精品解析：福建省三明市沙县区三明北附高级中学2025-2026学年高一上学期第一次月考（9月）数学试题（A卷）

三明北附2025-2026学年高一上学期第一次月考 数学试题（A卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则下列不等式正确的是（     ） A. B. C. D. 4. 下列命题是全称量词命题的是（ ） A. 存在一个实数的平方是负数 B. 每个四边形内角和都是 C. 至少有一个整数是质数 D. 有些实数满足 5. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 要建造一个容积为9立方米，深为1米长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（ ） A. 2100元 B. 1980元 C. 1870元 D. 1760元 8. 某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（    ） A. B. C D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选得0分） 9. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，，若，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共15分） 12. 若集合，A子集个数是________个． 13. 设，，，则a，b，c之间的大小关系为__________ 14. 已知，，且，则的最小值是______. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合．求： （1）及； （2）及 16. 已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围； （3）若中至少有一个元素，求的取值范围． 17. 已知正数、满足． （1）求的最大值，并求出此时、的值； （2）求的最小值，并求出此时、的值． 18. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知集合，非空集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使是充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明北附2025-2026学年高一上学期第一次月考 数学试题（A卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念求两个集合的交集. 【详解】根据交集的概念可得：. 故选：A 2. 已知命题p：，，则是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称量词命题，的否定为：，． 【详解】命题：，的否定为：，． 故选：C 3. 若，则下列不等式正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一分析. 【详解】若，则，A错误； 若，则，B错误； 若，则，C错误； 若，则，D正确. 故选：D 4. 下列命题是全称量词命题是（ ） A. 存在一个实数的平方是负数 B. 每个四边形的内角和都是 C. 至少有一个整数是质数 D. 有些实数满足 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 5. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【详解】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 6. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】由，得或， 由，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（ ） A. 2100元 B. 1980元 C. 1870元 D. 1760元 【答案】B 【解析】 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 8. 某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解. 【详解】A选项：由已知，则，A选项错误； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项错误； 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选得0分） 9. 下列元素与集合关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可. 【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确； 对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知集合，，若，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据并集的结果可知，分情况讨论即可得解. 【详解】由已知，则， 又方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得此时， 要使得，可得或，解得或， 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 11. 设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据新定义判断A选项；B、C举出反例；D选项，首先设，，然后对和分别讨论即得. 【详解】对于A，因为表示不超过的最大整数，所以，故A对； 对于B，取，则，得， ，故B不成立. 对于C，取，， ，得，故C不成立. 对于D，设，， 则，而； 当时，，此时， 当时，，此时， 综上：，故D对. 故选：AD 三、填空题（共15分） 12. 若集合，A的子集个数是________个． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意可知集合A有4个元素，进而可得子集个数. 【详解】因为集合A有4个元素，所以A的子集个数是个. 故答案为：16. 13. 设，，，则a，b，c之间的大小关系为__________ 【答案】 【解析】 【分析】 利用不等式性质比较大小即得结果. 【详解】 ，，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用不等式性质比较大小，属于基础题. 14. 已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合．求： （1）及； （2）及 【答案】（1）， （2）或， 【解析】 【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解； （2）由交集、并集、补集运算即可求解； 【小问1详解】 因为， 所以， 【小问2详解】 由（1）可得：或， 由，可得：或， 所以 16. 已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围； （3）若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【小问1详解】 当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． 【小问2详解】 中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． 【小问3详解】 中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 17. 已知正数、满足． （1）求的最大值，并求出此时、的值； （2）求的最小值，并求出此时、的值． 【答案】（1）的最大值为1，此时； （2）的最小值为，此时，. 【解析】 【分析】（1）直接由基本不等式即可求解； （2）由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ∵，，∴， 又，∴，当且仅当时等号成立， ∴的最大值为1，此时； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为，此时，. 18. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集，补集，交集运算即可； （2）分和两种情况进行讨论得解. 【小问1详解】 当时，， ， 或，； 【小问2详解】 若，则当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 19. 已知集合，非空集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【小问1详解】 非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； 【小问2详解】 存在，由是充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $