专题03 因式分解70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第03讲 因式分解70道计算题专项训练（70大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）计算：999×118＋999×－999×18. 【答案】99900. 【分析】根据因式分解法步骤，先提取公因式999，然后整理即可得到正确答案. 【详解】原式＝999×＝999×100＝99900. 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是找出公因式． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法因式分解是解题的关键． （1）先将原式变形为，再提取公因式即可； （2）直接利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（25-26七年级上·上海宝山·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解； （1）先提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式分解因式即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 4．（25-26七年级上·上海宝山·随堂练习）利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)20260 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 5．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）先因式分解，再计算求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1），6；（2） 【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，再代入求值； （2）先利用提取公因式法分解因式，再代入求值． 【详解】解：（1）原式＝， 把代入，得：原式＝＝6， （2）原式＝， 把代入，得：原式＝． 【点睛】本题考查因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法是关键． 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了因式分解，整体代入思想．提出公因式，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．分别将所求的代数式分成前两项和后两项，前两项利用提取公因式进行因式分解，然后再次利用提取公因式进行因式分解，将已知代数式的值代入化简后的结果进行计算得出答案． 【详解】解： ∵，       ∴原式 ． 8．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用及代数式求值问题；对要求的式子进行转化，用与表示是正确解答本题的关键． 对要求的式子进行转化，用与表示，代入数值可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 9．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式法可分别求解即可； （2）根据提公因式法可分别求解即可； （3）根据提公因式法可分别求解即可； （4）根据提公因式法可分别求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 10．（2025七年级上·上海·专题练习）在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式分解因式，并请甲、乙两名同学在黑板上演算． 甲演算的过程： ． 乙演算的过程： ． 他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案． 【答案】不正确； 【分析】首先得出公因式，再利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：不正确； ． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键． 【经典计算题二 平方差公式分解因式】 11．（2025七年级上·上海松江·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握各种因式分解的方法是解题的关键．先利用平方差公式，再利用十字相乘法进行分析即可解答． 【详解】解： ． 12．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）将下列多项式因式分解： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式因式分解； （2）根据平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解答的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式分解因式即可； （4）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握各种因式分解的方法，常用的有提公因式法，乘法公式法，十字相乘法等等． （1）利用平方差公式分解即可； （2）提公因式分解即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （4）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （5）利用完全平方公式分解即可； （6）利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 15．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）（1）利用因式分解计算：； （2）分解因式：①；②． 【答案】（1）（2）①② 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键； （1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）①直接利用平方差公式分解因式即可；②直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式． （2）①原式． ②原式． 16．（24-25七年级上·上海长宁·期末）按照要求解答一下两个小题． (1)分解因式：； (2)用因式分解计算： 【答案】(1) (2)70000 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，利用平方差公式分解因式； （1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 17．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式将所求每一个因式变形，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，利用平方差公式拆项后前一项与后一项出现倒数是解题的关键，计算中有时利用公式求解运算更加简便． 18．（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握利用公式法分解因式是解本题的关键. （）用完全平方公式进行因式分解即可； （）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （）先将常数项去括号，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： (1)________，________； (2)观察上面式子：写出的结果，并进行简单推理． 【答案】(1)，； (2)，推理见解析 【分析】本题考查了运用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式计算即可； （2）运用平方差公式，因式分解计算即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：3，； （2）解：． ． 20．（2025·上海闵行·模拟预测）（1）计算：； （2）因式分解： 小明的解题过程如下： …………………………第一步     …………………………第二步      …………………………第三步 请问小明同学第一步因式分解用到的公式是： （用字母a，b表示该公式）；小红说他的步骤有错误，并指出从第 步开始出现了错误． 请用小明的思路写出这道题正确的解法． 【答案】（1）；（2）；第二步；见解析 【分析】本题考查实数的混合运算及因式分解，熟练掌握零指数幂运算法则及平方差公式是解题关键． （1）根据零指数幂、算术平方根及绝对值的性质化简，再计算加减法即可得答案； （2）根据平方差公式、因式分解的概念及整式混合运算法则计算即可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴小明同学第一步因式分解用到的公式是：； ∵ ． ∴从第二步开始出现了错误． 【经典计算题三 完全平方公式分解因式】 21．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算：20112-4022×2010+20102 【答案】1 【分析】本题把4022×2010可化为2×2011×2010的形式，则原式即为一个完全平方差式，可以运用完全平方差公式进行简便计算. 【详解】原式= 故答案为1 【点睛】本题首先考虑简便的计算方法，选择完全平方差公式进行简便运算. 22．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解—完全平方公式：， （1）将原式化为，再利用完全平方公式分解即可； （2）将原式化为，再利用完全平方公式分解即可； （3）将原式化为，再利用完全平方公式分解即可； （4）将原式化为，再利用完全平方公式分解即可； 解题的关键是掌握完全平方公式的特点： （1）左边是三项式，首末两项是两个数（或两个式子）的平方，且符号都相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的倍，符号正负均可； （2）右边是两个数（或两个式子）的和（或差）的平方，和（或差）与积的倍的符号保持一致； （3）完全平方式中的、可以是一个数，一个式（一个单项式或是一个多项式）． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 23．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． （1）提公因式进行因式分解即可； （2）提公因式进行因式分解即可； （3）利用平方差公式进行因式分解即可； （4）利用平方差公式进行因式分解即可； （5）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ． 24．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 25．（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）已知，求的值． 【答案】25 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟记完全平方公式是解本题的关键，把原式化为，再利用完全平方公式分解因式，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 26．（24-25七年级上·上海崇明·期末）从，，这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查了分解因式．运用提公因式法或公式法进行分解即可解答． 【详解】解：选择，， ∴； 选择， ∴； 选择，，， ∴． 27．（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)80 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 28．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或； ③选取一次项和常数项配方： ． 根据上述材料，解决下面的问题： (1)选取一种方法对进行配方； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据配方法的步骤选取二次项和一次项配方即可． （2）根据配方法的步骤把原式变形为，再根据，求出的值，即可得出答案． 本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解题的关键， 【详解】（1）解： （2） ∴ 解得： ∴ 29．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法的运用，公式法因式分解，掌握换元思想，公式法分解因式的方法是解题的关键． （1）运用换元法设，再运用完全平方公式因式分解即可； （2）方法一：设；方法二：设；再运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：设， 则 ； （2）解：方法一：设， 则 ； 方法二：设， 则 ． 30．（24-25七年级上·上海闵行·期末）学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式；        ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式；    ④两数差的完全平方公式． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 【答案】(1)④ (2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． （1）根据两数差的完全平方公式进行作答即可； （2）根据题干中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式， 故答案为：④ （2）解：， 设， 原式 ． 【经典计算题四 综合运用公式法分解因式】 31．（24-25七年级上·上海虹口·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法等． （1）先根据平方差公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，正确选用因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式分解即可； （3）原式整理后．运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 33．（24-25七年级上·上海宝山·期中）分解因式： (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （2）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 34．（24-25七年级上·上海虹口·期末）将下列各式因式分解： (1) (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用平方差公式进行分解即可； （2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （3）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 35．（24-25七年级上·上海宝山·期末）（1）计算 （2）运用乘法公式计算 （3）因式分解：     （4）因式分解： 【答案】（1）9（2）（3）（4） 【分析】（1）根据完全平方公式即可进行求解； （2）根据乘方公式即可求解； （3）先提取a，再根据完全平方公式进行因式分解； （4）先分组进行分解，再进行因式分解. 【详解】（1） = =9 （2） = = = （3） = =     （4） = = = 【点睛】此题主要考查整式的运算及因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法. 36．（24-25七年级上·上海青浦·单元测试）分解因式： (1)； (2)． (3)． (4)； (5)． (6)． (7)． (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了因式分解以及整式的运算． （1）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可． （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． （4）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． （5）先按照完全平方公式展开，合并同类项，再提公因式即可． （6）先按照完全平方公式展开，合并同类项，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可． （7）用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可． （8）提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 37．（24-25七年级上·上海闵行·期中）利用因式分解计算：已知：x+y=3，x﹣y=﹣2，求(x2+y2)2﹣4x2y2的值． 【答案】36. 【分析】本题可利用平方差公式进行因式分解，此时 ，然后再用完全平方公式进行最后的分解，最后把式子的值整体的代入结果中得到答案. 【详解】原式= 把代入得： 故答案为36. 【点睛】本题考查了，已知一个式子的值，求代数式的值，该类试题首先要将代数式进行因式分解，选择合适的因式分解方法是解题关键，最后整体代入求值. 38．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）给出三个单项式：，，． （1）任选两个单项式相减，并进行因式分解； （2）利用因式分解进行计算：，其中，． 【答案】（1）见解析；（2），． 【分析】（1）直接选取两个单项式相减再分解因式即可； （2）直接分解因式，再把已知代入求出答案． 【详解】解：（1）a2-b2=(a+b) (a-b)；b2-a2=(b+a) (b-a)； a2-2ab=a(a-2b)；2ab-a2=a(2b-a)； b2-2ab=b(b-2a)；2ab-b2=b(2a-b)； （2）， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 39．（24-25七年级上·上海长宁·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 40．（2025七年级上·上海·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可； （2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题五 综合提公因式和公式法分解因式】 41．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）运用添项法分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，观察发现此多项式不能直接提取公因式和运用公式， 分组也不易进行，通过添项和拆项解决； 根据平方差公式和立方和公式，原式变形为，然后根据相关公式分解因式即可． 【详解】解： ． 42．（2025七年级上·上海奉贤·模拟预测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，再用完全平方公式即可完成分解； （2）采用十字相乘法即可完成因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 故． 43．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）（1）计算：①；    ②． （2）因式分解：①；    ②． 【答案】（1）①；②．（2）①② 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式，综合公因式和公式法分解因式： （1）①将变形为，再根据平方差公式计算； ②根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）①先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可； ②先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）① ； ② ． 44．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）用公式法分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先利用平方差公式分解因式，再计算整式的加减法，然后提取公因式即可得； （2）先利用平方差公式分解因式，再计算整式的加减法，然后提取公因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 45．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法解题即可； （3）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 46．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知a，b均为正数，且，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，整式大小的比较，将两个代数式相减，通过比较差的正负，比较两个式子的大小即可． 【详解】解：∵ ， ∵a，b均为正数，且， ∴，，． ∴． ∴． 47．（24-25七年级上·上海崇明·期末）按要求完成下列各小题 (1)分解因式：； (2)利用乘法公式简便计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解及其应用； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式化为，再进一步计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解：原式． 48．（24-25七年级上·上海松江·期中）分解因式与化简 (1)分解因式：． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用； （1）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可； （2）原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式． （2） ． ， 原式． 49．（24-25七年级上·上海嘉定·单元测试）两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则．由于含字母的二次三项式的一般形式为(其中、、均为常数，且)，所以可设原多项式为； 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开，进而求出与的值； 同理将运用多项式的乘法法则展开，还可求出的值，从而确定原多项式，再将原多项式分解因式即可． 【详解】解：∵     ∴ ， ∵ ∴ ∴ ． 50．（24-25七年级上·上海闵行·期末）七年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，用提公因式法因式分解是解题的关键． （1）先分组，再用提公因式法因式分解即可； （2）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可； （3）先分组，再用公式法和提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【经典计算题六 十字相乘法】 51．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解关于x的方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，因式分解，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 52．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法进行因式分解，整体思想，本题的关键是把看作一个整体． 根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 53．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，熟练掌握十字乘法分解因式是解决本题的关键． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 54．（24-25七年级上·上海奉贤·开学考试）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）提取公因式，分解因式即可得； （2）提取公因式，分解因式即可得； （3）先利用十字相乘法分解因式可得，再利用十字相乘法分解因式即可得； （4）利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 55．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）试利用十字相乘法，求出关于的方程的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．利用因式分解法解方程． 【详解】解：， 或， 所以，． 56．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2）① ； ② ． 57．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读理解： （1）特例运算：①（x+1）（x+2）＝　 　； ②（x+3）（x﹣1）＝　 　； （2）归纳结论：（x+a）（x+b）＝x2+（　 　）x+　 　； （3）尝试运用：直接写出计算结果（m+99）（m﹣100）＝　 　； （4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解： ①x2﹣5x+6＝　 　； ②x2﹣3x﹣10＝　 　． （5）拓展延伸：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是　 　． 【答案】（1）①x2+3x+2；②x2+2x﹣3；（2）a+b；ab；（3）m2﹣m﹣9900；（4）①（x﹣2）（x﹣3）；②（x﹣5）（x+2）；（5）﹣7，﹣2，2，7 【分析】（1）各式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用得出的规律计算即可求出值； （4）利用十字相乘法分解即可； （5）根据十字相乘法求出p的所有可能值即可． 【详解】解：（1）特例运算：①（x+1）（x+2）＝x2+3x+2； ②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3； （2）归纳结论：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab； （3）尝试运用：直接写出计算结果（m+99）（m﹣100）＝m2﹣m﹣9900； （4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解： ①x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）； ②x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）； （5）拓展延伸：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣7，﹣2，2，7， 故答案为（1）①x2+3x+2；②x2+2x﹣3；（2）a+b；ab；（3）m2﹣m﹣9900；（4）①（x﹣2）（x﹣3）；②（x﹣5）（x+2）；（5）﹣7，﹣2，2，7 【点睛】考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 58．（24-25七年级上·上海虹口·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 59．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意根据，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，进行分解因式即可； （3）仿照题意根据，进行分解因式即可； （4）把看做一个整体，仿照题意根据，进行分解因式即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 60．（24-25七年级上·静安·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为20 【分析】本题主要考查整式的运算，因式分解的计算，掌握以上知识是解题的关键． 根据材料解法一提示设另一个因式为，根据因式分解的方法展开，再根据同类项的知识即可求解； 根据材料解法二提示当时，解出的值代入二次三项式求出的值，再进行因式分解即可． 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为20． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为20． 【经典计算题七 分组分解法】 61．（24-25七年级上·上海虹口·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 62．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，提公因式分解因式． （1）先提取公因式，再分组分解，后利用提公因式即可求解； （2）先分组，再提取公因式，再次分组分解，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 63．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是合理分组，然后运用公式法（平方差公式、完全平方公式等）进行因式分解． （1）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，再提取公因式得出最终结果； （2）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果； （3）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 64．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)一题多解法：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式法是解题的关键．注意分解因式要彻底． （1）先提公因式，化简因式后，再提公因式2即可； （2）先变形为，再提公因式即可； （3）用分组分解法分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 65．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题关键． （1）利用提取公因式法因式分解即可； （2）先把前两项利用平方差公式因式分解，再提取公因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （4）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （5）先利用完全平方公式因式分解，再利用平方差公式因式分解即可； （6）利用分组分解法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 66．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解： （提公因式法+公式法） （1）； （2）； （整体思想、公式法） （3）； （4）； （分组分解）（十字相乘法或配方法） （5）； （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查了因式分解﹣分组分解法，十字相乘法，提公因式法与公式法，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键． （1）提取公因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； （3）利用平方差公式分解即可； （4）把看作整体，利用完全平方公式分解即可； （5）利用十字相乘法分解即可； （6）分组分解，先利用平方差公式分解，再提取公因式继续分解即可． 【详解】解：（1）； （2） ； （3） ； （4） ； （5）； （6） ． 67．（24-25七年级上·上海金山·期末）小明同学在做因式分解时，遇到这样一道题：，小明想了半天都没做出来，于是找小颖帮忙，小颖很快给出了答案，如下： 请仿照小颖的方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，分组分解法，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 前面2项加上1后，可得到完全平方，9可以写成，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 68．（24-25七年级上·上海普陀·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用分组分解法分解即可； （2）用分组分解法分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 69．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止) 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法因式分解； （1）先分组，然后根据提公因式法与平方差公式因式分解即可求解； （2）先分组，然后根据提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 70．（24-25七年级上·上海静安·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键． （1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用平方差公式法进行因式分解，根据结果进行说明即可． 【详解】（1）解： ； （2） ∴因式能被9整除． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 因式分解70道计算题专项训练（70大题型） 题型一 提公因式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 【经典计算题一 提公因式法分解因式】 1．（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）计算：999×118＋999×－999×18. 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·上海宝山·随堂练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 4．（25-26七年级上·上海宝山·随堂练习）利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）先因式分解，再计算求值： （1），其中； （2），其中． 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，求的值． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，求的值． 8．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，求多项式的值． 9．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4) 10．（2025七年级上·上海·专题练习）在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式分解因式，并请甲、乙两名同学在黑板上演算． 甲演算的过程： ． 乙演算的过程： ． 他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案． 【经典计算题二 平方差公式分解因式】 11．（2025七年级上·上海松江·专题练习）因式分解：． 12．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）将下列多项式因式分解： (1)． (2) 13．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)； 14．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）（1）利用因式分解计算：； （2）分解因式：①；②． 16．（24-25七年级上·上海长宁·期末）按照要求解答一下两个小题． (1)分解因式：； (2)用因式分解计算： 17．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）计算：． 18．（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 19．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： (1)________，________； (2)观察上面式子：写出的结果，并进行简单推理． 20．（2025·上海闵行·模拟预测）（1）计算：； （2）因式分解： 小明的解题过程如下： …………………………第一步     …………………………第二步      …………………………第三步 请问小明同学第一步因式分解用到的公式是： （用字母a，b表示该公式）；小红说他的步骤有错误，并指出从第 步开始出现了错误． 请用小明的思路写出这道题正确的解法． 【经典计算题三 完全平方公式分解因式】 21．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算：20112-4022×2010+20102 22．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5)． 24．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 25．（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）已知，求的值． 26．（24-25七年级上·上海崇明·期末）从，，这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）． 27．（24-25七年级上·上海宝山·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 28．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或； ③选取一次项和常数项配方： ． 根据上述材料，解决下面的问题： (1)选取一种方法对进行配方； (2)已知，求的值． 29．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． (1)； (2)． 30．（24-25七年级上·上海闵行·期末）学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式；        ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式；    ④两数差的完全平方公式． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 【经典计算题四 综合运用公式法分解因式】 31．（24-25七年级上·上海虹口·期中）因式分解 (1)； (2)． 32．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 33．（24-25七年级上·上海宝山·期中）分解因式： (1) (2) (3)； (4)． 34．（24-25七年级上·上海虹口·期末）将下列各式因式分解： (1) (2)． (3) (4) 35．（24-25七年级上·上海宝山·期末）（1）计算 （2）运用乘法公式计算 （3）因式分解：     （4）因式分解： 36．（24-25七年级上·上海青浦·单元测试）分解因式： (1)； (2)． (3)． (4)； (5)． (6)． (7)． (8)． 37．（24-25七年级上·上海闵行·期中）利用因式分解计算：已知：x+y=3，x﹣y=﹣2，求(x2+y2)2﹣4x2y2的值． 38．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）给出三个单项式：，，． （1）任选两个单项式相减，并进行因式分解； （2）利用因式分解进行计算：，其中，． 39．（24-25七年级上·上海长宁·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 40．（2025七年级上·上海·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【经典计算题五 综合提公因式和公式法分解因式】 41．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）运用添项法分解因式：． 42．（2025七年级上·上海奉贤·模拟预测）因式分解： (1)； (2)． 43．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）（1）计算：①；    ②． （2）因式分解：①；    ②． 44．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）用公式法分解因式： (1) (2)． 45．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 46．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知a，b均为正数，且，试比较与的大小． 47．（24-25七年级上·上海崇明·期末）按要求完成下列各小题 (1)分解因式：； (2)利用乘法公式简便计算：． 48．（24-25七年级上·上海松江·期中）分解因式与化简 (1)分解因式：． (2)已知，求的值． 49．（24-25七年级上·上海嘉定·单元测试）两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 50．（24-25七年级上·上海闵行·期末）七年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．同学们经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 小明由此体会到，对项数较多的多项式进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）．请你也试一试利用分组分解法进行因式分解． (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 【经典计算题六 十字相乘法】 51．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解关于x的方程：． 52．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： 53．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）分解因式： (1)； (2)． 54．（24-25七年级上·上海奉贤·开学考试）分解因式： (1) (2) (3) (4) 55．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）试利用十字相乘法，求出关于的方程的解． 56．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 57．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读理解： （1）特例运算：①（x+1）（x+2）＝　 　； ②（x+3）（x﹣1）＝　 　； （2）归纳结论：（x+a）（x+b）＝x2+（　 　）x+　 　； （3）尝试运用：直接写出计算结果（m+99）（m﹣100）＝　 　； （4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解： ①x2﹣5x+6＝　 　； ②x2﹣3x﹣10＝　 　． （5）拓展延伸：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是　 　． 58．（24-25七年级上·上海虹口·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 59．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）阅读下列材料，回答问题．（1）形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1：②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式： (4)分解因式：； 60．（24-25七年级上·静安·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【经典计算题七 分组分解法】 61．（24-25七年级上·上海虹口·期中）因式分解： (1) (2) 62．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 63．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 64．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)一题多解法：． 65．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 66．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解： （提公因式法+公式法） （1）； （2）； （整体思想、公式法） （3）； （4）； （分组分解）（十字相乘法或配方法） （5）； （6） 67．（24-25七年级上·上海金山·期末）小明同学在做因式分解时，遇到这样一道题：，小明想了半天都没做出来，于是找小颖帮忙，小颖很快给出了答案，如下： 请仿照小颖的方法分解因式：． 68．（24-25七年级上·上海普陀·期中）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：   这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1) ； (2) ． 69．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止) 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 70．（24-25七年级上·上海静安·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 学科网（北京）股份有限公司 $