第十二章 因式分解重难点检测卷 -2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第十二章 因式分解重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册第十二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A.不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B.不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； C.不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D.，符合平方差公式的特征，能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果． 【详解】 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选：A． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据完全平方公式因式分解，根据题意计算,即可 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）已知等式，其中n为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当n为奇数时，； 其中正确的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查二项式展开式的系数特征及代数恒等式的应用，结合特殊值代入法进行计算验证即可． 【详解】解：①展开式的最高次项系数，常数项；当为偶数时，；- 当为奇数时，；所以说法①不总成立，说法错误； ②当时，展开式为，系数分别为，，，所以，绝对值之和为，故说法②正确； ③当为奇数时， 设奇数项和，偶数项和 令和代入原式：当时，；当时，；联立解得：，；所以，，故③正确， 综上，正确的②③，共2个， 故选：B． 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，构成三角形的条件；将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解： ， ，故正确； ， ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上可知：， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海松江·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海金山·期末）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式c，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）多项式中各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母的指数也相同是解题的关键．观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，即可求解． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故答案为：． 10．（2025七年级上·上海普陀·模拟预测）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简与约分，提取公因式以及观察代数式规律的技巧，将分式化简是解决本题的关键． 将分子和分母中的大数分解为乘积形式，提取公因数，化简a，b与c，由此计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 故答案为： ． 11．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 12．（2025七年级上·上海·专题练习）已知 ，，，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，先求出，，，再将所求代数式变形为，再代入计算可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 14．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果： ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． 根据平方差公式分解因式有两种情况：①当的值为2时，②当的值为4时，利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：①当的值为2时，则； ②当的值为4时，则； 故答案为：或． 15．（2025·上海虹口·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【答案】 5 1023669 【分析】本题考查数的规律探究，因式分解的应用，解题关键是通过推导得出“好数”为正奇数，再利用规律计算． 由变形得，代入，通过整式运算化简，结合，推出．因为a、b、不全为0，所以其中只有一个数为0，不妨设，则．将，代入，分析得出满足恒成立的正整数n是奇数，即“好数”为所有正奇数．按正奇数从小到大排列，找到第3个“好数”是5；确定大于100且不超过2025的正奇数，通过数的个数和首尾数，利用（首数尾数）个数的方法，算出这些“好数”的和． 【详解】解：由，得， 则 , ∵， ， 、b、c不全为零， 、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而， 恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数， 即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个， 第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为． 故答案为：5，． 16．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 【答案】 13或7 【分析】本题考查了因式分解的应用.根据十字相乘法，进行分类讨论，得出相应周长，即可解答． 【详解】解：当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 即或7时，这个长方形的周长最长为． 故答案为：13或7；． 17．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用，根据题意分别求得，，进而用作差法比较大小，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 18．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 【答案】 【分析】根据提供的方法解答即可． 本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 系数为， 故， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据平方差公式分解即可； （2）根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）如果，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，以及提取公因式，使用平方差公式化简是解决本题的关键． 根据平方差公式化简，再提取公因式即可求解． 【详解】解：，且，即， ， 即， 整理可得 ， ， ． 21．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 【答案】不正确， 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：小亮的解法是不正确． 正确的解法： ． 22．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）材料：多项式：因式分解后的结果是，当取时，各个因式的值是，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码． 任务一： （1）分解因式： 任务二： （2）当取时，请确定产生的六位数密码？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）代入到（1）中的各个因式，即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2）当取时， ， ， ， 所以这六位数密码为101525． 23．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）小亮自学人教版七年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示： (1)因式分解：； (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的应用，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． （1）找出乘积为 15 且和为 的两个数，利用十字相乘法分解因式． （2） 列出所有乘积为 的整数对，计算每对的和，得到整数a的所有可能值． 【详解】（1）解：根据十字相乘法，需找到两个数，使其乘积为常数项15，和为一次项系数． ∵ ∴满足条件的数为和， ∴ （2）对于，由十字相乘法可知，需找到整数p、q，使，且． 乘积为的整数对有：， 对应的和分别为：， 故整数a的所有可能值为． 24．（24-25七年级上·上海静安·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查了乘法公式， （1）根据完全平方和（差）公式进行因式分解．即可计算得出结果； （2）根据题意对算式进行配方，然后，利用平方差公式进行因式分解，即可得出结果； 首先，将代数式，进行分组，然后，结合提公因式和平方差公式，得到，进一步整理即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）① 原式 ； ② ． 25．（2025七年级上·上海长宁·模拟预测）阅读材料，并解答问题 我们知道，如果，都是整数，并且有整数，使得，① 那么就称为的约数． 通常我们只讨论正整数的正约数，即①中的，，都是正整数，以下如不特别申明，所有的字母都表示正整数． 有多少个约数？ 不难一一列举，的约数有个，它们是，，，，，，，，，，，． 请注意其中包含及本身． 有没有一个公式，可以帮助我们算出一个数的约数的个数呢？有的． 如果将分解为质因数的乘积，即②， 那么的所有约数都是③的形式，其中可取4个值：，1，，；可取个值：，，；（例如：在，时，③是；在，时，③是72）． 因此，的约数共有（个）． 一般地，设有自然数可以分解为，其中，是不同的质数，，，……是正整数，其中可取个值：，，，，……；可取个值，，，，，，，可取个值，，，，……；所以的约数共有个． 根据上述材料请解答以下题目： (1)试求的约数个数． (2)恰有个约数的数最小是多少？ (3)求的所有的约数和． 【答案】(1)6000有40个约数； (2)这个数最小是48； (3)72的所有的约数和是195． 【分析】（1）由即可求； （2）因为，则有最小； （3）由已知将的所有约数相加即可． 本题考查因式分解的应用；理解题意，将所求数进行因数分解是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴6000有40个约数； （2）解：∵， ∴， ∴这个数最小是48； （3）解：∵的约数有：， ∴， ∴的所有的约数和是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 因式分解重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级上册第十二章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）已知等式，其中n为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当n为奇数时，； 其中正确的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海松江·模拟预测）分解因式： ． 8．（24-25七年级上·上海金山·期末）分解因式： ． 9．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）多项式中各项的公因式是 ． 10．（2025七年级上·上海普陀·模拟预测）已知：，则 ． 11．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 12．（2025七年级上·上海·专题练习）已知 ，，，则多项式的值为 ． 13．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 14．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果： ． 15．（2025·上海虹口·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 16．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 17．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)． 18．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式： ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）分解因式： (1)； (2)． 20．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）如果，且，求的值． 21．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 22．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）材料：多项式：因式分解后的结果是，当取时，各个因式的值是，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码． 任务一： （1）分解因式： 任务二： （2）当取时，请确定产生的六位数密码？ 23．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）小亮自学人教版七年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示： (1)因式分解：； (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 24．（24-25七年级上·上海静安·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 25．（2025七年级上·上海长宁·模拟预测）阅读材料，并解答问题 我们知道，如果，都是整数，并且有整数，使得，① 那么就称为的约数． 通常我们只讨论正整数的正约数，即①中的，，都是正整数，以下如不特别申明，所有的字母都表示正整数． 有多少个约数？ 不难一一列举，的约数有个，它们是，，，，，，，，，，，． 请注意其中包含及本身． 有没有一个公式，可以帮助我们算出一个数的约数的个数呢？有的． 如果将分解为质因数的乘积，即②， 那么的所有约数都是③的形式，其中可取4个值：，1，，；可取个值：，，；（例如：在，时，③是；在，时，③是72）． 因此，的约数共有（个）． 一般地，设有自然数可以分解为，其中，是不同的质数，，，……是正整数，其中可取个值：，，，，……；可取个值，，，，，，，可取个值，，，，……；所以的约数共有个． 根据上述材料请解答以下题目： (1)试求的约数个数． (2)恰有个约数的数最小是多少？ (3)求的所有的约数和． 学科网（北京）股份有限公司 $