1.3勾股定理的应用 讲义2025-2026学年北师大版 数学八年级上册

勾股定理的应用 学习目标 1. 能运用勾股定理解决与直角三角形相关的实际问题。 2. 能从实际问题中抽象出直角三角形模型，并利用勾股定理求出未知线段的长度。 3. 培养运用数学知识分析和解决实际问题的能力，感受数学的实用性。 知识点讲解 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边长分别为 (a) 和 (b)，斜边长为 (c)，那么。 勾股定理的应用主要体现在以下几个方面： 1. 已知直角三角形的两边，求第三边。 · 若已知两条直角边 (a)、(b)，求斜边 (c)，则。 · 若已知一条直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (b)，则。 · 若已知一条直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (a)，则。 2. 解决与距离、高度、长度相关的实际问题。 在解决实际问题时，关键在于： · 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 · 构建模型：从实际问题中抽象出直角三角形模型，确定直角三角形的直角边和斜边（或待求的边）。这一步是解决问题的核心。 · 运用公式：根据勾股定理列出关系式。 · 计算求解：进行必要的计算，注意单位的统一和结果的合理性。 · 作答：写出明确的答案。 重要提示： · 勾股定理只适用于直角三角形。 · 在应用时，要准确判断哪条边是斜边（直角所对的边）。 例题解析 例题1 一个梯子长10米，斜靠在竖直的墙上，梯子的底部离墙的水平距离是6米，求梯子的顶端距离地面的高度是多少米？ 例题2 一个直角三角形的一条直角边长为8 cm，斜边长为10 cm，求另一条直角边的长度。 例题3 一艘轮船从港口出发，向正东方向航行30千米后，再向正北方向航行40千米，此时轮船距离港口多少千米？ 巩固练习 选择题 1. 若直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为 A. 13 B. 14 C. 15 D. 17 2. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子的下端刚好接触地面，则旗杆的高度是 A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 4. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是 A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 7，15，17 5. 一个长方形的长为12 cm，宽为5 cm，则它的对角线长为 A. 10 cm B. 11 cm C. 12 cm D. 13 cm 填空题 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则c=______。 2. 若一个直角三角形的两条直角边分别为和1，则斜边长为______。 3. 一个等腰直角三角形的腰长为5，则它的斜边长为______。 4. 一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形的面积是______。 5. 一架25米长的云梯，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子的底部距离墙根7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了______米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理的应用 学习目标 1. 能运用勾股定理解决与直角三角形相关的实际问题。 2. 能从实际问题中抽象出直角三角形模型，并利用勾股定理求出未知线段的长度。 3. 培养运用数学知识分析和解决实际问题的能力，感受数学的实用性。 知识点讲解 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边长分别为 (a) 和 (b)，斜边长为 (c)，那么。 勾股定理的应用主要体现在以下几个方面： 1. 已知直角三角形的两边，求第三边。 · 若已知两条直角边 (a)、(b)，求斜边 (c)，则。 · 若已知一条直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (b)，则。 · 若已知一条直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (a)，则。 2. 解决与距离、高度、长度相关的实际问题。 在解决实际问题时，关键在于： · 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 · 构建模型：从实际问题中抽象出直角三角形模型，确定直角三角形的直角边和斜边（或待求的边）。这一步是解决问题的核心。 · 运用公式：根据勾股定理列出关系式。 · 计算求解：进行必要的计算，注意单位的统一和结果的合理性。 · 作答：写出明确的答案。 重要提示： · 勾股定理只适用于直角三角形。 · 在应用时，要准确判断哪条边是斜边（直角所对的边）。 例题解析 例题1 一个梯子长10米，斜靠在竖直的墙上，梯子的底部离墙的水平距离是6米，求梯子的顶端距离地面的高度是多少米？ 解析： 根据题意，梯子、墙和地面构成一个直角三角形。 梯子的长度是斜边 米，梯子底部离墙的距离是一条直角边 米，梯子顶端距离地面的高度是另一条直角边 (b)。 由勾股定理可得： 代入数值： 所以，梯子的顶端距离地面的高度是8米。 例题2 一个直角三角形的一条直角边长为8 cm，斜边长为10 cm，求另一条直角边的长度。 解析： 已知直角三角形的一条直角边 cm，斜边 cm，求另一条直角边 (b)。 由勾股定理可得： 代入数值： 所以，另一条直角边的长度是6 cm。 例题3 一艘轮船从港口出发，向正东方向航行30千米后，再向正北方向航行40千米，此时轮船距离港口多少千米？ 解析： 根据题意，轮船的航行路线构成了一个直角三角形。 向正东方向航行的30千米和向正北方向航行的40千米是两条直角边，分别记为 千米， 千米。 此时轮船距离港口的距离是这个直角三角形的斜边 (c)。 由勾股定理可得： 所以，此时轮船距离港口50千米。 巩固练习 选择题 1. 若直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为 A. 13 B. 14 C. 15 D. 17 2. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子的下端刚好接触地面，则旗杆的高度是 A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 4. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是 A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 7，15，17 5. 一个长方形的长为12 cm，宽为5 cm，则它的对角线长为 A. 10 cm B. 11 cm C. 12 cm D. 13 cm 填空题 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则c=______。 2. 若一个直角三角形的两条直角边分别为和1，则斜边长为______。 3. 一个等腰直角三角形的腰长为5，则它的斜边长为______。 4. 一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形的面积是______。 5. 一架25米长的云梯，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子的底部距离墙根7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了______米。 解答题 1. 一个直角三角形的斜边比一条直角边长2 cm，另一条直角边长为6 cm，求斜边的长。 2. 甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16海里/小时的速度向正东方向航行，乙船以12海里/小时的速度向正北方向航行。经过多长时间后，两船相距40海里？ 巩固练习答案 选择题答案 1. A 解析：根据勾股定理，斜边长为。 2. C 解析：根据勾股定理，另一条直角边长为。 3. A 解析：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x + 1)米。根据题意，旗杆、地面和拉开的绳子构成直角三角形，旗杆和地面为直角边，绳子为斜边。可得方程。 展开得。 移项化简得 。 解得 。所以旗杆的高度是12米。 4. D 解析：A选项；B选项；C选项；D选项，，274 ≠ 289，所以D不能作为直角三角形三边长。 5. D 解析：长方形的对角线将长方形分成两个全等的直角三角形，长和宽为直角边。对角线长为。 填空题答案 1. 5 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得。 2. 2 解析：斜边长为。 3. 解析：等腰直角三角形的斜边长为腰长的倍，所以斜边长为。或者用勾股定理：。 4. 24 解析：因为，所以该三角形是直角三角形，两直角边为6和8。面积为。 5. 8 解析： 梯子未滑动时：梯子长25米，底部距墙7米。 顶端距地面高度米。 顶端下滑4米后，顶端距地面高度米。 此时梯子底部距墙的距离米。 梯子底部在水平方向滑动的距离为米。 解答题答案 1. 解：设斜边的长为x cm，则一条直角边的长为(x - 2) cm。 根据勾股定理，得。 展开得。 移项化简得 。 即 。 解得 。 答：斜边的长为10 cm。 2. 解：设经过t小时后，两船相距40海里。 t小时后，甲船向正东方向航行的距离为16t海里，乙船向正北方向航行的距离为12t海里。 两船的航行路线互相垂直，所以两船的距离为直角三角形的斜边。 根据勾股定理，得。 计算得。 合并同类项得。 两边同时除以400得。 解得 （t = -2 不符合实际意义，舍去）。 答：经过2小时后，两船相距40海里。 学科网（北京）股份有限公司 $