1.1锐角三角函数（第一课时）教学设计2024-2025学年北师大版（2012）数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦锐角正切的定义及应用，通过“比较梯子倾斜程度”情境导入，复习直角三角形知识，衔接相似三角形中“锐角固定时对边邻边比值固定”的已有基础，为后续正弦、余弦学习搭建支架。 以情境教学与探究式学习为特色，用梯子倾斜问题引导学生用数学眼光观察现实，通过测量、计算自主归纳正切定义培养数学思维（推理意识、抽象能力），结合坡度问题建模提升数学语言表达（模型意识、应用意识），助力学生深化边角关系理解，为教师提供清晰的重难点突破路径。

1.1锐角三角函数 第1课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第1章“直角三角形的边角关系”的第1节。内容包括：直角三角形中锐角正切的定义，运用正切解决与坡度、坡角相关的实际问题。 （二）教学内容解析 地位作用：正切是初中阶段接触的第一个三角函数，它揭示了直角三角形中边角之间的定量关系，是后续学习正弦、余弦以及解直角三角形的基础。 核心素养：本节课的学习，有助于学生从"定性"到"定量"地认识几何图形，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】锐角三角函数（正切）的定义及应用。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 理解锐角正切的定义，并能正确运用tanA表示直角三角形中两边的比。 2. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正切值，或根据正切值及一边长求另一边长。 3. 能运用正切的定义解决与坡度、坡角相关的实际问题。 （二）教学目标解析 达成目标1的标志是：学生能在直角三角形中，准确指出某个锐角的对边和邻边，并写出正确的比值表达式。 达成目标2的标志是：学生能熟练进行与正切相关的计算，包括直接计算和简单的逆运算。 达成目标3的标志是：学生能理解坡度、坡角的概念，并将实际问题转化为直角三角形模型进行求解。 三、学生学情分析 已有基础：学生已经掌握了直角三角形的性质和勾股定理。具备了一定的相似三角形知识，知道"在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边与邻边的比值是固定值"这一事实。具备初步的从实际问题中抽象出数学模型的能力。 潜在困难： 对"正切是一个比值，是一个数值"的理解可能存在困难，容易与边长等具体量混淆。 在不同的直角三角形中，准确识别锐角的"对边"和"邻边"可能会出错。灵活运用正切定义解决实际问题，特别是建立数学模型的环节，可能会感到吃力。基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】理解三角函数值与角度的函数关系及生活实例建模。 四、教学策略分析 1. 情境教学法：通过创设"比较梯子倾斜程度"的生活情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 2.探究式学习：引导学生通过测量、计算、比较等活动，自主发现并归纳出正切的定义。 3. 讲练结合法：在教师精讲的基础上，通过适量的练习帮助学生巩固知识，提升解题能力。 五、教学过程分析 （一）复习引入 让学生观察直角三角形，回顾相关知识. 设计意图：回顾直角三角形相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 情境：展示不同倾斜程度的梯子图片，提问："哪个梯子更陡？你是如何判断的？" 师生活动：学生自由发言，可能会提到"看高度"、"看水平长度"或"看倾斜角"。教师引导学生思考：能否用一个确切的数值来描述倾斜程度？ 设计意图：从生活实例出发，引发学生思考，为引入正切概念做铺垫。 首先思考一个具体场景：梯子顶端靠在墙上形成直角三角形（画图示意Rt△ABC，∠C=90°，梯子为斜边AB）。 梯子倾斜角为∠A，对边BC表示垂直高度，邻边AC表示水平距离。 问题1：如何判断梯子AB和EF哪个更陡？ 图1-1：AC=ED，BC<FD→梯子AB更陡； 倾斜角的大小影响着梯子的陡缓，让学生发现梯子的倾斜程度与倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡。 很问题2：如何判断梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？ 多实际问题中，人们无法测量角度，我们也可以从边的角度进行研究.铅直高度一定时，水平宽度越小，梯子越陡或水平宽度一定时，铅直高度越大，梯子越陡。 为了更好的解决这一问题，接下来老师带领同学们一起探究。 问题3：当梯子倾斜角固定时，这个比值会变吗？ （引导学生类比相似三角形） 用两直角边的比值来描述倾斜角的大小,反过来倾斜角确定后,比值是否唯一确定呢?现在在图中确定∠A，完成下列3小问。 （1）Rt△和Rt△有什么关系? （3）如果改变在AD上的位置呢？由此你能得出什么结论? 师归纳：当角度确定时，这个角的值确定，反过来当这个角的值确定，这个角也确定下来，这是一一对应的关系，这个比值与所在的三角形大小无关。 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A（符号语言） 注：（1）.tanA与三角形的大小没有关系，当∠A发生变化时，tanA的值也发生变化； （2）.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”. （3）.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比. （4）.tanA不表示“tan”乘以“A”. （5）.当用三个字母或阿拉伯数字表示角时，tan∠BAC或tan∠1必须带“∠”的符号。 问题4：梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？ 结论：tanA的值越大，梯子倾斜角越大，坡度越陡。 例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中， 乙梯中， 因为tana>tan β,所以甲梯更陡. 正切也经常用来描述山坡的坡度0.例如，有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60m(图1-6),那么山坡的坡度就是 （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度(结果精确到0.001). 3.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=5,AB=13,求tan A和tan B. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $