专题05 因式分解章末50道压轴题型专训（5大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 因式分解章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 十字相乘法因式分解 题型二 因式分解与方程或化简问题 题型三 公式法因式分解 题型四 因式分解彻底分解问题 题型五 因式分解的综合应用 【经典例题一 十字相乘法因式分解】 1．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）阅读下列材料： 材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ． (1)根据材料 ，把分解因式． (2)结合材料和材料，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 2．（2025七年级上·上海松江·专题练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解： ． ． 例如：． 求： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）两位同学将一个二次三项式（其中a、b、c均为常数，且）分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原多项式的二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值． (2)将原多项式分解因式． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）在数学学习中，是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题． 材料一：分解因式： 解： 材料二：分解因式： 解：原式 (1)按照材料一提供的方法分解因式：； (2)按照材料二提供的方法分解因式：． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 6．（24-25七年级上·上海宝山·期末）小明通过观察下列式子：①；②；③；④，发现了含相同字母且字母系数为1的两个一次二项式的积的规律． (1)上述规律可总结为：________； (2)我们知道整式乘法与因式分解是方向相反的两种运算，那么通过（1）中得到的规律分解因式： ①， ②； (3)若可分解为两个一次二项式的积，请直接写出整数p的所有可能值． 7．（24-25七年级上·上海虹口·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_________．（填“是”或“否”）如果否，请直接写出最后的结果________________． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． (4)请你模仿以上方法解关的方程． 8．（24-25七年级上·上海静安·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 9．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）读下列材料：将一个多项式变为整式乘法叫因式分解，形如的二次三项式可以因式分解为， 法一： ． 但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式． 法二： ． 这种在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步逆用平方差公式继续分解因式了． (1)请使用小明发现的方法把分解因式； (2)用法一因式分解：； (3)请用两种不同方法分解因式． 10．（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读以下材料并解决问题： （1）材料一： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式的一个因式为；同理，可以确定多项式的另一个因式为，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式的一个因式为，我们可以设，解得，，于是我们可以得到：． 请你根据以上材料，解决以下问题： 当______时，多项式的值为0，所以多项式的一个因式为______，从而多项式可分解为______． （2）材料二： 若（m为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示． 则因式分解． 解决问题：若（m为常数）有一个因式为，如何因式分解？列出竖式，写出具体的解答过程． （3）请你根据以上两个材料，解答以下问题： 因式分解______，（直接写出结果） 【经典例题二 因式分解与方程或化简问题】 11．（2025七年级上·上海·专题练习）解方程 (1)解关于x、y的方程：． (2)求方程的整数解． 12．（24-25七年级上·上海金山·开学考试）已知关于x、y的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，； ③不论a取什么实数，的值始终不变； ④若，则z的最小值为． 请判断以上结论是否正确，并说明理由． 13．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题： (1)化简计算：； (2)在（1）结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解． 14．（24-25七年级上·上海青浦·期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 因式分解的思想对解决其它一些数学问题有很大的帮助，比如探求方程的解时，我们可以这样处理： 第一步：将方程的左边通过提取公因式进行因式分解得：． 第二：依据“两个数之积为零，则这两个数中必有一个数为零”得：或． 第三：分别解上述两个一元一次方程得：或． 所以原方程的解为：，． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求方程的解． 15．（2025·上海长宁·模拟预测）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积． 验证： (1)连续整数1、2、3___________（填“满足”或“不满足”）这种关系， 连续整数、、___________（填“满足”或“不满足”）这种关系； 延伸： (2)设中间整数为， ①列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简； ②直接写出三组符合要求的连续整数． 16．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题： 阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 例如：． 利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者． (1)因式分解： ①． ②． (2)利用因式分解求方程的解． 17．（24-25七年级上·上海松江·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 18．（25-26七年级上·上海金山·开学考试）“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．我们学习过一元一次方程，因此在求解二元一次方程组时，通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比求解二元一次方程组，小明对一元二次方程求解过程提出了如下思考： ①若，则有或者； ②结合七年级上册学习过的因式分解相关知识，， ③当时， ④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程______和______，这是一个“降次”的过程． ⑤即或 请根据小明的思考过程，完成下列问题： (1)序号④中的两个一元一次方程分别为______和______ (2)应用小明的思路，求解下列两个一元二次方程： ； 19．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 20．（2025·上海宝山·模拟预测）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【经典例题三 公式法因式分解】 21．（25-26七年级上·上海杨浦·随堂练习）若多项式（其中，且为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则的值可能有几种． 22．（24-25七年级上·上海松江·期末）给出三个单项式：，，． (1)任选两个单项式相减，并进行因式分解； (2)利用因式分解进行计算：，其中． 23．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 24．（24-25七年级上·上海金山·期末）小明同学在做因式分解时，遇到这样一道题：，小明想了半天都没做出来，于是找小颖帮忙，小颖很快给出了答案，如下： 请仿照小颖的方法分解因式：． 25．（2025·上海闵行·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 26．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 27．（24-25七年级上·上海静安·期末）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 问题解决： (1)请你按照上面的方法分解因式：； (2)已知一个长方形的面积为，宽为（为正数），求这个长方形的长． 28．（24-25七年级上·上海杨浦·随堂练习）阅读下面材料． 我们知道可以分解因式，结果为，其实也可以通过配方法分解因式，其过程如下： ． (1)请仿照上述过程填空： ； ； ． (2)请观察（1）中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？ 29．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）观察与思考： 在整式的乘法中，我们学习了平方差公式：,反过来，就是因式分解中的平方差公式．类似地，对于完全平方公式：，反过来，是因式分解中的完全平方公式． 请根据上述知识，解决下面问题： 已知一个长方形的长为，宽为，面积为4，且满足，求长方形的周长． 30．（24-25七年级上·上海虹口·期中）形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． （1）用配方法因式分解：． 解：原式 ． （2）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． 因为，所以． 所以的最小值为． 解决问题： （1）因式分解： ； （2）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （3）若实数a，b满足，则的最小值为 ． 【经典例题四 因式分解彻底分解问题】 31．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）因式分解（注意分解彻底）： （1）ab2﹣2ab+a                         （2）（a+b）x2-（a+b）                （3）（x2+2x）2-（2x+4）2．               （4）（m2-m-1）（m2-m-3）-15 32．（24-25七年级上·上海松江·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 33．（25-26七年级上·上海普陀·单元测试）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了下列因式分解的___________；（请填写序号） ①提取公因式法②平方差公式法③两数和的完全平方公式法 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 34．（24-25七年级上·上海长宁·开学考试）阅读下列材料：分解因式：． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式： (2)分解因式： 35．（24-25七年级上·上海崇明·开学考试）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式：． 解：原式第1步：拆项法，将拆成和 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部) 第4步：提公因式法(整体)； 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底 (1)请你试一试分解因式：； (2)请你试一试在实数范围内分解因式：． 36．（24-25七年级上·上海松江·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 37．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 38．（24-25七年级上·上海闵行·期末）七年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 39．（24-25七年级上·上海闵行·期末）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： (1)以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； (3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 40．（24-25七年级上·上海静安·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 【经典例题五 因式分解的综合应用】 41．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）n为整数时，能否被4整除？并说明理由． 42．（25-26七年级上·上海普陀·单元测试）已知，，求下列式子的值． (1)； (2)用两种方法，一种直接计算，一种因式分解相关方法） 43．（25-26七年级上·上海杨浦·课后作业）观察下列式子，你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？ ， ， ， …… 44．（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）如图，长和宽分别为a，b的长方形的周长为20，面积为12，求的值． 45．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如果，，，因此4，12，20都是“神秘数”．设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ 46．（25-26七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，在一块边长为的正方形纸板四周，各剪去一个边长为的正方形． (1)用代数式表示阴影部分的面积； (2)利用因式分解的方法计算：当时，阴影部分的面积． 47．（24-25七年级上·上海虹口·期末）【问题呈现】 观察下列式子：，，，…… 【问题解决】 （1）请你写出第五个式子______； （2）猜想第n个式子，并说明它的正确性． （3）按照上述规律，______； 【知识迁移】 数学社团在研究“正整数m能否表示为（x、y均为自然数）”时，发现若m是4的倍数时，则有：，，，，，……按上述规律，将下列两数用“”形式表示出来． （4）______； （5）______． 48．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 49．（24-25七年级上·上海金山·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 50．（24-25七年级上·上海闵行·期末）我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．小明同学在学习了因式分解后，对用图形拼接验证因式分解的方法非常感兴趣，他利用了此方法做了以下研究．    (1)如图1，大正方形的边长为a，小明将大正方形拆分为边长为b的小正方形A和两个长方形B，C，然后将长方形C拼接在了的位置，请写出小明验证的因式分解的公式是_____； (2)在经过了一些尝试后小明同学又利用图形的拆分和拼接方法验证了多项式：的因式分解；那么他是如何验证的呢？在下面的图2中画出他拆分和拼接的示意图；并借此因式分解：； (3)在对多项式因式分解后，小明还发现了它可以用于巧算这样的计算题：，小明是怎样巧算的这道题，请写出计算过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 十字相乘法因式分解 题型二 因式分解与方程或化简问题 题型三 公式法因式分解 题型四 因式分解彻底分解问题 题型五 因式分解的综合应用 【经典例题一 十字相乘法因式分解】 1．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）阅读下列材料： 材料 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 ． (1)根据材料 ，把分解因式． (2)结合材料和材料，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了因式分解．掌握十字相乘法和完全平方公式进行因式分解是解题的关键． （1）根据进行解答即可； （2）①将看成一个整体，令，分解因式，然后再还原即可；②令，原式可变为，即，进行因式分解可得，代换后进行因式分解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）①解：令， 原式 ∴； ②解：令， 原式 ∴原式 ， ∴． 2．（2025七年级上·上海松江·专题练习）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解： ． ． 例如：． 求： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解； （）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解； 本题考查了“十字相乘法”因式分解，熟练掌握分解的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意， ， ∴， （2）根据题意， ∴． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）两位同学将一个二次三项式（其中a、b、c均为常数，且）分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原多项式的二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值． (2)将原多项式分解因式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意分别进行计算即可； （2）再根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）∵，而一位同学因看错了一次项系数而分解成， ∴，， 又∵，而另一位同学因看错了常数项而分解成， ∴，， ∴，，． （2）原多项式为， 所以． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法、完全平方公式是正确解答的前提． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）在数学学习中，是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题． 材料一：分解因式： 解： 材料二：分解因式： 解：原式 (1)按照材料一提供的方法分解因式：； (2)按照材料二提供的方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法． （1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案； （2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：原式 ． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)5或或1或 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法，解题的关键是： （1）模仿例题即可求解； （2）先提公因式法，然后模仿例题即可求解； （3）将常数进行分解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：原式， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 6．（24-25七年级上·上海宝山·期末）小明通过观察下列式子：①；②；③；④，发现了含相同字母且字母系数为1的两个一次二项式的积的规律． (1)上述规律可总结为：________； (2)我们知道整式乘法与因式分解是方向相反的两种运算，那么通过（1）中得到的规律分解因式： ①， ②； (3)若可分解为两个一次二项式的积，请直接写出整数p的所有可能值． 【答案】(1) (2)①，② (3)， 【分析】（1）根据给出的例子，总结规律，即可求解； （2）根据发现的规律，运用规律即可求解； （3）根据发现的规律，运用规律即可求解． 【详解】（1） 故答案为： （2）①∵，， ∴． ②∵，， ∴ （3）当时， 当时， 当时， 当时， 整数p的所有可能值是， 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是读懂题目给出的例子，发现总结并运用规律． 7．（24-25七年级上·上海虹口·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_________．（填“是”或“否”）如果否，请直接写出最后的结果________________． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． (4)请你模仿以上方法解关的方程． 【答案】(1)C (2)否， (3) (4)， 【分析】（1）分析第二步到第三步，可以得出直接应用两数和的完全平方公式； （2）明确最后的结果括号中的式子仍然可用完全平方公式因式分解，即可判断是否分解彻底，得到答案； （3）设，则原式，再将换回上述所得式子中，最后再利用完全平方公式分解即可； （4）设，则原式化为，求出或，当时，，求出的值，当时，，此方程无解，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：否，最终结果为：， 故答案为：否，； （3）解：设， 原式 ； （4）解：设，则原式化为， ， ， 或， 解得：或， 当时，，即， 解得：，， 当时，，此方程无解， 原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式、利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 8．（24-25七年级上·上海静安·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：   ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 9．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）读下列材料：将一个多项式变为整式乘法叫因式分解，形如的二次三项式可以因式分解为， 法一： ． 但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式． 法二： ． 这种在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步逆用平方差公式继续分解因式了． (1)请使用小明发现的方法把分解因式； (2)用法一因式分解：； (3)请用两种不同方法分解因式． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）在上加16减去16，仿照小明的解法解答； （2）由和，仿照法一的解法解答； （3）将分解为与的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加再减去仿照小明的解法解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解法1： ； 解法2： ． 【点睛】此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小明的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键． 10．（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读以下材料并解决问题： （1）材料一： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式的一个因式为；同理，可以确定多项式的另一个因式为，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式的一个因式为，我们可以设，解得，，于是我们可以得到：． 请你根据以上材料，解决以下问题： 当______时，多项式的值为0，所以多项式的一个因式为______，从而多项式可分解为______． （2）材料二： 若（m为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示． 则因式分解． 解决问题：若（m为常数）有一个因式为，如何因式分解？列出竖式，写出具体的解答过程． （3）请你根据以上两个材料，解答以下问题： 因式分解______，（直接写出结果） 【答案】（1）1，，；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据材料一提供的方法解答即可； （2）根据材料二提供的方法解答即可； （3）由材料一提供的方法可得到其中的一个因式，再利用材料二提供的方法求出另一个因式即可． 【详解】解：（1）∵当时，多项式的值为0，以多项式的一个因式为， 设， ∴， ∴，， ∴，； ∴． 故答案为：1，，； （2）因为有一个因式为， 所以当时，， 把代入得， 解得， ∴原代数式变为， 如下列竖式所示． 则因式分解． （3）当时，的值为0， ∴多项式的一个因式为， 如下列竖式所示． 则因式分解． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确理解材料一和材料二所提供的方法是解答本题的关键． 【经典例题二 因式分解与方程或化简问题】 11．（2025七年级上·上海·专题练习）解方程 (1)解关于x、y的方程：． (2)求方程的整数解． 【答案】(1) (2)方程的整数解为：或或或 【分析】（1）首先通过因式分解，得到或，然后分别解出，即可得出结果； （2）首先把原方程化为，然后再进行整理，得出，再根据、为整数，可知必须为的因数，然后再根据的因数有，分别算出当取时，的对应值，即可得出方程的整数解． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 分解因式，得：， ∴可得：或， 解得：． （2）解：∵， 移项，得：， 即，， 整理，可得：， ∵、为整数， ∴根据，可知必须为的因数， 又∵的因数有， ∴当，即时，则； 当，即时，则； 当，即时，则； 当，即时，则， ∴方程的整数解为：或或或． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，解本题的关键在熟练掌握因式分解法解二元一次方程和正确理解题意． 12．（24-25七年级上·上海金山·开学考试）已知关于x、y的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，； ③不论a取什么实数，的值始终不变； ④若，则z的最小值为． 请判断以上结论是否正确，并说明理由． 【答案】②、③、④ 【分析】①将代入方程组，求出方程组的解，即可做出判断； ②将代入方程组，求出的值，即可做出判断； ③将看做已知数求出的值即可； ④将看做已知数求出与的值代入，即可做出判断． 【详解】解：关于、的方程组， 解得：． ①将代入，得：， 将，代入方程左边得：，右边，左边右边，该结论错误； ②将代入，得：， 即当时，，该结论正确； ③将原方程组中第一个方程两边，加上第二个方程得：， 即，不论取什么实数，的值始终不变，该结论正确； ④， 即若，则的最小值为，该结论正确． 故正确的结论有：②、③、④． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记二元一次方程组的解题方法． 13．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本内容，请利用相关知识解决下面的问题： (1)化简计算：； (2)在（1）结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解． 【答案】(1) (2)或或，因式分解见解析 【分析】本题主要完全平方式及平方差公式在因式分解中的应用，单项式的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）第二个因式提取公因数4，然后利用平方差公式即可求得； （2）完全平方公式有两种形式． 【详解】（1）解： ， ． （2），，， 新增单项式为或或． 14．（24-25七年级上·上海青浦·期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 因式分解的思想对解决其它一些数学问题有很大的帮助，比如探求方程的解时，我们可以这样处理： 第一步：将方程的左边通过提取公因式进行因式分解得：． 第二：依据“两个数之积为零，则这两个数中必有一个数为零”得：或． 第三：分别解上述两个一元一次方程得：或． 所以原方程的解为：，． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求方程的解． 【答案】或 【分析】把方程左边提取公因式进行分解因式得到，由此可得或，分别解两个一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴或． 解得：或． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． 15．（2025·上海长宁·模拟预测）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积． 验证： (1)连续整数1、2、3___________（填“满足”或“不满足”）这种关系， 连续整数、、___________（填“满足”或“不满足”）这种关系； 延伸： (2)设中间整数为， ①列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简； ②直接写出三组符合要求的连续整数． 【答案】(1)满足；不满足 (2)①见解析；②，0，1；，，；1，2，3 【分析】（1）先分别计算和的值，比较两组值是否相等；再分别计算和的值，比较两组值是否相等即可； （2）设中间整数为，则三个连续整数可表示为：，，，①将，，三数相加得其和；将，，三数相乘得其积；②令①中的和等于积，解方程，求得的值，从而可得符合要求的连续整数． 【详解】（1）解：， ，2，3满足这种关系； ， ，，不满足这种关系． （2）设中间整数为，则三个连续整数可表示为：，， ①三个连续整数的和可表示为： 三个连续整数的积可表示为： ②当时， 解得：，或， 符合要求的连续整数为：，0，1；，，；1，2，3． 【点睛】本题考查了探究某类数的规律性问题，其中涉及到了因式分解方法的运用，按照要求写出相关数或式子，按照规则计算，是解答本题的关键． 16．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题： 阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 例如：． 利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者． (1)因式分解： ①． ②． (2)利用因式分解求方程的解． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题是阅读材料问题，考查了因式分解的应用和解一元一次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据材料方法进行因式分解即可； （2）利用因式分解先将方程左边化为两个一元一次方程，可得方程的解． 【详解】（1）解：①， ②； （2）， ， 或， 或， 方程的解是或． 17．（24-25七年级上·上海松江·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2)（或） (3) 【分析】（1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）将关于、的二元一次方程变形 ∴“相伴系数对”为， ∵该方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． 18．（25-26七年级上·上海金山·开学考试）“转化”是数学中最常用的思想，其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．我们学习过一元一次方程，因此在求解二元一次方程组时，通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程；类比求解二元一次方程组，小明对一元二次方程求解过程提出了如下思考： ①若，则有或者； ②结合七年级上册学习过的因式分解相关知识，， ③当时， ④所以可以将原方程转化为两个一元一次方程______和______，这是一个“降次”的过程． ⑤即或 请根据小明的思考过程，完成下列问题： (1)序号④中的两个一元一次方程分别为______和______ (2)应用小明的思路，求解下列两个一元二次方程： ； 【答案】(1)； (2)①，；②， 【分析】本题主要考查因式分解---十字相乘法解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）根据“两个因数的积为零，那么这两个因数中至少有一个因数为零”可得答案； （2）①把分解成与2的积，且，方程可变形为，故可解答； ②把分解成，分解成，而，故方程可变形为，故可解答． 【详解】（1）解：， ∴或， 故答案为：；； （2）解：①， ， 或， ∴，； ②， ， 或， ∴，． 19．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）根据提公因式法即可求解； （2）根据题意中的分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解： 故选：A． （2）解： 20．（2025·上海宝山·模拟预测）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【答案】1） ；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是从简单情形出发，找出规律，解决问题． （1）直接利用题意规律求出结果； （2）利用题意规律求出结果； （3）利用提公因式和题意规律求出结果． 【详解】解：（1） ． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． 【经典例题三 公式法因式分解】 21．（25-26七年级上·上海杨浦·随堂练习）若多项式（其中，且为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则的值可能有几种． 【答案】a的值可能有3种 【分析】本题考查了公式法分解因式．根据平方差公式的公式结构求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，多项式不能利用平方差公式进行因式分解， 所以a的值可能有3种． 22．（24-25七年级上·上海松江·期末）给出三个单项式：，，． (1)任选两个单项式相减，并进行因式分解； (2)利用因式分解进行计算：，其中． 【答案】(1)答案不唯一，如： (2)4 【分析】本题考查了用公式法与提公因式法分解因式，因式分解的运用． （1）选第一个与第二的差，用平方差公式进行因式分解；若选第一个与第三个或第二个与第三个，则可用提公因式法分解因式； （2）利用完全平方公式分解因式，再代入求值即可． 【详解】（1）解：选第一个与第二的差， 即； 选第二个与第一的差， 即； 选第一个与第三的差， 即； 选第三个与第一的差， 即； 选第二个与第三的差， 即； 选第三个与第二的差， 即； 任选其中一个即可； （2）解： ， 当时，原式． 23．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数； （2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值． 【详解】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下： 因为， 所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． （2）证明：因为 ， 所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 24．（24-25七年级上·上海金山·期末）小明同学在做因式分解时，遇到这样一道题：，小明想了半天都没做出来，于是找小颖帮忙，小颖很快给出了答案，如下： 请仿照小颖的方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，分组分解法，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 前面2项加上1后，可得到完全平方，9可以写成，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 25．（2025·上海闵行·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据题目中给出的等式寻找规律得到每一部分的规律总结出整个式子的规律，通过规律即可得到第5个等式； （2）根据上面得到的规律，将规律数替换成n，使之由特殊到一般规律即可； 本题考查了数与代数式中的规律，读懂题意，找出等量关系以及利用整式的乘法公式进行化简证明是解题的关键． 【详解】（1）解：第5个等式：； 故答案为： （2）解：猜想：， 证明：左边 右边． 26．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可； （2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可． 【详解】（1）解：设， 则原式， 将“”还原，原式． （2）证明：原式． 设，则原式． 将“”还原，原式． 为正整数， 为正整数， 的值一定是某个整数的平方． 27．（24-25七年级上·上海静安·期末）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 问题解决： (1)请你按照上面的方法分解因式：； (2)已知一个长方形的面积为，宽为（为正数），求这个长方形的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用配方法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键； （1）仿照题中所给方法进行分解因式即可； （2）根据题中所给方法及分式的性质直接进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ∵长方形的面积为，宽为， ∴这个长方形的长为：． 28．（24-25七年级上·上海杨浦·随堂练习）阅读下面材料． 我们知道可以分解因式，结果为，其实也可以通过配方法分解因式，其过程如下： ． (1)请仿照上述过程填空： ； ； ． (2)请观察（1）中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？ 【答案】(1)，5，，，1， (2)所填的两个数的和等于一次项系数，积等于常数项 【分析】本题主要考查了利用“配方法”进行因式分解，完全平方公式和平方差公式因式分解，灵活运用“配方法”是解答本题的关键． （1）直接利用“配方法”求解即可； （2）由（1）求解即可． 【详解】（1） ； ； 故答案为：，5，，，1，； （2）由（1）得，所填的两个数的和等于一次项系数，积等于常数项． 29．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）观察与思考： 在整式的乘法中，我们学习了平方差公式：,反过来，就是因式分解中的平方差公式．类似地，对于完全平方公式：，反过来，是因式分解中的完全平方公式． 请根据上述知识，解决下面问题： 已知一个长方形的长为，宽为，面积为4，且满足，求长方形的周长． 【答案】16 【分析】本题考查因式分解的应用，灵活运用乘法公式是解答的关键．先根据长方形的面积公式，利用平方差公式分解因式为，再根据已知条件，结合平方根定义求得，，根据，都为正数得到，进而利用长方形的周长公式求解即可． 【详解】解：根据长方形面积为长宽，得， 由，得，则，即， 解得，则， 长方形周长为， 由，得， 当，时，，， 不满足，都为正数， 故， 因此长方形的周长为． 30．（24-25七年级上·上海虹口·期中）形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． （1）用配方法因式分解：． 解：原式 ． （2）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． 因为，所以． 所以的最小值为． 解决问题： （1）因式分解： ； （2）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （3）若实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】（1）；（2）4；（3）3 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式，平方差公式， 对于（1），仿照上述过程根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可； 对于（2），原式变形可得，再根据完全平方公式的非负性解答即可； 对于（3），由题意得，再根据（2）讨论极值即可. 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）． 因为，所以． 所以的最小值为4； （3）因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以a＋b的最小值为3． 故答案为：3. 【经典例题四 因式分解彻底分解问题】 31．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）因式分解（注意分解彻底）： （1）ab2﹣2ab+a                         （2）（a+b）x2-（a+b）                （3）（x2+2x）2-（2x+4）2．               （4）（m2-m-1）（m2-m-3）-15 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先提取公因式a，再利用完全平方公式因式分解； （2）先提取公因式a+b，再利用平方差公式因式分解； （3）先利用平方差公式因式分解，再分别用完全平方公式和平方差公式因式分解； （4）将看成整体计算，再利用十字相乘法因式分解，然后进一步利用十字相乘法给第一个括号内因式分解． 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= =； （3）原式= = = =； （4）原式= = = =． 【点睛】本题考查综合运用公式法和提取公因式法因式分解．一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式．同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．本题中还需要注意十字相乘法因式分解． 32．（24-25七年级上·上海松江·期中）对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，再结合课堂所学就可以对多项式彻底因式分解．以上这种因式分解的方法叫“试根法”． (1)求式子中m、n的值； (2)用“试根法”分解多项式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用． （1）根据，得出有关m，n的方程组求出即可； （2）由把代入，得其值为0，则多项式可分解为的形式，先根据（1）的方法求出a，b的值，进而将多项式分解得出答案． 【详解】（1）解：在等式中， 分别令，，得 ， 解得； （2）解：把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 分别令，，得 ， 解得， 所以． 33．（25-26七年级上·上海普陀·单元测试）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了下列因式分解的___________；（请填写序号） ①提取公因式法②平方差公式法③两数和的完全平方公式法 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)③ (2)不彻底，最后结果为 (3) 【分析】本题考查了换元法和完全平方公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式法分解因式是解题的关键． （1）根据两数和的完全平方公式的形式即可求解； （2）利用两数和的完全平方公式法即可求解； （3）设，利用完全平方公式法分解因式即可求解． 【详解】（1）解：， 则某同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法， 故答案为：③． （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ． 34．（24-25七年级上·上海长宁·开学考试）阅读下列材料：分解因式：． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式： (2)分解因式： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解： （1）先将原式分组为，再利用提取公因式法和公式法进行分解； （2）先将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 35．（24-25七年级上·上海崇明·开学考试）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式：． 解：原式第1步：拆项法，将拆成和 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部) 第4步：提公因式法(整体)； 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底 (1)请你试一试分解因式：； (2)请你试一试在实数范围内分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）根据题意原式可化为，再提取公因式可得，再应用平方差公式进行分解因式可得，再提取公因式可得，可化为，应用十字相乘法进行分解因式即可得出答案； （2））原式可化为再提取公因式可得，再提取公因式可得，再应用实数范围内分解因式即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．（24-25七年级上·上海松江·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式3，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先把第一项和第二项用平方差公式分解因式，把第三项和第四项提公因式2，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 37．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 38．（24-25七年级上·上海闵行·期末）七年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，用提公因式法因式分解是解题的关键． （1）先分组，再用提公因式法因式分解即可； （2）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可； （3）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 39．（24-25七年级上·上海闵行·期末）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： (1)以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； (3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查公式法分解因式； （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式； （3）设，再将y代入即可求解． 【详解】（1）设 则：原式 ， 故答案为：； （2）设 原式= ； （3）设 ∴原式 ． 40．（24-25七年级上·上海静安·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查了乘法公式， （1）根据完全平方和（差）公式进行因式分解．即可计算得出结果； （2）根据题意对算式进行配方，然后，利用平方差公式进行因式分解，即可得出结果； 首先，将代数式，进行分组，然后，结合提公因式和平方差公式，得到，进一步整理即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）① 原式 ； ② ． 【经典例题五 因式分解的综合应用】 41．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）n为整数时，能否被4整除？并说明理由． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题关键．先利用平方差公式对多项式因式分解为，即可得解． 【详解】解： ， 即能被4整除． 42．（25-26七年级上·上海普陀·单元测试）已知，，求下列式子的值． (1)； (2)用两种方法，一种直接计算，一种因式分解相关方法） 【答案】(1)15 (2)19 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解此题的关键． （1）先提公因式分解因式，然后整体代入求值即可； （2）利用完全平方公式及其变形进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：方法一：∵，，， ∴， ∴． 方法二：∵，， ∴ ． 43．（25-26七年级上·上海杨浦·课后作业）观察下列式子，你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？ ， ， ， …… 【答案】结论：，证明见解析 【分析】本题考查了探索规律问题，完全平方公式．仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的规律．然后，证明结论． 【详解】解：∵， ， ， ……， ∴第 n行的式子为：， 左式 ； 右式 ； ∴左式=右式， ∴等式成立． 44．（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）如图，长和宽分别为a，b的长方形的周长为20，面积为12，求的值． 【答案】1440 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 根据长方形的周长与面积公式确定出与的值，原式分解后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵长和宽分别为a，b的长方形的周长为20，面积为12， ． 45．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如果，，，因此4，12，20都是“神秘数”．设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ 【答案】两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，理由见解析 【分析】此题考查了因式分解的实际运用求出由和这两个连续偶数构造的神秘数为，然后运用平方差公式进行化简，即可判断其是否是4的倍数． 【详解】解：两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，理由如下： ， ， ∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数． 46．（25-26七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，在一块边长为的正方形纸板四周，各剪去一个边长为的正方形． (1)用代数式表示阴影部分的面积； (2)利用因式分解的方法计算：当时，阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)189 【分析】本题考查了因式分解的应用、列代数式，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． （1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积解答即可得； （2）先利用平方差公式分解因式，再将代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积， 则阴影部分的面积为． （2）解：阴影部分的面积为， 将代入得： ， 答：阴影部分的面积为189． 47．（24-25七年级上·上海虹口·期末）【问题呈现】 观察下列式子：，，，…… 【问题解决】 （1）请你写出第五个式子______； （2）猜想第n个式子，并说明它的正确性． （3）按照上述规律，______； 【知识迁移】 数学社团在研究“正整数m能否表示为（x、y均为自然数）”时，发现若m是4的倍数时，则有：，，，，，……按上述规律，将下列两数用“”形式表示出来． （4）______； （5）______． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例，找出规律，进行因式分解． （1）因为式子依次是，，所以第五个式子是：． （2）因为式子依次是，，所以第n个式子是：，将左边式子展开，发现左右两边相等； （3）因为式子依次是，，所以． （4）因为m是4的倍数时，则有：，，，求出结果即可； （5）因为m是4的倍数时，则有：，，，所以． 【详解】解：（1）因为式子依次是：， 可得第五个式子是：． 故答案为：． （2）第n个式子是：， 因为 ， 所以． （3） ， 故答案为：． （4） ； 故答案为：． （5） ； 故答案为：． 48．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ． 49．（24-25七年级上·上海金山·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)1314 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 50．（24-25七年级上·上海闵行·期末）我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．小明同学在学习了因式分解后，对用图形拼接验证因式分解的方法非常感兴趣，他利用了此方法做了以下研究．    (1)如图1，大正方形的边长为a，小明将大正方形拆分为边长为b的小正方形A和两个长方形B，C，然后将长方形C拼接在了的位置，请写出小明验证的因式分解的公式是_____； (2)在经过了一些尝试后小明同学又利用图形的拆分和拼接方法验证了多项式：的因式分解；那么他是如何验证的呢？在下面的图2中画出他拆分和拼接的示意图；并借此因式分解：； (3)在对多项式因式分解后，小明还发现了它可以用于巧算这样的计算题：，小明是怎样巧算的这道题，请写出计算过程． 【答案】(1) (2)见解析， (3)见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意可得大正方形面积减去正方形A的面积等于长方形B加上长方形的面积，据此列式求解即可； （2）画一个长为，宽为的大长方形，再在这个大长方形中画一个长为，宽为的长方形，再仿照题意拼接图形即可得到答案； （3）根据（2）所求令据此代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形面积减去正方形A的面积等于长方形B加上长方形的面积， ∴ （2）解：如图所示，    （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $