专题02 因式分解的方法重难点题型专训（4个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 因式分解的方法重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断能否用公式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用 拓展训练二 因式分解新定义运算 拓展训练三 因式分解规律计算 拓展训练四 因式分解的应用 知识点一： 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）因式分解 ． 知识点二： 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式 知识点三： 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海静安·模拟预测）分解因式： ． 知识点四： 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）下列四个多项式中为完全平方式的为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）因式分解： ． 【经典例题一 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A．a2﹣2a＋1 B．a2﹣2ab＋4b2 C．4a2﹣a＋ D．（a＋b）（b﹣a）﹣4ab 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知代数式x+2xy－y；－x－y+2xy；x+xy+y；4x+1+4x.其中能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 3．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）在多项式①﹣m2+9；②﹣m2﹣9；③2ab﹣a2﹣b2；④a2﹣b2+2ab；⑤（a+b）2﹣10（a+b）+25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号）． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【经典例题二 平方差公式分解因式】 【例2】（25-26七年级上·上海松江·课后作业）下列各式不能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①； ②； ③； ④． A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）若，，则 ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）观察下列式子． ①； ②； ③； ④． (1)求________． (2)猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是________，并给予证明． 【经典例题三 完全平方公式分解因式】 【例3】（24-25七年级上·上海松江·单元测试）把因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·上海杨浦·模拟预测）若实数、、满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． E． 2．（24-25七年级上·上海崇明·期中）若x、y满足的，则m的最小值 ． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果能分解为，那么 ． 4．（25-26七年级上·上海松江·单元测试）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【经典例题四 综合运用公式法分解因式】 【例4】（24-25七年级上·上海松江·单元测试）下列四个多项式，能因式分解的是（    ） A．a2＋b2 B．a2－a＋2 C．a2＋3b D．(x＋y)2－4 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）无论、取何值，多项式的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定 2．（24-25七年级上·上海·期末）在有理数范围内分解因式: ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若 ，则 （请用“”“”或“”表示) 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解 (1) (2) 【经典例题五 综合提公因式和公式法分解因式】 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期末）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海静安·期中）如果，，，4，，分别对应6个字：中，国，数，我，爱，学，现将因式分解，结果呈现的可能是哪句话（    ） A．我爱中国 B．爱中国 C．中国数学 D．我爱数学 2．（2025·上海松江·模拟预测）因式分解 ． 3．（2025·上海金山·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） (2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 【经典例题六 十字相乘法】 【例6】（24-25七年级上·上海闵行·期中）代数式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·开学考试） ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 4．（25-26七年级上·上海松江·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【经典例题七 分组分解法】 【例7】（2025七年级上·上海松江·专题练习）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）分解因式： ． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 4．（2025七年级上·上海松江·专题练习）【阅读材料】分解因式： ．以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”．根据以上方法分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用】 1．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则 ． 3．（2025七年级上·上海松江·专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【拓展训练二 因式分解新定义运算】 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海金山·期末）设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是 ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）定义：任意两个数，b，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“求实数”． （1）若＝3，b ＝－2，求出，b的“求实数”； （2）如果＝m﹣4，b＝﹣m，求，b的“求实数”，并证明：无论m取何值时“求实数”总是非正数； （3）已知＝（x≠0），且，b的“求实数”＝，请用含x的式子表示b． 【拓展训练三 因式分解规律计算】 1．（2025·上海崇明·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）找规律：，，…根据上面的规律：当n为正整数时，得 ． 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 【拓展训练四 因式分解的应用】 1．（2025七年级上·上海松江·专题练习）图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·上海·专题练习）已知 ，，，则多项式的值为 ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 1．（25-26七年级上·上海松江·课后作业）计算的结果是（   ） A．700 B．7000 C．10000 D．70000 2．（24-25七年级上·上海静安·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·上海金山·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 5．（2025七年级上·上海松江·专题练习）如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 6．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）因式分解：． 上述结果 （填“正确”或“不正确”）．理由： ． 7．（24-25七年级上·上海宝山·期中）在实数范围内分解因式： ． 8．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）已知一定能被整除，且，都是正整数．若，则的值为 ． 9．（2025七年级上·闵行·模拟预测）已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有 个． 10．（24-25七年级上·上海宝山·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 11．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）对下列多项式进行因式分解 (1) (2) (3) (4) 12．（24-25七年级上·上海宝山·期中）先将分解因式，然后当时，求A的值，并写出你对本题求值过程的感受． 13．（2025七年级上·上海松江·专题练习）【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．（2025七年级上·上海嘉定·专题练习）【探究】如何把多项式因式分解？ （1）【观察】上式_______（填“能”或“不能”）直接利用完全平方公式进行因式分解． （2）【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道．将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为两数之和． 【运用】请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①； ②． 15．（2025·上海宝山·模拟预测）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 因式分解的方法重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断能否用公式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 题型六 十字相乘法 题型七 分组分解法 拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用 拓展训练二 因式分解新定义运算 拓展训练三 因式分解规律计算 拓展训练四 因式分解的应用 知识点一： 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解．先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点二： 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是判断是否分解正确且彻底．     对各选项逐一进行因式分解验证即可． 【详解】解：A.，A正确，符合题意． B.，原选项分解有误，B错误，不符合题意． C.，原选项未彻底分解，C错误，不符合题意． D.，原选项分解不彻底，D错误，不符合题意． 故选：A． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）分解因式 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键． 利用十字相乘法进行分解因式即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 知识点三： 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】能利用平方差公式分解的式子的特点是：两个数或式子的平方差的形式，据此即可判断． 【详解】解：A、是与的平方差的形式，可以分解，即，故选项正确； B、只能提公因式，即，故选项错误； C、不能分解，故选项错误； D、是完全平方式，即，不能用平方差公式分解，故选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的结构特点，正确理解公式的形式是关键． 2．（2025·上海静安·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 知识点四： 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）下列四个多项式中为完全平方式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：选项，中的应改成或，故错误，不符合题意； 选项，中的应改成或，故错误，不符合题意； 选项，中的应改成或，故错误，不符合题意； 选项，是完全平方公式，故正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】 【点睛】本题考查了完全平方公式，提公因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【经典例题一 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A．a2﹣2a＋1 B．a2﹣2ab＋4b2 C．4a2﹣a＋ D．（a＋b）（b﹣a）﹣4ab 【答案】A 【分析】根据完全平方公式进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，能用完全平方公式分解因式，符合题意； B、，不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、，不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、，不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知代数式x+2xy－y；－x－y+2xy；x+xy+y；4x+1+4x.其中能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的特点进行判断. 【详解】x2 +2xy-y 2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解， -x 2-y 2+2xy=-(x2-2xy+y2)，符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解； x2 +xy+y2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解； 4x2 +1+4x=(2x)2+2×(2x)×1+12，符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解． ∴－x－y+2xy和4x+1+4x能用完全平方公式分解因式，共2个， 故选B. 【点睛】本题主要考查了用完全平方公式进行因式分解，且基本形式为：a2±2ab+b2=(a±b)2，熟练掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活变形整理是解题关键. 2．（24-25七年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【分析】首先令x2-3x-2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解． 【详解】令x2−3x−2=0， 则a=1，b=−3，c=−2， ∴x== ∴x2−3x−2=. 故答案为. 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，解题的关键是掌握实数范围内分解因式. 3．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）在多项式①﹣m2+9；②﹣m2﹣9；③2ab﹣a2﹣b2；④a2﹣b2+2ab；⑤（a+b）2﹣10（a+b）+25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号）． 【答案】 ① ③⑤ 【详解】试题分析：根据平方差公式的特点：有两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后求解． 根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可． 解：①﹣m2+9可直接应用平方差公式分解； ②﹣m2﹣9是两数的平方和的相反数，不能因式分解； ③2ab﹣a2﹣b2符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解； ④a2﹣b2+2ab不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解； ⑤将（a+b）看作一个整体，（a+b）2﹣10（a+b）+25符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解． 故能用平方差公式因式分解的有 ①；能用完全平方公式因式分解的有 ③⑤（填序号）． 故答案为①；③⑤． 考点：因式分解-运用公式法． 点评：本题考查了用平方差公式和完全平方公式分解因式，熟记平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【经典例题二 平方差公式分解因式】 【例2】（25-26七年级上·上海松江·课后作业）下列各式不能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． 根据平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：A、，能用平方差公式因式分解，此选项不符合题意； B、，能用平方差公式因式分解，此选项不符合题意； C、不能用平方差公式因式分解，此选项符合题意； D、，能用平方差公式因式分解，此选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）老师在课堂上布置了如图所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①； ②； ③； ④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，根据平方差公式的结构特征计算判断即可． 【详解】解：①； ②； ③不能用平方差公式因式分解； ④． 综上所述，第③道题错误， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式． 根据平方差公式因式分解，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）观察下列式子． ①； ②； ③； ④． (1)求________． (2)猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是________，并给予证明． 【答案】(1) (2)8的倍数，证明见解析 【分析】本题考查平方差公式的应用，将数进行合理的分解是解决整除问题的关键： （1）根据题意得出； （2）理由平方差公式得出，即可得出两个连续奇数的平方差能被8整除． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为： （2）解： ， 为整数， ∴任意两个连续奇数的平方差一定是8的倍数， 故答案为：8的倍数． 【经典例题三 完全平方公式分解因式】 【例3】（24-25七年级上·上海松江·单元测试）把因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故选：D． 1．（2025七年级上·上海杨浦·模拟预测）若实数、、满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．首先，利用完全平方公式和多项式乘法法则，将已知等式展开并化简．然后，通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方为时，这个数本身为，所以推导出，从而得出答案． 【详解】解： 发现， ∵， ∴，即 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海崇明·期中）若x、y满足的，则m的最小值 ． 【答案】66 【分析】依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键． 【详解】解：由题意得， ，， 的最小值为66； 故答案为：66． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果能分解为，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，完全平方公式，由完全平方公式计算，由因式分解定义得到k的值，正确理解因式分解定义是解题的关键 【详解】解： ∵能分解为， ∴ ∴ 故答案为： 4．（25-26七年级上·上海松江·单元测试）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底； (2)，见解析 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）满足完全平方公式，因此还可以因式分解； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：该同学因式分解的结果不彻底； 原式 ， 故答案为：不彻底，； （2）解：设 ，则    原式 ． 【经典例题四 综合运用公式法分解因式】 【例4】（24-25七年级上·上海松江·单元测试）下列四个多项式，能因式分解的是（    ） A．a2＋b2 B．a2－a＋2 C．a2＋3b D．(x＋y)2－4 【答案】D 【分析】 【详解】A. a2＋b2 不能因式分解； B. a2－a＋2不能因式分解； C. a2＋3b不能因式分解；、 D. (x＋y)2－4=(x+y+2)(x+y-2)，能进行因式分解； 故选D. 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）无论、取何值，多项式的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可． 【详解】解：∵≥1＞0， ∴多项式的值总是正数． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 2．（24-25七年级上·上海·期末）在有理数范围内分解因式: ． 【答案】 【分析】利用十字相乘法分解可得，转换成的形式，整理合并同类项即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若 ，则 （请用“”“”或“”表示) 【答案】 【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小．先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系． 【详解】设，则． ， 将代入，得， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题五 综合提公因式和公式法分解因式】 【例5】（24-25七年级上·上海宝山·期末）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．先提公因式，然后再用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 1．（24-25七年级上·上海静安·期中）如果，，，4，，分别对应6个字：中，国，数，我，爱，学，现将因式分解，结果呈现的可能是哪句话（    ） A．我爱中国 B．爱中国 C．中国数学 D．我爱数学 【答案】A 【分析】将因式分解后得到，对照它们分别对应的字，即可得到答案． 【详解】解： ，，4，，分别对应6个字：中，国，我，爱， 原式因式分解后结果呈现的可能为：我爱中国 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法，公式法---平方差公式是解此题的关键． 2．（2025·上海松江·模拟预测）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 此题可根据提公因式及完全平方公式进行因式分解，然后即可求解． 【详解】解： ； 故答案为： 3．（2025·上海金山·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 由题意知，，然后代值求解并作答即可． 【详解】解：， 当，时，，，， ∴密码为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） (2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 【答案】(1)是 (2)是；理由见解析 (3)①见解析  ②不是；理由见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，因式分解的应用． （1）由可得答案； （2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论； （3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论； ②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴36是神秘数， 故答案为：是； （2）解：是，理由如下： ， 因为k是非负整数， 所以是正整数， 所以由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数； （3）解：①设长方形相邻两边的长分别为(m为正整数)， 所以长方形的周长为， 由（2）知，神秘数一定可以用（k为非负整数)表示， 所以是神秘数； ②不是，理由如下： 设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数)， 所以长方形的面积为， 因为k是非负整数， 所以是奇数， 因为和是连续的正整数， 是偶数， ∴， 所以长方形的面积不是神秘数． 【经典例题六 十字相乘法】 【例6】（24-25七年级上·上海闵行·期中）代数式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解： 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海虹口·开学考试） ． 【答案】 【分析】本题主要考查十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：∵，常数项， ∴原式， ； 故答案为． 3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 【答案】 【分析】根据提供的方法解答即可． 本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 系数为， 故， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海松江·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 【经典例题七 分组分解法】 【例7】（2025七年级上·上海松江·专题练习）用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 1．（24-25七年级上·上海松江·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】先把原式分组成，在提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分组分解因式的方法是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】假设是多项式的因式，则只需将多项式进行分组，可写成，此时两两一组分解因式即可得到结果． 【详解】， ， ， ， ∴是多项式的因式． 故答案为：是 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键． 4．（2025七年级上·上海松江·专题练习）【阅读材料】分解因式： ．以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”．根据以上方法分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法，提取公因式法，分组分解法因式分解是解题的关键． （1）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （2）先“二、二分组”，再利用平方差公式计算，最后提取公因式即可求出答案； （3）先“三、一分组”，再利用完全平方公式计算，最后根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ． 故答案为：． 【拓展训练一 因式分解在有理数简算中的应用】 1．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则 ． 【答案】24 【分析】根据题意可知567567÷7÷567=ab，然后即可得到ab的值，再将ab的积分解为两个质数的积，即可得到a、b的值，然后作和即可． 【详解】解：由题意可得， 567567÷7÷567=ab， 解得ab=143， ∵143=11×13， ∴a=11，b=13或a=13，b=11， ∴a+b=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、质数与合数，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值． 3．（2025七年级上·上海松江·专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想． （1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果； （3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ， 同理可得： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【拓展训练二 因式分解新定义运算】 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】各式利用题中的新定义判断即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： A．，，故推断正确； B．，，故推断不正确； C．，，故推断不正确； D．，，故推断不正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·上海金山·期末）设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：， ∴；故①正确； ； ∴；故②正确； ， ∴，故③错误； ∴；故④错误； 故答案为：①②． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）定义：任意两个数，b，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“求实数”． （1）若＝3，b ＝－2，求出，b的“求实数”； （2）如果＝m﹣4，b＝﹣m，求，b的“求实数”，并证明：无论m取何值时“求实数”总是非正数； （3）已知＝（x≠0），且，b的“求实数”＝，请用含x的式子表示b． 【答案】（1）﹣5；（2）见解析；（3）b＝x+2 【分析】（1）根据“求实数”的定义，直接算出c即可； （2）先根据“求实数”求出c，再利用完全平方公式的非负性证明c≤0； （3）先根据“求实数”求出c，再根据c＝x3+3x2﹣1即可求得b＝x+2． 【详解】解：（1）∵＝3，b＝－2， ∴c＝ab+a+b ＝3×（﹣2）+3+（﹣2） ＝﹣5． ∴a，b的“求实数”c是﹣5； （2）∵＝m﹣4，b＝﹣m， ∴c＝﹣m（m﹣4）+（m﹣4）+（﹣m） ＝﹣m2+4m﹣4 ＝﹣（m2﹣4m+4） ＝﹣（m﹣2）2 ∵（m﹣2）2≥0， ∴﹣（m﹣2）2≤0， ∴a，b的“求实数”c总是非正数； （3）∵＝， ∴c＝b（x2﹣1）+x2﹣1+b＝x3+3x2﹣1， ∴bx2﹣b+x2﹣1+b＝x3+3x2﹣1， ∴bx2＝x3+2x2＝x2（x+2）， ∴b＝x+2． 【点睛】本题考查了新定义、完全平方公式及因式分解等知识，理解并运用“求实数”的规定是解决本题的关键． 【拓展训练三 因式分解规律计算】 1．（2025·上海崇明·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期末）找规律：，，…根据上面的规律：当n为正整数时，得 ． 【答案】 【分析】根据已知等式，探索出运算规律，即可求出结论． 【详解】解：， ， …… ∴ = 故答案为：． 【点睛】此题考查的是因式分解的探索规律题，找出运算规律并归纳公式是解题关键． 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了规律探究，找出规律是解题的关键． （1）由已知式子得，即可求解； （2）由题意得，即可得证． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案为：； （2）证明： ， 能被5整除， 能被5整除， 故：比大5的数与的平方差能被5整除． 【拓展训练四 因式分解的应用】 1．（2025七年级上·上海松江·专题练习）图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用．正确列出算式，并用因式分解进行简便计算是解题的关键． 根据放置冰块部分的面积可以看作两个正方形的面积差，列出算式，再用平方差公式分解因式，简便计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 2．（2025七年级上·上海·专题练习）已知 ，，，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，先求出，，，再将所求代数式变形为，再代入计算可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 1．（25-26七年级上·上海松江·课后作业）计算的结果是（   ） A．700 B．7000 C．10000 D．70000 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方差公式的应用，先依据平方差公式进行变形，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海静安·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 3．（2025七年级上·上海金山·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果． 【详解】 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选：A． 5．（2025七年级上·上海松江·专题练习）如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 【答案】B 【分析】本题既考查了对因式分解的应用，先把所给式子提取公因式，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，， 则 ． 故选：B． 6．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）因式分解：． 上述结果 （填“正确”或“不正确”）．理由： ． 【答案】 不正确 还可以再因式分解成 【分析】本题考查因式分解，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止． 先用平方差公式分解，得，再继续用平方差公式分解即可． 【详解】解：∵， ∴上述结果不正确， 理由：还可以再因式分解成． 故答案为：不正确；还可以再因式分解成． 7．（24-25七年级上·上海宝山·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先分组得到原式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）． 8．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）已知一定能被整除，且，都是正整数．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再由数的整除性求解是解题的关键．将所求式子用平方差公式分解因式即可进行求解． 【详解】解：∵ ， ∵一定能被整除， ∴的值为 故答案为：． 9．（2025七年级上·闵行·模拟预测）已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解此题的关键．可利用多项式乘法展开后的系数对应关系，展开得，与原式对比后找到所有整数对并计算对应的即可． 【详解】解：展开可得：， 与原式对比可得：常数项：，一次项系数：， ∴整数对需满足，且，可能得整数对及对应的a如下： ①，，则； ②，，则； ③，，则； ④，，则； ⑤，，则； ⑥，，则． 综上所述，符合条件的a的个数有6个． 故答案为：6． 10．（24-25七年级上·上海宝山·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）对下列多项式进行因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解．解题的关键是掌握公式法进行因式分解． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用平方差公式进行因式分解即可； （4）先进行多项式乘多项式的运算，化简后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25七年级上·上海宝山·期中）先将分解因式，然后当时，求A的值，并写出你对本题求值过程的感受． 【答案】，4047，感受是先分解因式后再计算本题较为简便 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法．后三项结合，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解因式即可，再将a、b的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， ， 感受是先分解因式后再计算较为简便． 13．（2025七年级上·上海松江·专题练习）【阅读理解】由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法“进行因式分解的公式：，示例：分解因式：． 【问题解决】分解因式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． （1）根据，分解因式即可； （2）根据，分解因式即可； （3）根据，分解因式即可； （4）根据，分解因式即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； 故答案为：； （3） ； 故答案为：； （4） ； 故答案为：． 14．（2025七年级上·上海嘉定·专题练习）【探究】如何把多项式因式分解？ （1）【观察】上式_______（填“能”或“不能”）直接利用完全平方公式进行因式分解． （2）【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道．将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为两数之和． 【运用】请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①； ②． 【答案】（1）不能；（2）①；② 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据完全平方公式判断即可； （2）①根据进行分解，即可求解； ②根据进行分解，即可求解． 【详解】解：（1）不能 （2）① ． ② ． 15．（2025·上海宝山·模拟预测）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【答案】1） ；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是从简单情形出发，找出规律，解决问题． （1）直接利用题意规律求出结果； （2）利用题意规律求出结果； （3）利用提公因式和题意规律求出结果． 【详解】解：（1） ． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $