专题03 空间向量及其应用（4知识&7题型 ）（期中知识清单）高二数学上学期沪教版

专题03 空间向量及其应用（4知识&7题型 ） 知识点01 空间向量及其运算 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 4.共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 5．共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 6．空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b. 7．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 8．投影向量 (1)投影向量 在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉. (2)向量a在平面β上的投影向量 向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 知识点02空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋y b＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 2．正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点03空间向量的坐标表示 1．空间直角坐标系 空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系 坐标轴 x轴、y轴、z轴 坐标原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面 右手直角 坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系 2.空间向量的坐标表示 空间直角坐标系中A点坐标 在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z) 3．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 4.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 5．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝. 知识点04空间向量在立体几何中的应用 1．空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示，我们把向量称为点P的位置向量. 空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，也可以表示为＝＋t.这两个式子称为空间直线的向量表示式. 空间平面ABC的向量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式. 2.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 3．空间中平行关系的向量表示 线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 4．空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 5．空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 6．空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ 7．空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝ 【题型一】空间向量及其运算 【例1-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 【例1-3】（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【例1-4】（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 【例1-5】（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【变式1-1】（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 【变式1-4】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，，，，为中点.    (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的大小； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【题型二】 空间向量基本定理 【例2-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【例2-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【题型三】空间向量的坐标表示 【例3-1】（24-25高二上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 . 【例3-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【例3-3】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 【例3-4】（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间中的三点，，，，. (1)当与垂直，求的值； (2)求的面积. 【例3-5】（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 【例3-6】（23-24高二上·上海·期中）已知空间三点、、，设. (1)若，求点坐标； (2)若向量与互相垂直，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【变式3-1】（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    【变式3-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知向量，则向量的单位向量 ． 【变式3-3】（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 【变式3-4】（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 【变式3-5】（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【变式3-6】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【题型四】向量法求空间距离 【例4-1】（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【例4-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 【例4-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【例4-4】（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，长度分别为2，2，4． (1)求该三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【例4-5】（24-25高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【变式4-1】（24-25高二上·上海徐汇·期中）棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为 ． 【变式4-2】（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为 . 【变式4-4】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【题型五】向量法求异面直线夹角 【例5-1】（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例5-2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【例5-3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求与所成角的余弦值； (2)求点E到平面C的距离． 【例5-4】（23-24高二上·上海·期中）如图，在中，，斜边，以直线AO为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点D在斜边AB上． (1)求证：平面平面； (2)求CD与平面所成角中最大角的正切值； (3)当D为AB中点时，继续以直线AO为轴旋转得到，当直线ED与OB所成角为时，求点E位置．    【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，经过棱长为2的正方体的棱作一平面交平面于． (1)求证：． (2)若为的中点，求异面直线与所成角的大小． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期中）如图所示的几何体，是将体积为、底面半径为2的圆柱沿着过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的，AB、BC为底面直径，BE、CD为圆柱的母线，分别为AB、BC、DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点． (1)求这个几何体的表面积； (2)求异面直线CF与所成角的余弦值． 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出，两点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式5-4】（23-24高二上·上海·期中）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，设半正多面体的棱长为，将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求正方体的棱长，并写出A，B，C，D，F点的坐标. (2)求. 【题型六】向量法求线面角 【例6】（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（23-24高二上·上海闵行·期中）在直角梯形中，，，，如图1把沿翻折，使得平面平面（如图2）． (1)； (2)若点为线段的中点，求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为?若存在，求出点的具体位置；若不存在，请说明理由． 【题型七】向量法求面面角 【例7-1】（23-24高二上·上海·期中）在正方体中，求：    (1)二面角的大小 (2)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，判断点位置并说明理由 【例7-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【例7-3】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由. 【例7-4】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，，．点是棱上的动点． (1)求证：平面； (2)试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； (3)记二面角的大小为，二面角的大小为．试确定点E的位置，使得． 【变式7-1】（24-25高二上·上海徐汇·期中）如图，已知点在圆柱的底面圆O上，圆O的直径，圆柱的表面积为，． (1)求四面体全面积； (2)求二面角的大小； 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为； (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)求二面角的大小. 【变式7-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，点M为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. (3)求二面角的平面角的大小. 【变式7-4】（24-25高二上·上海·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量及其应用（4知识&7题型 ） 知识点01 空间向量及其运算 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 4.共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 5．共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 6．空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b. 7．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 8．投影向量 (1)投影向量 在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉. (2)向量a在平面β上的投影向量 向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 知识点02空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋y b＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 2．正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点03空间向量的坐标表示 1．空间直角坐标系 空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系 坐标轴 x轴、y轴、z轴 坐标原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面 右手直角 坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系 2.空间向量的坐标表示 空间直角坐标系中A点坐标 在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z) 3．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 4.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 5．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝. 知识点04空间向量在立体几何中的应用 1．空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示，我们把向量称为点P的位置向量. 空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，也可以表示为＝＋t.这两个式子称为空间直线的向量表示式. 空间平面ABC的向量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式. 2.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 3．空间中平行关系的向量表示 线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 4．空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 5．空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 6．空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ 7．空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝ 【题型一】空间向量及其运算 【例1-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 【例1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 【答案】 【详解】因为，且， 所以，解. 故答案为： 【例1-3】（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 【例1-4】（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 【答案】 【详解】如图所示， . 故答案为：. 【例1-5】（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 【变式1-1】（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 【答案】 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 【答案】5 【详解】如图， 由题意知，设， 则， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 【变式1-4】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，，，，为中点.    (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的大小； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【详解】（1）因为，，而，平面， 平面，而平面，故平面平面， 又，为的中点，故， 而平面，平面平面，故平面. 由（1）可得平面，故为与平面所成的角， 因为，为的中点，故， 而，故， 而平面，平面，故， 故. （2）    因为为的重心，连接并延长交与，连接， 则，故， 故， 故， 而，， 又平面，平面，故， 故，故. 【题型二】 空间向量基本定理 【例2-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】如图所示： 根据题意，点满足，其中 所以， 所以， 所以点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故选：A． 【例2-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）若空间向量，，共面，则实数 . 【答案】 【详解】∵共面， ∴一定存在，使得， 即，解得， 故答案为：5 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则 ． 【答案】 【详解】因为，，，四点共面，则，且， 又，即， 即， 所以，解得. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期中）在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】 【详解】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得.    故答案为： 【题型三】空间向量的坐标表示 【例3-1】（24-25高二上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【详解】在方向上的数量投影的长度为：． 故答案为：． 【例3-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为，，， 所以，， 所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 故答案为： 【例3-3】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)求向量与向量的夹角的余弦值； (2)若与互相垂直，求实数的值． 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为； （2）因为， 又与互相垂直，所以， 解得. 【例3-4】（24-25高二上·上海松江·期中）已知空间中的三点，，，，. (1)当与垂直，求的值； (2)求的面积. 【详解】（1）依题意，，， 当与垂直时，， 所以. （2）由（1）知，，则，即， 所以的面积. 【例3-5】（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 【详解】（1）解：设点，因为，则， 所以，，解得，即点， 所以，，故. （2）解：，， 所以，，则为锐角， 所以，， 因此，. 【例3-6】（23-24高二上·上海·期中）已知空间三点、、，设. (1)若，求点坐标； (2)若向量与互相垂直，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 解得，即. （2）由，， 则，， 因为向量与互相垂直， 所以，即， 解得或. （3）由（2）知，，， 所以，， 因为向量与平行，设， 则，解得. 【变式3-1】（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    【答案】 【详解】由题意，故，，， 故， 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知向量，则向量的单位向量 ． 【答案】 【详解】， 因此向量的单位向量. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 【答案】 【详解】由于向量平行于向量， 故，解得，n， 故m+n＝， 故答案为：． 【变式3-4】（24-25高二上·上海·期中）已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，且不共线，故，即. 当共线时，，此时，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3-5】（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 【变式3-6】（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； （2）因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 【题型四】向量法求空间距离 【例4-1】（24-25高二上·上海·期中）若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点， 连接、，则平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，设点， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，则，， 则点到平面的距离为， 而点到直线的距离为， 根据题意可得， 在平面内，如下图所示：    在平面直角坐标系中，易知点、， 则，所以，直线的方程为， 即，即， 显然，区域（包括边界）的点的坐标均满足，且， 所以，由可得， 即，即点在区域内的轨迹是一条线段， 直线的斜率为， 则动点的轨迹与线段的交点靠近点，D选项合乎题意， 故选：D. 【例4-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】因为平面经过点，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 【例4-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,1,，,1,，,0,， 所以,1,，,1,，,0,， 设平面的法向量为,,，则， 令，则，所以,,， 所以点到平面的距离为． 故答案为：． 【例4-4】（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，长度分别为2，2，4． (1)求该三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【详解】（1）    如图：因为三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直， 以线段、、分别为长宽高构造长方体， 则. （2）    如图：以为坐标原点，以分别为轴， 建立空间直角坐标系，则， ，， 设平面的一个法向量为， ，则，令， 则，设点到平面的距离为， 则. 【例4-5】（24-25高二上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为、BC的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题： (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 【详解】（1）在直三棱柱中，即平面，， 又平面，所以，，如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，所以，即； （2）由（1）可得，，，所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以点到平面的距离. 【变式4-1】（24-25高二上·上海徐汇·期中）棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为 ． 【答案】 【详解】如图所示：将棱长为1的正四面体，放入棱长为的正方体中，并以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系； 设分别是正四面体的侧棱的中点，显然截面平面， 故所求即为点到平面的距离， 由题意， 从而， 设平面的法向量为, 所以，令，解得，所以， 故点到平面的距离为. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二上·上海松江·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为 . 【答案】 【详解】，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， ，，， 设为平面PEF的法向量，， 令，则，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 故答案为： 【变式4-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，则棱与平面的距离为 . 【答案】 【详解】 ，平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为棱与平面的距离， 如图：建立空间直角坐标系，，，设， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，故，则，令，， 故，， 所以到平面的距离为：， 故答案为： 【变式4-4】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【详解】（1）在四棱锥中，底面为正方形，连接交于点，连接， 则是的中点，而为中点，于是， 又平面，平面， 所以平面. （2）由平面，且，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量， 则，令，得， 所以点到平面的距离. 【题型五】向量法求异面直线夹角 【例5-1】（24-25高二上·上海·期中）空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】由，可以推出与所成角为， 但与所成角为时，或， 所以是与所成角为的充分不必要条件. 故选：A. 【例5-2】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【详解】（1）∵，，∴为等腰直角三角形， 故在三棱柱中为等腰直角三角形， 又是棱的中点，则， 因为侧面，均为正方形，即，， 又， 平面，所以平面，即三棱柱为直三棱柱， 所以平面，平面，则， 又且、平面， ∴平面. （2）因为平面，， 以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 因为，所以，即异面直线与所成角为. 【例5-3】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求与所成角的余弦值； (2)求点E到平面C的距离． 【详解】（1）以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 根据题意， 所以， ，又与所成角的范围为， 与所成角的余弦值为； （2）由三垂线定理有，且两直线都在面内，则⊥平面， 平面C法向量为，又=， 点E到平面C的距离d===. 【例5-4】（23-24高二上·上海·期中）如图，在中，，斜边，以直线AO为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点D在斜边AB上． (1)求证：平面平面； (2)求CD与平面所成角中最大角的正切值； (3)当D为AB中点时，继续以直线AO为轴旋转得到，当直线ED与OB所成角为时，求点E位置．    【详解】（1）依题意，，则是二面角的平面角，于是，即， 而平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面，为CD与平面所成的角，， 由，，斜边，得，于是， 要最大，当且仅当是点到直线的距离，即斜边上的高， 所以CD与平面所成角中最大角的正切值是. （3）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    而，则， 在平面内，以射线为角的始边，线段逆时针旋转到所成的最小非负角为， 则点，，而， 依题意，，而，解得或， 当时，点，当时，此时，点 所以点在以点为圆心，2为半径的圆上，可以与点重合， 或射线与射线的反向延长线成锐角，且到直线的距离为. 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，经过棱长为2的正方体的棱作一平面交平面于． (1)求证：． (2)若为的中点，求异面直线与所成角的大小． 【详解】（1） 因为为正方体，所以平面平面， 设过棱所作平面为，根据已知 平面平面于，平面平面于， 根据面面平行的性质有：； （2） 建立如图所示，以为坐标原点， 以、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期中）如图所示的几何体，是将体积为、底面半径为2的圆柱沿着过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的，AB、BC为底面直径，BE、CD为圆柱的母线，分别为AB、BC、DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点． (1)求这个几何体的表面积； (2)求异面直线CF与所成角的余弦值． 【详解】（1）设圆柱的高为h，又圆柱的底面半径， 则有，解之得， 则这个几何体的表面积为 （2）连接，在面内，过点B作， 以B为原点，分别以所在直线为轴 建立空间直角坐标系如图， 则， 则， 设异面直线CF与所成角为， 则. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出，两点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）在菱形中，，则， 易知与为等边三角形，则， 在等边中，为的中点，则，， 在中，， 所以，. （2）由，，，， 则，， 所以，，， 设异面直线与的夹角为， . 【变式5-4】（23-24高二上·上海·期中）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，设半正多面体的棱长为，将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求正方体的棱长，并写出A，B，C，D，F点的坐标. (2)求. 【详解】（1）由题意可知，半正多面体的棱长为， 则正方体的棱长为， 所以，，，，； （2），， 所以，， 则，则， 设直线与直线所成角为， 则， 即，解得或（舍）， 即的值为. 【题型六】向量法求线面角 【例6】（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，E为AD中点， 为等边三角形，如图2中O为BE的中点，则. 又平面平面BCDE，且平面平面，面， 所以平面BCDE，平面BCDE，所以. （2）如图2，连结OC，由已知得，又O为BE的中点，则. 由（1）知平面BCDE，面BCDE，则，， 以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2） ，易知. ，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，由， 得，即，取，得. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）如图2，假设在侧棱上存在点P，使得平面. 设，， ， . 易知四边形BCDE为菱形，且，而，则， 由（1）知，，且都在面内，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 由，得. 所以侧棱上存在点P，使得平面，且. 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）在中，，，则， 在几何体中，， 平面，则平面，而平面， 则，又，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    依题意，，， 则，， 显然平面的一个法向量，设与平面所成的角为， 则，， 所以与平面所成角的大小为. （3）由（2）知的面积， 由是的中点，得点到平面的距离， 因此， 假设在线段上存在符合要求的点，设到平面的距离为， 因为， 所以， 因为，所以， 则，得， 所以，则是的三等分点等近的点， 所以， 即在线段上存在点满足条件，. 【变式6-2】（23-24高二上·上海闵行·期中）在直角梯形中，，，，如图1把沿翻折，使得平面平面（如图2）． (1)； (2)若点为线段的中点，求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为?若存在，求出点的具体位置；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由已知可得，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面， ； （2）以为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图， 由已知得， ， 设平面的法向量为， 则，取，得 点到平面的距离. （3）假设在线段上存在点，使得与平面所成的角为， 设， 则， ， ， 整理得，该方程无实数解， 故在线段上不存在点，使得与平面所成的角为 【题型七】向量法求面面角 【例7-1】（23-24高二上·上海·期中）在正方体中，求：    (1)二面角的大小 (2)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，判断点位置并说明理由 【详解】（1）设正方体棱长为1，以分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，    则 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为, 由，得，即，令，得， 设的夹角为，，由图知二面角为锐二面角， 所以二面角大小为. （2）设，则，平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，，即， 所以当时，与平面所成角的正弦值为 【例7-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以.    因为为的中点，所以， 从而， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【例7-3】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为是正三角形，是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以， ，平面， 所以面； （2） 如图，以点为原点，分别以， ，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 因为，所以， 令，则， 又平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为， 所以，则， 所以平面与平面所成锐二面角为； （3）假设存在点，使得直线与平面所成角为， 设，， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， 则， 整理得， 因为，所以方程无解，假设不成立. 所以不存在点，使得直线与平面所成角为. 【例7-4】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，，．点是棱上的动点． (1)求证：平面； (2)试确定点的位置，使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； (3)记二面角的大小为，二面角的大小为．试确定点E的位置，使得． 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 又，，所以， 又，，， 所以， 所以，所以， 连接，所以，又使得截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为， 所以， 设三棱锥的高为，则，解得， 所以到平面的距离为，又点是棱上的动点，所以为棱的中点， 即当为棱的中点时截面把该四棱锥分成的两个几何体与的体积比为； （3）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 则，，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的一个法向量为， 显然二面角为锐二面角，所以， 设，则， 又， 设平面的法向量为，则，取， 又二面角为锐二面角，所以， 又，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以当，即为靠近点的三等分点时，满足. 【变式7-1】（24-25高二上·上海徐汇·期中）如图，已知点在圆柱的底面圆O上，圆O的直径，圆柱的表面积为，． (1)求四面体全面积； (2)求二面角的大小； 【详解】（1）因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以， 因为平面，平面，可得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由题意，解得． 在中，，，所以， 在中，，，所以， , 所以全面积为 ， （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则, 故 设平面的法向量为， 故且 取， 设平面的法向量为， 故且 取， 故 由图可知二面角的平面角为锐角，故其余弦值为，故角的大小为 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为； (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)求二面角的大小. 【详解】（1）证明：因为棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 又因为，点的曲率为， 所以， 解得， 又因为， 所以是边长为2的正三角形， 又因为是的中点， 所以①， 又因为平面平面②， 平面平面，平面③， 由①②③可得：平面； （2）解：取中点，连接, 由（1）可知两两垂直，且交于点, 以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示： 则,， 所以 设平面的法向量为， 则，取， 则， 又因为, 设点B到平面的距离， 则； （3）解：由（2）可知平面的法向量， 设平面的法向量， 因为 所以，取， 则， 所以， 设二面角的大小为，由题意可知， 所以， 所以. 所以二面角的大小为. 【变式7-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，点M为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. (3)求二面角的平面角的大小. 【详解】（1）因为底面，底面，所以. 底面为矩形，且，，则， 所以，易知. 又，平面，所以平面， 而平面，所以平面平面. （2）与交于点，连接，过点作垂直于交其于点， 由①知，平面平面，平面平面， ，且平面，因此面， 所以线段的长为点到平面的距离. 又，，所以， 所以，所以， 由，解得， 所以到平面的距离. （3）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， ， 又二面角的为钝二面角， 所以二面角的平面角的大小为. . 【变式7-4】（24-25高二上·上海·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）取的中点为，连接，作图如下： 因为四边形是边长为正方形，所以，， 在中，，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由两两垂直，则以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 取， 设平面的法向量，可得， 令，则，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. （3）设，则，设，， 可得，解得，所以， 则，， 设平面的法向量，可得， 令，则，所以平面的一个法向量， 由图易知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 化简可得，解得或（舍去）， 所以存在，点的坐标为，点为线段靠近的三等分点. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $