第4章 指数与对数 单元测试-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第4章指数与对数单元测试 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.设a>0,则a2.V.a=( A.a B.at C.a D.a 2.求值：2l0g39-1og39=（) A.1 B.1og316 C.2 D.1og396 3.若a=l0g26,则2-1的值为( A. B.￥ C.3 D.号 4.复利计算中，本金4万元，每期利率为p,存n期本利和为4.4万元，若存m+n期，本利和为 4.8万元，则利息为() A.0.4万元 B.0.5万元 C.0.6万元 D.0.7万元 5.若a+b=mt,ab=专m(m>0),则a3+b3=( A.0 B.号m C.-号m D.号m 6若log,b=log,a≠b,则是+的最小值为( A.8 B.6 C.28 D,46 7.已知3=7P=a且袁+号=3，则a的值为( ) A.V21 B.21 C.3V7 D.63 8.若方程1g)+(g5+lg4gx+g5·g4=0的两根为a,阝，则α·的值是(） A.六 B.20 C.lg5·lg4 D.1g20 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若x=8≠0)，则下列说法中正确的有() A.当n为奇数时，x的n次方根为a B.当n为奇数时，x的n次方根为±a C.当n为偶数时，x的n次方根为+a D.当n为偶数时，x的n次方根为a 10.下列运算正确的是() A.V4-π=4-T B.e-(e)3 c.i(m-n)3=m-n D.vcd =vc.vd (c>0d>0) 11.若x>0,y>0,n≠0，meR,则下列各式中恒等的是() A.lgx+lgy =1g(xy) B.Ig=lgx-lgy C.log y=o D.lgx=鉴 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.计算：2y6×3.5×24的值为。 13.已知ab是方程3nx-7hx+2=0的两个实数根，则log,a+logb= 14.若x>1y>1,且4Hogy-3logx+1=0,则l0gy= 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 四计第（--1-+版- (2)化简：号Va4÷Wa-5.ai(a>0)。 16.(本小题满分15分)已知x>1,y>1,且31ogy-41ogx+2=0, 求T=x2-4y2的最小值。 17.(本小题满分15分) ()己知a+a=5,求转的值： (2)已知a=lg7,b=lg3,试用a,b表示log,9。 18.(本小题满分17分)已知集合A={xy,lgy},集合B={0,Ny,若A=B, 求logx2+y2列的值。 19.(本小题满分17分)已知22.5=2°.5=10， 求证：(a-1(d-1)=(b-1(c-1)。 答案解析 一、单项选择题 1.答案：D 解析：原式=aa,a=a++片=a。 2.答案：C 解析：21og39-log39=1og39=2。 3.答案：C 解析：由a=l0g,6得22=6，故2-1=3。 4.答案：A 5.答案：D 解析：a3+b3=(a+b°-3ab(a+b)=m-3×m2×m2=号m。 6.答案：A 解析：由logb=1g,得ab=1,则导+号=2b2+4a2,利用基本不等式得最小值8。 7.答案：A 解析：由3*=a得x=log2,7'=a得y=lg7a,袁+号=1og3+21og37=1og147=3,故 a3=147,a=V21。 8.答案：A 解析：由韦达定理，lg+lg3=-①g5+lg4)=-lg20,故g(a)=-lg20,c3=亮。 二、多项选择题 9.答案：AC 解析：当n为奇数时，n次方根唯一；当n为偶数时，n次方根为士a。 10.答案：BC 解析：A中结果为π-4；D中需c≥0，d≥0，这里c>0,d>0,正确；B、C正确。 11.答案：ABD 解析：C中应为ogy=,(正确，换底公式)，故ABD正确。 三、填空题 12.答案：14 解析：化简后直接计算得14。 13.答案：置 解析：令t=nx,方程为3t2-7t+2=0,根为t1=2,t2=青，即1na=2,lnb=青或反之， 1og6a+logb=器+器=6+言=号。 14.答案： 解析：令t=lo8y,方程为4t-+1=0,即4t2+t-3=0,解得t=青。 四、解答题 (---八+柜-- -3-1+(V2-1+31+V2 15.(1)解：= -4+V2-1+3+32 = -2+42 a6.a2÷Va.a羽 4÷配 2)解：= a÷a a时 16.解：令t=1ogy,方程为3t-+2=0,即3t2+2t-4=0,解得正根t=+,则y=x, T=x2-4x2,通过二次函数性质求得最小值（具体计算略）。 17.(1)解：由a时+a=5,得：+a1=23,ai+a=(a+a(a+a-1-1)=5×22=110,故 原式==”。 ②解：1og,9=詈=-晋=要。 18.解：因为A=B,对数中真数xy>0,故gxy)=0,即xy=1。 则A={x1,0},B={0,风y}。由集合元素互异性，x≠1且x≠0。又xy=1,则y=贵，故 B={0,4录}。 若x=1,则x=-1（x=1舍去)，此时y=-1,验证得A={-1,1,0},B={0,1,-1,满足 A=B。 若x=x,则是=1，得x=1（舍去)。 综上，x=-1,y=-1,故x2+y2=(-1)+(-1)=2。 因此1og,(x2+y冈-log,2-景-器。 19.证明：由2.5b=10,两边除以25得：21.5b-1=1。 取以10为底的对数：lg(21.5b-)=0,即(a-1)g2+(b-11g5=0①。 同理，由2.5d=10得：(c-1)lg2+(d-1)1g5=0②。 由0得：(a-1g2=-(b-1g5,即号=-器(b≠1)。 由②得：(c-1lg2=-(d-1g5,即=-(d≠1)。 故号=号，交叉相乘得(a-1d-1)=(b-1(c-1)。 若b=1,则①式变为(a-1)g2=0,因g2≠0，故a=1,同理d=1,此时等式两边均为0，也 成立。 综上，(a-1)(d-1)=(b-1(c-1)得证。