1.5三角函数的应用教学设计2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦北师大版九年级下册“三角函数的应用”，核心为仰角、俯角、方位角概念及解直角三角形实际应用。通过复习直角三角形边角关系与特殊角三角函数值导入，衔接“解直角三角形”知识，搭建学习支架。 特色在于融合直观教学与情境驱动，以“船是否触礁”“测量塔高”等实例，引导经历“实际问题→数学建模→求解解释”过程，渗透数形结合思想。培养数学建模、直观想象与运算能力，助力学生用数学眼光观察、思维解决现实问题，为教师提供情境化教学路径，有效突破重难点。

1.5三角函数的应用 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第1章“直角三角形的边角关系”的第5节。内容包括：理解仰角、俯角、方位角等概念，并运用解直角三角形的知识解决与这些概念相关的实际问题。 （二）教学内容解析 地位与作用：本节是上一节"解直角三角形"知识的直接应用和延伸，是将数学知识与实际生活联系的桥梁。 它体现了数学的建模思想，让学生感受到数学的实用价值，是培养学生应用意识和解决实际问题能力的关键一节。 核心素养：通过本节学习，有助于学生发展数学建模（将实际问题抽象为直角三角形模型）、 直观想象（从复杂图形中识别直角三角形）和数学运算（准确进行含三角函数的计算）等核心素养。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】能够把实际问题转化为数学问题, 能够进行有关三角函数的计算 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 理解仰角、俯角、方位角等概念，并能在具体问题中准确识别。 2. 能够将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形模型，并运用解直角三角形的知识解决。 3. 体验数学在解决实际测量、航海等问题中的作用，培养应用数学的意识和分析问题、解决问题的能力。 （二）教学目标解析 目标1：学生能准确说出仰角、俯角、方位角的定义，并能在图形中正确标注这些角。 目标2：学生能将实际问题中的文字语言转化为图形语言，抽象出直角三角形模型， 并能选择合适的边角关系进行求解。 目标3：学生能独立完成简单的实际应用题，并能对结果的合理性进行解释，体会数学的应用价值。 三、学生学情分析 已有知识基础：学生已经掌握了直角三角形的边角关系（勾股定理、锐角三角函数），并能熟练地解直角三角形。 可能遇到的困难：理解和区分仰角、俯角、方位角等新的概念，并能在实际情境中正确识别，是学生首先面临的挑战。将复杂的实际情境抽象成简洁的数学图形（直角三角形），即数学建模的过程，对学生来说有一定难度。当实际问题不能直接构成直角三角形时，需要添加辅助线构造直角三角形，这是更高层次的要求。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】数形结合和建模思想的渗透 四、教学策略分析 1. 直观教学策略：通过图片、动画或实物演示，帮助学生直观理解仰角、俯角、方位角的概念， 化抽象为具体。 2. 问题驱动与情境教学策略：围绕生活中的实际问题（如测量山高、楼高等）展开教学， 激发学生的学习兴趣和探索欲望。 3. 建模教学策略：引导学生经历"实际问题 → 数学抽象 → 建立模型 → 求解模型 → 解释应用" 的完整过程，培养建模思想。 4. 分步拆解策略：对于复杂的应用题，引导学生分步分析：先理解题意，再画示意图，然后分析已知条件和所求，最后选择方法求解。 5. 合作探究策略：对于有挑战性的题目，组织学生分组讨论，通过合作交流共同完成建模和求解过程。 五、教学过程分析 （一）复习引入 在Rt∆ABC 中, ∠C=90°. (1) 三边的关系是 c2= a2+b2 (2) 锐角的关系是∠A+∠B=90° (3)边角的关系是 tanA= cosA=sinB= sinA=cosB= 特殊角的三角函数值 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 探究一：船是否会触礁 如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续向东航行.D ┌ 55° A B C D 北 东 25° 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 请先独立思考再与同伴交流? 解:要知道舰船继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则 思考：货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？ 根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险.如果小于10海里则有触礁的危险。A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，算出AD的长度，然后与10海里比较. 探究二：塔有多高 小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m) 处理方式：(自主解决问题后小组交流并全班展示) (鼓励学生展示自己的解题过程) (积极思考，先独立完成，后集体交流展示) 解:如图,由题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m. 设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300, 探究三：楼梯加长了多少 某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m) 处理方式： (1)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的长度分别是什么？40°的角是哪个角？(2)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？ 拓展延伸 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.   （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km,仰角是30°,n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,则火箭在这n秒中上升的高度是　　 km.(保留准确值) 2.一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成45°夹角,且DB=6m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少? 3.周末,小明一家去东昌湖划船,当船划到湖中C点处时,湖边的路灯A位于点C的北偏西64°方向上,路灯B位于点C的北偏东44°方向上.已知每两个路灯之间的距离是50米,求此时小明一家离岸边的距离是多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 64°≈0.9,cos 64°≈0.4,tan 64°≈2.1,sin 44°≈0.7,cos 44°≈0.7,tan 44°≈1.0) 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $