23.3.2 .2相似三角形的判定-- 用边角关系、三边关系判定三角形相似 课件 2025--2026学年华东师大版（2012）九年级数学上册

幻灯片 1：封面 标题：23.3.2 相似三角形的判定（边角关系、三边关系） 副标题：从边与角的关系探索相似判定规律 适用教材：华东师大版数学九年级上册 授课教师：[具体姓名] 授课班级：[具体班级] 授课时间：[具体时间] 幻灯片 2：课程导入 复习回顾： 提问 1：上节课我们学习了相似三角形的定义，谁能说一说满足什么条件的两个三角形是相似三角形？（学生回答：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形） 提问 2：我们还学过一种相似三角形的判定方法，是什么呢？（学生回答：两角分别相等的两个三角形相似，即 “AA” 判定） 情境过渡： 展示图片：两个三角形，一个三角形的两条边分别为 4cm、6cm，夹角为 60°；另一个三角形的两条边分别为 2cm、3cm，夹角也为 60°。 引导提问：这两个三角形的两条边成比例，且夹角相等，它们是否相似呢？另外，如果两个三角形的三条边都成比例，它们又是否相似呢？今天我们就来探究这两种判定方法 —— 用边角关系和三边关系判定三角形相似。 幻灯片 3：相似三角形的判定定理 2（边角关系：两边成比例且夹角相等） 定理推导： 动手操作：让学生在练习本上画△ABC，使 AB = 4cm，AC = 6cm，∠A = 60°；再画△A'B'C'，使 A'B' = 2cm，A'C' = 3cm，∠A' = 60°。 测量与计算： 测量两个三角形的第三边长度（BC 和 B'C'），以及另外两个角的度数（∠B 与∠B'，∠C 与∠C'）。 计算对应边的比例：\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{4}{2} = 2\)，\(\frac{AC}{A'C'} = \frac{6}{3} = 2\)，\(\frac{BC}{B'C'}\)（测量后发现也等于 2）。 观察角度：∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。 得出结论：当两个三角形的两条边对应成比例，且这两条边的夹角相等时，这两个三角形相似，即相似三角形的判定定理 2（SAS 判定）。 定理规范表述： 内容：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 几何语言：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∵ \(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}\)，∠A = ∠A'（已知），∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 幻灯片 4：边角关系判定的关键要点与反例 关键要点： 必须是 “夹角相等”：这里的 “角” 是指两条成比例边的公共角，也就是两条边的夹角，不能是其他角。 比例关系：两条边的比例要对应，即第一个三角形的第一条边与第二个三角形的第一条边的比，等于第一个三角形的第二条边与第二个三角形的第二条边的比。 反例分析： 展示图形：△ABC 中，AB = 2cm，AC = 4cm，∠B = 30°；△A'B'C' 中，A'B' = 1cm，A'C' = 2cm，∠B' = 30°。 分析：虽然\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = 2\)，且∠B = ∠B' = 30°，但∠B 和∠B' 不是两条成比例边（AB 与 A'B'，AC 与 A'C'）的夹角，而是 AB 和 BC、A'B' 和 B'C' 的夹角。通过测量可发现，两个三角形的对应角不相等，对应边也不成比例，因此这两个三角形不相似。 结论：若相等的角不是两条成比例边的夹角，则无法用该定理判定三角形相似。 幻灯片 5：相似三角形的判定定理 3（三边关系：三边成比例） 定理推导： 实例验证： 给出数据：△ABC 的三边长度分别为 AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm；△DEF 的三边长度分别为 DE = 6cm，EF = 8cm，DF = 10cm。 计算比例：\(\frac{AB}{DE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{EF} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{DF} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，即三边对应成比例。 图形观察与测量： 展示两个三角形的图形，让学生观察形状是否相同。 测量两个三角形的对应角：∠A 与∠D，∠B 与∠E，∠C 与∠F，发现对应角相等。 得出结论：当两个三角形的三条边对应成比例时，这两个三角形相似，即相似三角形的判定定理 3（SSS 判定）。 定理规范表述： 内容：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，∵ \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\)（已知），∴ △ABC ∽ △DEF（三边成比例的两个三角形相似）。 幻灯片 6：三边关系判定的应用技巧 排序法判断比例： 当给出两个三角形的三边长度，判断是否成比例时，可先将每个三角形的三边按从小到大（或从大到小）的顺序排列，再分别计算对应位置边的比例，若三个比例相等，则三边成比例。 示例：△MNP 的三边为 5cm、12cm、13cm；△QRS 的三边为 10cm、24cm、26cm。 排序后：△MNP：5cm、12cm、13cm；△QRS：10cm、24cm、26cm。 计算比例：\(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{12}{24} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{13}{26} = \frac{1}{2}\)，三个比例相等，因此△MNP ∽ △QRS。 常见特殊三角形的判定： 所有等边三角形：因为等边三角形的三边都相等，所以任意两个等边三角形的三边比例都相等（均为 1:1 或其他固定比例），因此所有等边三角形都相似。 等腰三角形：若两个等腰三角形的腰与底的比例对应相等，则这两个等腰三角形相似（可通过三边成比例判定）。 幻灯片 7：课堂练习 1（边角关系判定应用） 题目展示： 如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，已知 AB = 6，AC = 8，∠A = 50°；A'B' = 3，A'C' = 4，∠A' = 50°。判断△ABC 与△A'B'C' 是否相似，并说明理由。 解答过程： 计算对应边比例：\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{6}{3} = 2\)，\(\frac{AC}{A'C'} = \frac{8}{4} = 2\)，因此\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}\)。 观察夹角：∠A = ∠A' = 50°，且∠A 和∠A' 分别是 AB 与 AC、A'B' 与 A'C' 的夹角。 得出结论：根据 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△ABC ∽ △A'B'C'。 幻灯片 8：课堂练习 2（三边关系判定应用） 题目展示： 判断下列两组三角形是否相似，并说明理由。 △ABC 的三边：AB = 2，BC = 3，AC = 4；△DEF 的三边：DE = 4，EF = 6，DF = 8。 △MNP 的三边：MN = 2，NP = 3，MP = 4；△QRS 的三边：QR = 6，RS = 4，QS = 5。 解答过程： 相似。理由： 将三边排序：△ABC：2、3、4；△DEF：4、6、8。 计算比例：\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)，三边对应成比例。 根据 “三边成比例的两个三角形相似”，可得△ABC ∽ △DEF。 不相似。理由： 将三边排序：△MNP：2、3、4；△QRS：4、5、6。 计算比例：\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{3}{5} = 0.6\)，\(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)，三个比例不相等，因此△MNP 与△QRS 不相似。 幻灯片 9：课堂练习 3（综合判定应用） 题目展示： 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 2，BC = 3，CD = 6，DA = 4，AC = 5。判断△ABC 与△CDA 是否相似，并说明理由。 解答过程： 先计算△ABC 和△CDA 的三边长度： △ABC 的三边：AB = 2，BC = 3，AC = 5。 △CDA 的三边：CD = 6，DA = 4，AC = 5。 对三边进行排序： △ABC：2、3、5；△CDA：4、5、6。 调整对应顺序：观察发现△ABC 的 AB = 2，BC = 3，AC = 5；△CDA 的 DA = 4，AC = 5，CD = 6，重新对应：\(\frac{AB}{DA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}\)，\(\frac{AC}{CD} = \frac{5}{6}\)，比例不相等？（此处需重新检查，正确对应应为：△ABC 的 AB = 2，AC = 5，BC = 3；△CDA 的 DA = 4，CD = 6，AC = 5，即\(\frac{AB}{DA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}\)不对，正确对应应为\(\frac{AB}{DA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{CD} = \frac{5}{6}\)也不对，重新计算： 正确步骤：计算△ABC 三边平方：\(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 â�  5^2\)，不是直角三角形；△CDA 三边平方：\(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 â�  6^2\)，再计算对应边比例：\(\frac{AB}{CD} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)，\(\frac{BC}{DA} = \frac{3}{4}\)，\(\frac{AC}{AC} = 1\)，比例不相等，所以不相似？（此处题目设计可能需调整，若改为 AC = 5，△ABC 中 AB = 3，BC = 4，AC = 5（直角三角形），△CDA 中 CD = 10，DA = 8，AC = 6，这样\(\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，更易判定相似，此处按正确逻辑引导学生分析） 正确示例调整后解答：若△ABC 中 AB = 3，BC = 4，AC = 5；△CDA 中 CD = 10，DA = 8，AC = 6。 排序：△ABC：3、4、5；△CDA：6、8、10。 比例：\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，三边成比例，因此△ABC ∽ △CDA。 幻灯片 10：课堂总结 知识梳理： 边角关系判定（SAS）： 条件：两条边对应成比例，且这两条边的夹角相等。 关键：夹角必须是成比例两边的公共角，非夹角相等不适用。 三边关系判定（SSS）： 条件：三条边对应成比例。 技巧：可先将三边排序，再计算对应位置边的比例，判断是否相等。 已学判定方法汇总： AA 判定：两角分别相等； SAS 判定：两边成比例且夹角相等； SSS 判定：三边成比例。 解题思路： 当题目中给出角的条件时，优先考虑 AA 判定或 SAS 判定（需有边的比例和夹角）； 当题目中只给出边的长度时，优先考虑 SSS 判定，通过排序法计算比例是否相等。 幻灯片 11：课后作业布置 书面作业： 课本课后练习题，完成用 SAS 判定和 SSS 判定判断三角形相似的题目，要求写出完整的推理过程。 拓展题：如图，在△ABC 中，AB = 6，BC = 8，AC = 10；△DEF 中，DE = 9，EF = 12，DF = 15。判断△ABC 与△DEF 是否相似，若相似，求出相似比，并计算△ABC 与△DEF 的周长比。 实践作业： 用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们满足 “两边成比例且夹角相等” 的条件，测量验证它们的对应角是否相等、对应边是否成比例，确认是否相似； 再画两个三边成比例的三角形，同样通过测量验证相似性，将你的画图过程和验证结果记录下来，下节课分享。 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 23.3.2 .2相似三角形的判定 -- 用边角关系、三边关系判定三角形相似 第23章 图形的相似 a i T u j m i a N g 1.观察学生与老师的直角三角板（30° 与 60°）， 会相似吗？测量测量，得出你的猜想. 观察与思考 情景导入 2. 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°，75° . ①分别量出两个三角形三边的长度； ②这两个三角形相似吗？ 情景导入 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′，∠B =∠B′，探究下列问题： 利用两角对应相等判定两个三角形相似 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 合作探究 问题二 试证明 △A′B′C′∽△ABC. 这两个三角形是相似的 探究新知 证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上， 截取 AD = A′B′，过点 D 作 DE//BC，交 AC 于点 E，则有 △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B =∠B′， ∴∠ADE =∠B′. 又∵ AD = A′B′，∠A =∠A′， ∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. C A A' B B' C' D E 问题二 试证明 △A′B′C′∽△ABC. 探究新知 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A =∠A'，∠B = ∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 探究新知 1.判断题： （1）所有的直角三角形都相似.（ ） （2）所有的等边三角形都相似.（ ） （3）所有的等腰直角三角形都相似.（ ） （4）有一个角相等的两等腰三角形相似.（ ） × √ √ × 课堂练习 2.已知：如图，∠1 = ∠2 = ∠3， 求证：△ABC∽△ADE． 证明： ∵∠BAC =∠1 +∠DAC， ∠DAE =∠3 +∠DAC，∠1=∠3，∴ ∠BAC =∠DAE. ∵ ∠C =180°－∠2－∠DOC ，∠E = 180°－∠3－∠AOE. ∠DOC =∠AOE，∴ ∠C = ∠E. 在△ABC 和△ADE 中∠BAC =∠DAE，∠C = ∠E ∴ △ABC∽△ADE 课堂练习 考试考法 9 返回 【答案】D 考试考法 10 2.[2024·北京四中月考]如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(　　) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 考试考法 11 返回 【答案】B 考试考法 12 返回 B 考试考法 13 返回 ①②③ 考试考法 14 考试考法 15 (1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系； 考试考法 16 (2)求∠ABD的度数． 考试考法 17 返回 考试考法 18 返回 D 考试考法 19 相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）. 证明两个三角形相似，目前来说可以有如下三种方法： 定义法：三组对应边成比例，三组对应角分别相等的两个三角形叫做相似三角形. 常用结论：平行于三角形的一边，截其他两边或两边的延长线，所得的三角形与原三角形相似. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 1.如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则应添加的条件可以是(　　) A．＝ B．＝ C．CD2＝AD·DB D．AC2＝AD·AB 【点拨】由边角关系判定两三角形相似的方法知应添加的条件是＝，即AC2＝AD·AB，故选D. 【点拨】设等边三角形的边长为3a.根据题意可知AE＝a，AD＝a，CD＝2a，所以＝＝，＝＝.所以＝.又易知∠A＝∠C＝60°，所以△AED∽△CBD，故选B. 3.在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，＝，那么∠B的度数是(　　) A．40° B．60° C．80° D．100° 4.[2024·娄底三中期中]如图，已知∠1＝∠2，添加下列一个条件后，能判定△ABC∽△ADE的是__________(请填写序号). ①∠D＝∠B；②∠C＝∠AED； ③＝；④＝. 5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连结BD． 【解】∵AD＝BC，BC＝，∴AD＝. ∴AD2＝＝. ∵AC＝1，∴CD＝1－＝. ∴AC·CD＝1×＝.∴AD2＝AC·CD. 【解】∵AD＝BC, AD2＝AC·CD， ∴BC2＝AC·CD，即＝. 又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB. ∴＝，∠DBC＝∠A.∴＝. ∵AB＝AC＝1，∴＝＝1. ∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD＝∠DBC. 设∠A＝x，则∠ABD＝∠DBC＝x. 又∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°. 解得x＝36°，即∠ABD＝36°. 6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且＝，则AE的长为(　　) A．1 　　 B．2 C．1或 　　 D．1或2 $