2.5.3 直线与圆的位置关系（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.5.3 切线长定理 +弦切角 第2章对称图形——圆 苏科版 九年级上册 教学目标 01 理解切线长的概念，并与切线的概念进行区分 02 掌握切线长定理与隐含结论的证明与运用 03 掌握弦切角定理的证明与运用 切线长定理 01 二、定义 情境引入 如图，PA、PB是⨀O的切线，切点分别为A、B。PA与PB相等吗？ 度量可知：PA=PB 左图是轴对称图形，PA=PB A O B P 【猜想】PA=PB 01 二、定义 情境引入 【证明】PA=PB A O B P 如图，连接OA、OB、OP， ∵PA、PB是⨀O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， 即△POA、△POB是直角三角形， 又∵OA=OB，OP=OP， ∴△POA≌△POB(HL)， ∴PA=PB。 01 二、定义 情境引入 我们也可以运用图形运动的方法证实：PA=PB 如图，∵OA⊥PA，OB⊥PB，OA=OB， ∴O在∠APB的平分线， ∴把PB沿直线OP翻折，射线PB与射线PA重合， 又∵过点O有且只有一条直线与PA(PB)垂直， ∴OB与OA重合，即点B与点A重合， ∴PA=PB。 A O (B) P 二、定义 情境引入 02 知识精讲 eg： PA、PB的长即切线长。 切线长与切线长定理 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 A O B P 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等； 圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 符号语言： ∵PA、PB是⨀O的切线， ∴PA=PB，OP平分∠APB。 二、定义 情境引入 02 知识精讲 【辨析】切线就是切线长吗？ A O B P 区别 切线 直线 不可度量 切线长 线段的长 可以度量 02 二、定义 知识精讲 【探究1】如图，连接AB交OP于点C，图中共有几处垂直？ A O B P ∵PA、PB是⨀O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， PA=PB，OP平分∠APB（切线长定理）， C 【总结】图中共有三处垂直：PA⊥OA，PB⊥OB，AB⊥OP。 又∵OA=OB，CP=CP， ∴△ACP≌△BCP(SAS)， ∴∠ACP=∠BCP=90°，即AB⊥OP。 02 二、定义 知识精讲 【探究2】如图，图中共有几对全等？ 由切线长定理的证明可知：△POA≌△POB， 由【探究1】可知：△ACP≌△BCP， A O B P C 【总结】图中共有三对全等： △POA≌△POB，△ACP≌△BCP，△AOC≌△BOC。 ∵AB⊥OP， ∴△AOC、△BOC是直角三角形， 又∵OA=OB，OC=OC， ∴△AOC≌△BOC(HL)。 02 二、定义 知识精讲 【探究3】如图，OP与劣弧AB交于点D，与优弧AB交于点E，图中共有几对等弧？ 由【探究2】可知：△AOC≌△BOC， ∴∠AOC=∠BOC， ∴∠AOE=∠BOE，=， ∴=。 【总结】图中共有两对等弧：=，=。 A O B P C D E 02 二、定义 知识精讲 确定圆的条件 切线长定理的隐含结论 切线长定理的隐含结论： 一、三处垂直：PA⊥OA，PB⊥OB，AB⊥OP； 二、三对全等： △POA≌△POB，△ACP≌△BCP，△AOC≌△BOC； 三、两对等弧：=，=。 A O B P C D E 03 二、定义 典例精析 例1、如图，AB、AC、BD是⨀O的切线，切点分别是P、C、D。若AB=10，AC=6，则BD的长是________。 【分析】∵AB、AC、BD是⨀O的切线，切点分别是P、C、D， ∴AP=AC=6，BP=BD（切线长定理）， ∵AB=10， ∴BP=4， ∴BD=4。 4 03 二、定义 典例精析 例2、如图，P为⨀O外一点，PA、PB分别切⨀O于A、B，CD切⨀O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为________。 【分析】∵PA、PB分别切⨀O于A、B， ∴PA=PB=5（切线长定理）， 同理：CA=CE，DB=DE， ∴C△PDC=PC+CE+DE+DP=PC+AC+DB+DP=PA+PB=10。 10 03 二、定义 典例精析 例3、如图，⨀O与正方形ABCD的两边AB、AD都相切，且DE与⨀O相切于点E，正方形ABCD的边长为4，DE=3，则OD的长为________。 【分析】如图，设⨀O与AB、AD相切于点M、N， 连接OM、ON， ∵∠A=∠AMO=∠ANO=90°，OM=ON， ∴四边形AMON是正方形，∴ON=AN， ∵DN、DE是⨀O的切线， ∴DN=DE=3（切线长定理）， ∵AD=4，∴AN=1，∴ON=1， 在Rt△OND中，OD==。 N M 二、定义 【总结】 已知：PA、PB是⨀O的切线，∠P=90°， 结