. 15 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题05 圆锥曲线的第二定义、第三定义及应用 考点01 圆锥曲线的通径问题(共5小题) 6 考点02 椭圆中的焦点弦与焦半径问题（共6小题） 7 考点03 双曲线第二定义的应用（共7小题） 8 考点04 抛物线中的焦点弦及焦半径问题(共8小题) 9 考点05 椭圆第三定义的应用(共6小题) 10 考点06 双曲线第三定义的应用(共4小题) 11 【重要方法与结论】 一、圆锥曲线的第二定义及焦半径公式 1.圆锥曲线的统一定义 平面内到一个定点F与到一条定直线l(l不过点F)的距离之比等于常数e点的集合叫作圆锥曲线. 这个定点F叫作圆锥曲线的焦点，这条定直线l叫作圆锥曲线的准线，常数e叫作圆锥曲线的离心率． 当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆； 当e>1时，圆锥曲线是双曲线； 当e=1时，圆锥曲线是抛物线． 2.椭圆的第二定义 (1)如图,平面内到定点(或)的距离与到定直线(a>c>0)的距离之比为常数的点的轨迹叫做椭圆.其标准方程为,其中. (2)定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是椭圆的离心率e. 3.双曲线的第二定义 (1)如图,平面内到定点(或)的距离与到定直线(c>a>0)的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线.其标准方程为,其中. (2)定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是双曲线离心率e. 4.椭圆、双曲线的焦半径公式 （1）焦半径：椭圆（双曲线）上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径. （2）椭圆的焦半径公式 ①当椭圆的焦点在x轴上时，设分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的任一点，则,. 推导如下：由椭圆的第二定义，得（为点P到左准线的距离），则同理，得 ②类似可得，当椭圆的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是椭圆上的任一点，则,. （3）双曲线的焦半径公式 ①当双曲线的焦点在x轴上时，设分别为双曲线的左、右焦点,点是双曲线上的任一点，则,. ②类似可得，当双曲线的焦点在y轴上时，设分别为椭圆的下、上焦点,点是双曲线上的任一点，则,. 二、椭圆与双曲线的第三定义 1.椭圆的第三定义 已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时，有，，则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的椭圆． 2.双曲线的第三定义 已知点，是关于原点对称的两个点，如图，且当点不与点，，，重合时有，， 则点的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e，且过点，的双曲线． 注：第三定义及对应的结论在小题中可以直接使用，在大题中不能直接使用． 3．统一形式 已知点，是椭圆或双曲线上关于原点对称的两点，是椭圆或双曲线上异于，的一点，且，存在，则（其中，为椭圆或双曲线的离心率）． 4.图形扩展：两种特殊情形 图中，为椭圆的切点，则； 图中，为线段的中点（，分别在双曲线的两条渐近线上），则． 三、由两个定义推导出的重要结论 1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则 (2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则 2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: (2)为双曲线的上、下焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 (1)在同支弦， (2)在异支弦， 综合(1)(2)可统一为: 3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 (2)为椭圆的上、下焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于两点，则 其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 特殊情形，对于焦点在轴上的椭圆，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 (2)为双曲线的上、下焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则 其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 特殊情形，对于焦点在轴上的双曲线，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长. 5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 轴上, (2) 焦点在 轴上, 6. 椭圆的角度式焦半径公式 设是椭圆上任意一点，为它的一个焦点，，则 注:上述公式定义为圆锥曲线上的点,为焦点 7. 双曲线的角度式焦半径公式 设 是双曲线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 与 位于 轴的同侧时取正，否则取负. 取 ，无需讨论焦点位置. 8. 抛物线的角度式焦半径公式 已知 是抛物线 上任意一点， 为它的一个焦点， ，则 9. 椭圆其他斜率形式拓展 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有. 考点01 圆锥曲线的通径问题(共5小题) 1.抛物线的通径长为（    ） A． B． C． D． 2．过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．(多选)（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）若双曲线的实轴长为，焦距为，右焦点为，则下列结论正确的是（    ） A．的渐近线上的点到的距离最小值为 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为 D．过的通径长为 考点02 椭圆中的焦点弦与焦半径问题（共6小题） 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的右焦点为.点为椭圆上不同的两点，且满足.过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·北京东城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（    ） A． B． C． D．与弦斜率有关 10.人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆（）上动点到左焦点的距离和动点到直线的距离之比是常数.已知椭圆：，为左焦点，直线：与轴相交于点，过的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），分别过点，向作垂线，垂足为，，则（    ） A． B． B． 直线与椭圆相切时， D． 11.已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，点在椭圆上，则的最小值是 ，此时点的坐标为 ． 考点03 双曲线第二定义的应用（共7小题） 12．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A．    B．    C．    D． 16.过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 17．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 18．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 考点04 抛物线中的焦点弦及焦半径问题(共8小题) 21．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的斜率为时，，则（   ） A． B． C． D．4 23．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．（多选）（25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，则（    ） A．的坐标为 B． C．若，则 D．为钝角 26．(多选)（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 27．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为 . 28．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 考点05 椭圆第三定义的应用(共6小题) 29.(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A.B.C. D. 30.如图所示，A1，A2是椭圆C：的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝ A．2 B．3 C．4 D． 31.已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为__________． 32.如图，已知椭圆的离心率，，是椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（与，不重合），令，，则 ． 33.已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是 . 34.已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线过点且与轴垂直，点是椭圆上异于的动点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率是 ． 考点06 双曲线第三定义的应用(共4小题) 35.已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为2，则双曲线的离心率为（    ） A．              B．               C．    D． 36.双曲线的左、右顶点分别是，，为上任意一点，若直线，的斜率之积为4，则双曲线的离心率为（    ） A．5 B． C．2 D． 37.双曲线的渐近线方程为 ；设、分别为的左、右顶点，为上的一点，若，则 . 38.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上两点M，N关于原点对称，P为双曲线上的点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若k1·k2＝，则该双曲线的离心率为_____ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $