专题04 因式分解易错必刷题型专训（52题13个考点）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 因式分解章末易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海金山·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 3．（2025·上海奉贤·模拟预测）把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·随堂练习）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 5．（24-25七年级上·上海松江·期末）若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（    ） A．－5 B．2 C．－1 D．1 6．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，多项式可因式分解为，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．7 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若x2＋ax﹣2＝（x﹣1）（x＋2），则a＝ ． 8．（2025·上海普陀·模拟预测）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中、代表两个被污染的系数），则 ， ． 【易错必刷三 公因式】 9．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）8和24的最大公因数是(　　) A．4 B．8 C．16 D．24 10．（24-25七年级上·上海金山·期末）多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（　　） A．4xm﹣1yn﹣1 B．2xm﹣1yn﹣1 C．2xmyn D．4xmyn 11．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）分别写出下列多项式的公因式： (1)ax＋ay： ；(2)25a3b2＋15a2b－5a3b3： ；(3)(y－x)2＋(x－y)： ．     12．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）对于多项式． （1）它的公因式是 ； （2）因式分解结果是 ． 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 13．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）将提出公因式后，另一个因式是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·上海崇明·期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·上海虹口·期中）在有理数范围内分解因式： ． 16．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）把分解因式．小红的解法是这样的： 解：原式． 她的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 17．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列因式分解正确的是(　　) A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）下列多项式，不能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·上海静安·期末）在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·上海虹口·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 21．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）下列算式可用平方差公式的是(　　) A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D．9 23．（2025·上海嘉定·模拟预测）若多项式（为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则的值可以是 ．（写出一个即可） 24．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算：991×1009 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 25．（24-25七年级上·上海长宁·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知能用完全平方公式因式分解，则m的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 27．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）填空： （1），第一个横线填写： ，第二个横线填写： ；           （2），第一个横线填写： ，第二个横线填写： ； （3），第一个横线填写： ，第二个横线填写： ；         （4），第一个横线填写： ，第二个横线填写： ． 28．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）因式分解： 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 29．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·上海闵行·模拟预测）对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 31．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝ ． 32．（24-25七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： 【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】 33．（24-25七年级上·上海长宁·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·上海虹口·期末）一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．我爱数学 C．爱祖国 D．我爱祖国 35．（2025·上海宝山·模拟预测）因式分解： . 36．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）因式分解： (1)； (2) 【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】 37．（2025·上海嘉定·模拟预测）小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 38．（2025·上海长宁·模拟预测）分解因式：（a+5）（a﹣5）+7（a+1）= . 39．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）利用因式分解简便计算： （1）； （2） 40．（24-25七年级上·上海长宁·期末）（1）分解因式； （2）利用因式分解计算：． 【易错必刷十一 十字相乘法】 41．（24-25七年级上·上海松江·期末）把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 43．（24-25七年级上·上海虹口·期末）分解因式：x2+4x﹣12＝ ，2x2﹣7x+3＝ （x﹣3） 44．（24-25七年级上·上海闵行·期中）因式分解 （1） （2） （3） 【易错必刷十二 分组分解法】 45．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　） A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11 46．（24-25七年级上·上海金山·期末）如果实数，，则的值为（    ） A． B． C． D． 47．（2025七年级上·上海·专题练习）因式分解： ； ； ； 48．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）因式分解： 【易错必刷十三 因式分解的应用】 49．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 50．（24-25七年级上·上海青浦·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 51．（24-25七年级上·上海崇明·期末）如图，“”形图形的面积为45，如果，那么 ． 52．（24-25七年级上·上海崇明·期末）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解章末易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）下列从左到右的变形是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，熟记因式分解的定义是解题的关键．“把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解”． 【详解】解：A、右边不是整式积的形式，故本选项错误； B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误； C、是因式分解，故本选项正确； D、右边不是整式积的形式，括号内的字母x在分母上，故本选项错误． 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海金山·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个 的积的形式． 【答案】整式 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解”． 【详解】解：因式分解的结果是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 故答案为：整式． 3．（2025·上海奉贤·模拟预测）把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 【答案】 积 整式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求解，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·随堂练习）下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是关键； （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 5．（24-25七年级上·上海松江·期末）若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（    ） A．－5 B．2 C．－1 D．1 【答案】D 【分析】设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值． 【详解】解：根据题意设， ∴，， 解得：，． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 6．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，多项式可因式分解为，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】B 【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若x2＋ax﹣2＝（x﹣1）（x＋2），则a＝ ． 【答案】1 【分析】由十字相乘法分解因式知：a＝﹣1＋2． 【详解】由题意知，a＝﹣1＋2＝1； 故答案是：1． 【点睛】本题考查因式分解与整式乘法的关系，比较基础． 8．（2025·上海普陀·模拟预测）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中、代表两个被污染的系数），则 ， ． 【答案】 －1 －3 【分析】利用整式乘法和因式分解的关系进行分析求解 【详解】由题意得，－6＝2，2＋， 解得：－3，－1， 故答案为：－1；－3． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解与整式乘法是恒等变形是关键． 【易错必刷三 公因式】 9．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）8和24的最大公因数是(　　) A．4 B．8 C．16 D．24 【答案】B 【分析】先分别找出8和24的因数，然后根据最大公因数的概念即可求得答案. 【详解】8的因数有1、2、4、8， 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24， 所以8和24的最大公因数是8， 故选B. 【点睛】本题考查了最大公因数，熟练掌握最大公因数的概念以及求解方法是解题的关键. 10．（24-25七年级上·上海金山·期末）多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（　　） A．4xm﹣1yn﹣1 B．2xm﹣1yn﹣1 C．2xmyn D．4xmyn 【答案】B 【分析】直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式． 【详解】解：多项式2xmyn-1-4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是：2xm-1yn-1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了公因式，正确把握公因式的定义是解题关键． 11．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）分别写出下列多项式的公因式： (1)ax＋ay： ；(2)25a3b2＋15a2b－5a3b3： ；(3)(y－x)2＋(x－y)： ． 【答案】 a； 5a2b； (x－y). 【分析】找多项式中各项公因式的方法：一是找出所有系数的最大公约数，二找出相同字母的最低指数次幂. 【详解】(1)的公因式为a； (2)的公因式为； (3)的公因式为. 故答案为 (1). (1)a；    (2). (2)5a2b；    (3). (3) (x－y). 【点睛】本题主要考查公因式的确定，解题的关键是正确掌握找公因式的方法.找公因式的方法：一是找出所有系数的最大公约数，二找出相同字母的最低指数次幂. 12．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）对于多项式． （1）它的公因式是 ； （2）因式分解结果是 ． 【答案】 【分析】（1）根据公因式的概念解答即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：（1）它的公因式是b； 故答案为：b； （2）原式＝b（a2+a﹣1）． 故答案为：b（a2+a﹣1）． 【点睛】此题考查的是公因式和提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 13．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）将提出公因式后，另一个因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式的方法．首先提取公因式，可得，从而可得答案． 【详解】解：， 将提出公因式后，另一个因式是， 故选：D． 14．（24-25七年级上·上海崇明·期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用公因式的定义求解即可． 【详解】解： = =， 提取的公因式为mn． 故选D． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解答本题关键． 15．（24-25七年级上·上海虹口·期中）在有理数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键． 根据题意，提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 16．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）把分解因式．小红的解法是这样的： 解：原式． 她的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 【答案】不正确，正确解法见解析 【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．根据提公因式法因式分解即可． 【详解】解：不正确，正确解法如下： ． 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 17．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列因式分解正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的公式法判断即可． 【详解】解：A选项，所以，A错误； B选项是因式分解，B正确； C选项，所以，C错误； D选项，所以，D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的方法公式法，灵活利用平方差公式及完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 18．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）下列多项式，不能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式各项利用平方差公式的结构特征：,即可做出判断． 【详解】解：A． ，能运用平方差公式分解因式，不符合题意； B． 不能运用平方差公式分解因式，符合题意； C． ，能运用平方差公式分解因式，不符合题意； D．，能运用平方差公式分解因式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 19．（24-25七年级上·上海静安·期末）在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用平方差公式： ，进而分解因式判断即可． 【详解】A、，无法分解因式，故此选项不合题意； B、，能用平方差公式分解，故此选项符合题意； C、，无法分解因式，故此选项不合题意； D、，无法分解因式，故此选项不合题意． 故选B． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 20．（24-25七年级上·上海虹口·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 21．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）下列算式可用平方差公式的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 逐项分析即可． 【详解】解：A、中没有相同的项，故不能用平方差公式计算； B、中没有相同的项，故不能用平方差公式计算； C、，故能用平方差公式计算； D、中没有相同的项，故不能用平方差公式计算； 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．熟记公式结构是解题的关键． 22．（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D．9 【答案】A 【分析】利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可． 【详解】解：，， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了运用公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 23．（2025·上海嘉定·模拟预测）若多项式（为不等于0的常数）能在有理数范围内因式分解，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查因式分解的概念．根据题意，写出一个符合题意的值即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算：991×1009 【答案】 【分析】本题可以把991写成（1000-9），把1009写成（1000+9）的形式，然后运用平方差公式进行简便运算. 【详解】原式= 故答案为 【点睛】本题首先考虑简便的计算方法，选择平方差公式进行简便运算. 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 25．（24-25七年级上·上海长宁·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、，是用完全平方公式进行的因式分解，符合题意； B、，等式左边是单项式，不是因式分解，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解就是把一个多项式转化成几个整式积的形式．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 26．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知能用完全平方公式因式分解，则m的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据的结构特征判断m的值即可． 【详解】解：∵能用完全平方公式因式分解， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 27．（25-26七年级上·上海奉贤·课后作业）填空： （1），第一个横线填写： ，第二个横线填写： ；           （2），第一个横线填写： ，第二个横线填写： ； （3），第一个横线填写： ，第二个横线填写： ；         （4），第一个横线填写： ，第二个横线填写： ． 【答案】 9 3 1 1 【分析】本题考查完全平方公式进行配方，将二次三项式转化为完全平方公式． （1）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式； （2）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式； （3）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式； （4）将二次项系数与一次项系数进行比较，求出常数项，进而得到完全平方式． 【详解】（1）， 故答案为：9；3； （2）， 故答案为：；； （3）， 故答案为：1；1； （4）， 故答案为：；． 28．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】把(a-b)和(a+b)当做一个整体，再利用完全平方公式进行因式分解. 【详解】 = = = = 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据题意多项式的特点进行整体代入． 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 29．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将和因式分解,然后找出公因式即可. 【详解】解: 故和的公因式为: 故选B. 【点睛】此题考查的是因式分解和公因式,掌握用公式法因式分解和公因式的定义是解决此题的关键. 30．（2025·上海闵行·模拟预测）对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，此项错误； ②，此项正确； ③，此项错误； ④，此项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 31．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝ ． 【答案】 【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可． 【详解】﹣64x3＋y3 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键． 32．（24-25七年级上·上海浦东新·期末）因式分解： 【答案】 【分析】利用分组因式分解方法，先对后三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解因式 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查分组因式分解方法，用公式法进行因式分解，掌握分组分解法进行因式分解的一般步骤是解题的关键． 【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】 33．（24-25七年级上·上海长宁·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的方法和步骤，依次判断各个选项即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和步骤，因式分解的方法主要有：提取公因式法，公式法． 34．（24-25七年级上·上海虹口·期末）一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．我爱数学 C．爱祖国 D．我爱祖国 【答案】D 【分析】先题干提取公因式和平方差公式因式分解，再根据结果求解． 【详解】解： ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱祖国， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，分解要彻底是解题的关键． 35．（2025·上海宝山·模拟预测）因式分解： . 【答案】 【分析】先提公因式a，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提供因式法和公式法分解因式是解答的关键． 36．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取，再利用平方差公式即可分解； （2）先提取3，再利用完全平方公式即可分解． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的几种方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等． 【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】 37．（2025·上海嘉定·模拟预测）小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 【答案】B 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案． 【详解】解： ∴能被2022，2023，2024整除， 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 38．（2025·上海长宁·模拟预测）分解因式：（a+5）（a﹣5）+7（a+1）= . 【答案】（a﹣2）（a+9） 【详解】先将原式运用平方差公式、整式乘法化简后进行因式分解． 解：原式=a2-25+7a+7= a2+7a-18=（a﹣2）（a+9） “点睛”本题考查了分解因式的知识，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 39．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）利用因式分解简便计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平方差公式计算； （2）分子、分母都可以提取公因式后再提公因式计算； 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=． 【点睛】此题考查利用提取公因式法和平方差公式进行简化计算，根据题目的特征，合理构造，运用乘法公式和因式分解法进行简化计算． 40．（24-25七年级上·上海长宁·期末）（1）分解因式； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据十字相乘法即可求解； （2）利用提取公因式法即可求解． 【详解】（1）= （2）原式． 【点睛】此题主要考查因式分解及应用，解题的关键是熟知因式分解的方法． 【易错必刷十一 十字相乘法】 41．（24-25七年级上·上海松江·期末）把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． 42．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； B、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； C、，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意； D、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； 故选C 【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解． 43．（24-25七年级上·上海虹口·期末）分解因式：x2+4x﹣12＝ ，2x2﹣7x+3＝ （x﹣3） 【答案】 （x﹣2）（x+6） （2x﹣1）． 【分析】直接用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：（1）x2+4x﹣12＝（x﹣2）（x+6）； （2）2x2﹣7x+3＝（2x﹣1）（x﹣3）． 故答案是：（x﹣2）（x+6）；（2x﹣1）． 【点睛】考查了十字相乘法分解因式的方法，解本题的关键是分解因数． 44．（24-25七年级上·上海闵行·期中）因式分解 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）应用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先将前后括号中的式子进行变形，然后将看作一个整体，提公因式即可； （3）先提公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】题目主要考查因式分解的公式法、提公因式法、十字相乘法，熟练掌握运用各种方法是解题关键． 【易错必刷十二 分组分解法】 45．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　） A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11 【答案】B 【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解． 【详解】解：a2-ab-ac+bc=11， （a2-ab）-（ac-bc）=11， a（a-b）-c（a-b）=11， （a-b）（a-c）=11， ∵a＞b， ∴a-b＞0，a，b，c是正整数， ∴a-b=1或11，a-c=11或1． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式． 46．（24-25七年级上·上海金山·期末）如果实数，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把已知等式化为，再移项分组分解因式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又a≠b， ∴b+a=-5． 故选A． 【点睛】此题的实质是考查等式的性质和因式分解，关键是已知条件的变形． 47．（2025七年级上·上海·专题练习）因式分解： ； ； ； 【答案】 / ； ； ． 【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 48．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，先根据单项式与多项式相乘计算，再分组分解即可． 【详解】解： 【易错必刷十三 因式分解的应用】 49．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A 50．（24-25七年级上·上海青浦·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 51．（24-25七年级上·上海崇明·期末）如图，“”形图形的面积为45，如果，那么 ． 【答案】15 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用．将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式，然后因式分解即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得：， 即 ∵， ∴， 故答案为：15． 52．（24-25七年级上·上海崇明·期末）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式即可解决． 【详解】解：， ∴当n为任意正整数时，能被8整除． 学科网（北京）股份有限公司 $