拓展专题02 直线与圆中十八大方程问题18大考点55题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

拓展专题02 直线与圆中的十八大方程问题 考点01 中线方程(共2小题) 1 考点02 高线方程(共3小题) 1 考点03 线段的垂直平分线方程（共3小题） 2 考点04 角平分线方程(共4小题) 2 考点05 给出直径两端点坐标求圆的方程(共2小题) 3 考点06 多边形的外接圆方程（共3小题） 3 考点07 多边形的内切圆方程(共3小题) 4 考点08 圆的切线方程(共3小题) 4 考点09 圆的切点弦方程（共3小题） 4 考点10 中点弦方程(共2小题) 5 考点11 直线中的轨迹方程(共4小题) 5 考点12 圆中的轨迹方程（共5小题） 6 考点13 阿氏圆方程（共2小题）（拓展） 6 考点14 参数方程（共3小题）（拓展） 7 考点15 直线系方程（拓展） 7 考点16 圆系方程（拓展） 7 考点17 两圆的公切线方程(共2小题) 8 考点18 曲线系方程(共1小题)（拓展） 8 考点01 中线方程(共2小题) 1．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知中有，，且，则边上的中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 考点02 高线方程(共3小题) 3．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（    ） A． B． C． D．3 4．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津河东·期中）在中，已知，，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线方程为：，则的面积为 ． 考点03 线段的垂直平分线方程（共3小题） 6．（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）若直线与轴，轴分别交于，两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东广州·期中）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线，则直线的方程为 ；直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 考点04 角平分线方程(共4小题) 13．已知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为 A． B． C． D． 14．（24-25高二上·广东佛山·期中）如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 . 16．（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 考点05 给出直径两端点坐标求圆的方程(共2小题) 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 18．（2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线焦点的直线交曲线于两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线分别交准线于两点. (1)问：以为直径的动圆是否过定点？ (2)若直线交准线于点，求证：点恰为（1）中圆的圆心． 考点06 多边形的外接圆方程（共3小题） 19．（24-25高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 20．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 21．过点作圆的两条切线，切点分别,为坐标原点，则的外接圆方程为 A． B． C． D． 考点07 多边形的内切圆方程(共3小题) 22．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 24．已知，，为的三个顶点，圆Q为的内切圆，点P在圆Q上运动. (1)求圆Q的标准方程； (2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值； (3)若，，求的最大值. 考点08 圆的切线方程(共3小题) 25．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 27．（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 考点09 圆的切点弦方程（共3小题） 28．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（    ）. A． B． C． D． 考点10 中点弦方程(共2小题) 31．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点. (1)若弦被点平分，求直线的方程. (2)若，求直线的方程. 考点11 直线中的轨迹方程(共4小题) 33．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B．或 C． D．或 34．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 考点12 圆中的轨迹方程（共5小题） 36．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 38．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 39.（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 40．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 考点13 阿氏圆方程（共2小题）（拓展） 41．(多选)（23-24高二上·广东深圳·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他们名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．圆上的点到直线的最大距离为9 C．在上存在使得 D．当三点不共线时，射线是的平分线 42．（24-25高二上·重庆·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，则点的轨迹方程为 ；若圆上不存在满足条件的点，则实数的取值范围为 ． 考点14 参数方程（共3小题）（拓展） 43．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知实数满足．则的最大值是 ． 44．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为 45．（24-25高三下·上海·阶段练习）点为圆上的一个动点，点，则向量在方向上的投影数量的最大值为 . 考点15 直线系方程（拓展） 46．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 47．（2025高三·全国·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 48．设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 考点16 圆系方程（拓展） 49．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）过圆与直线的两个交点，且面积最小的圆的方程为 ． 50．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 51．求经过点以及圆与交点的圆的方程 . 51．已知圆O：与圆相交于M，N两点，点P的坐标为．若圆经过M，N，P三点，则的方程为 ． 考点17 两圆的公切线方程(共2小题) 53.（多选）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）（多选）已知圆和圆相交于A、B两点，下列说法正确的是（   ） A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为 54．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 考点18 曲线系方程(共1小题)（拓展） 55．（24-25高二上·重庆·期中）已知二次曲线表示圆的充要条件为，且.关于二次曲线，有以下结论：若，，，为平面内三条直线，且，，，则过，，三点的二次曲线系方程为（，为参数）.若，，，为平面内四条直线，且，，，，则过四点的二次曲线系方程为（为参数）. (1)若三角形三边所在直线方程分别为：，，.求该三角形的外接圆方程. (2)记（1）中所求的外接圆为，直线与交于，两点（在第一象限），直线与交于，两点（在第二象限），直线交轴于点，直线交轴于点，直线与直线交于点. （i）求证：； （ii）求的最小值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题02 直线与圆中的十八大方程问题 考点01 中线方程(共2小题)（重点） 1 考点02 高线方程(共3小题)（重点） 2 考点03 线段的垂直平分线方程（共3小题）（重点） 3 考点04 角平分线方程(共4小题) 4 考点05 直径圆的方程（共2小题) 7 考点06 多边形的外接圆方程（共3小题）（重点） 9 考点07 多边形的内切圆方程(共3小题) 10 考点08 圆的切线方程(共3小题)（重点） 15 考点09 圆的切点弦方程（共3小题） 17 考点10 中点弦方程(共2小题)（重点） 19 考点11 直线中的轨迹方程(共4小题)（重点） 20 考点12 圆中的轨迹方程（共5小题）（重点） 21 考点13 阿氏圆方程（共2小题）（拓展） 25 考点14 参数方程（共3小题）（拓展） 27 考点15 直线系方程（拓展） 28 考点16 圆系方程（拓展） 29 考点17 两圆的公切线方程(共2小题) 31 考点18 曲线系方程(共1小题)（拓展） 33 考点01 中线方程(共2小题) 1．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得中点的坐标，然后根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】的中点坐标为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 整理得. 故选：B 2．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知中有，，且，则边上的中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得的中点坐标，再求出与垂直的直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由，可知边上的中线所在的直线即为边的垂直平分线， 由，，可得边的中点为，又， 所以边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 故选：D. 考点02 高线方程(共3小题) 3．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知，，三点，则的边上的高线所在直线的斜率是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】边上的高线垂直于边，通过边的斜率即可求出高线的斜率. 【详解】∵，∴. 故选：B. 4．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由和的方程求出点，设，分别利用的中点在直线上与，建立方程组，求得点，最后利用点斜式求出直线方程即可. 【详解】由解得：，即, 设点，则的中点在直线上，故得① ，又,则得：，即②， 联立① 和② ，解得：，即， 所以直线的斜率为， 于是直线的方程为：，即. 故选：D. 5．（24-25高二上·天津河东·期中）在中，已知，，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线方程为：，则的面积为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式可设C坐标，结合两直线垂直的充要条件计算可得C，再由点斜式得直线方程，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可. 【详解】不妨设的中点，则，易知直线存在斜率， 所以， 而边上的高所在的直线方程为：， 所以有， 所以， 由点到直线的距离公式知A到的距离为， 由两点距离公式得，则的面积为. 考点03 线段的垂直平分线方程（共3小题） 6．（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）若直线与轴，轴分别交于，两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，两点坐标，从而求出、的中点坐标，再由点斜式计算可得. 【详解】对于直线，令可得，即， 令可得，即， 则、的中点坐标为，又， 所以线段的垂直平分线方程为，即. 故选：D 7．已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由，圆心坐标为， 由，所以直线的斜率为， 因此直线的垂直垂直平分线的斜率为， 所以直线的垂直垂直平分线方程为：， 故选：A 8．（24-25高二上·广东广州·期中）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线，则直线的方程为 ；直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 【答案】 【分析】求出AB的中点坐标和直线AB的斜率，从而得到直线的斜率为，利用点斜式写出直线的方程，化为一般式，再求出直线与两坐标轴的交点，得到三角形面积. 【详解】AB的中点坐标为， ，故直线的斜率为， 故直线的方程为，即； 中，令得，令得， 故与两坐标轴的交点坐标分别为和， 故线与坐标轴所围成的三角形的面积为. 考点04 角平分线方程(共4小题) 13．已知，，若的角平分线所在直线方程是，则直线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B的对称点，再根据对称性质进行求解． 【详解】分析试题：由题意可知直线和直线关于直线对称．设点关于直线的对称点为，则有，即．因为在直线上，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即． 故A正确． 【点睛】解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解． 14．（24-25高二上·广东佛山·期中）如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标，根据题意可得，设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，从而可得，再根据直线的点斜式方程即可得解. 【详解】解：联立，解得，即， 因为，所以，即， 设的角平分线所在直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 则， 即的角平分线所在直线的斜率为， 所以的角平分线所在直线的方程为，即. 故选：A. 15．已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 . 【答案】 【分析】点A在直线上，求点关于直线的对称点，由角平分线的性质，点在直线AB上，可求直线AB的方程，与直线联立方程组，可求点A坐标. 【详解】如图所示，可知点A在直线上，    令点为点关于直线的对称点. 由于直线CD与直线垂直，且线段CD的中点在直线上， 于是就有，解得，因此点D的坐标为. 根据对称性可知点在直线AB上，又点B的坐标为， 于是直线AB的方程为，即. 由，解得，得点A的坐标为. 16．（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线的点法式方程可得出直线的方程； （2）求出点的坐标，可得出直线的斜率，分析可知，，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）设直线的倾斜角为，分析可知，，则的角平分线所在的直线的倾斜角为，利用两角和的正切公式可求出角平分线所在直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】（1）因为直线的一个法向量是， 又过点所以可得直线的方程为， 化简得，所以所求直线的方程为. （2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以， 因为，所以， 将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为， 则，所以. 由点可知直线方程为，即. （3）设直线的倾斜角为，因为， 所以，，则， 所以，的角平分线所在直线的倾斜角为， 则的角平分线所在直线的斜率为 ， 因此，的角平分线所在直线的方程为，即. 考点05 给出直径两端点坐标求圆的方程(共2小题) 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知圆心为，半径为，进而可得圆的方程. 【详解】因为，可知线段的中点为，且， 即圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：D. 18．（2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线焦点的直线交曲线于两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线分别交准线于两点. (1)问：以为直径的动圆是否过定点？ (2)若直线交准线于点，求证：点恰为（1）中圆的圆心． 【答案】(1)动圆过两个定点 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意直线的斜率存在，设和相关点坐标，利用三点共线性质和韦达定理，进而得到动圆方程，即可得解； （2）比较动圆圆心和点坐标，即可得证. 【详解】（1）由已知分析，得焦点且直线的斜率存在， 设. 联立，得，且. ， 令，则，同理， 所以， 同理， 即. 即以为直径的圆：， 即，整理得. 则有定点：，解得或. 综上，以为直径的动圆过定点. （2）证明：由（1）得，则（1）中圆的圆心为. 联立，解得，则的坐标为. 综上，证得点恰为（1）中圆的圆心. 考点06 多边形的外接圆方程（共3小题） 19．（24-25高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可. 【详解】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：. 故选：C. 20．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形周长最小时点M的坐标即可求解作答. 【详解】圆的圆心，半径，点C到直线l的距离， 依题意，，四边形周长， 当且仅当时取“=”，此时直线，由得点， 四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为. 故选：D 21．过点作圆的两条切线，切点分别,为坐标原点，则的外接圆方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，四边形的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是，外接圆就是四边形的外接圆. 【详解】由题意知，，， 四边形有一组对角都等于， 四边形的四个顶点在同一圆上， 此圆的直径是，的中点为， ，四边形的外接圆方程为， 外接圆的方程为. 故选：A 考点07 多边形的内切圆方程(共3小题) 22．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知三点，点P为内切圆上一点，则点P到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点距离公式判断得，进而利用三角形等面积法求得内切圆的半径，再利用直线与圆相切的性质数形结合求得内切圆的圆心，从而利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为， 所以，， 则，故， 所以， 设内切圆的圆心为，半径为， 则，解得， 又由可知轴，故，则， 由可知轴，故，则， 所以内切圆的圆心为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用两点距离公式发现是直角三角形，进而求得内切圆的半径，从而得解. 23．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）由图知，为直角三角形，故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径，求出圆心和半径即可得到的外接圆方程； （2）结合图形可设内切圆的圆心，半径为，利用等面积求出，即可得到的内切圆的方程和圆心坐标. 【详解】（1）由图知，由，，构成的三角形为直角三角形， 故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径. 又、中点坐标为，即圆心， 又，， 的外接圆方程是，圆心为. （2）由的内切圆的圆心为三个内角平分线的交点，且， 结合图形可设内切圆的圆心，半径为. 又，即 ， 的内切圆是以为圆心，半径为1的圆， 的内切圆的方程为，圆心. 24．已知，，为的三个顶点，圆Q为的内切圆，点P在圆Q上运动. (1)求圆Q的标准方程； (2)求以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值； (3)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）先判断出为直角三角形，利用面积关系求出内切圆的半径，结合图形求出圆心坐标，然后可得圆Q的标准方程； （2）设，利用两点间的距离公式和圆的面积公式将圆的面积之和表示为的函数，根据可求出结果； （3）根据对称性，只研究P点在x轴上方，即的情况，此时先求出的最大值，然后根据同角公式可出的最大值. 【详解】（1）因为，，，所以为直角三角形，如图： 设的内切圆的半径为， 由得， 由图可知，圆心为，所以圆. （2）设，， ， ， ， ， 因为，所以， 所以以，，为直径的圆的面积之和的最大值、最小值分别为，. （3）设，则， 根据对称性，只研究P点在x轴上方，即的情况， 当垂直x轴时，，， 当垂直x轴时，，， 当和都不垂直轴时，，， ， 因为为点与的斜率， 如图： 由图可知，当直线与圆相切时，取得最小值， 设直线：，即， 则，结合，得， 所以，， 因为，所以， 由于，所以当取最大值时，取最大值，取最大值， 所以. 考点08 圆的切线方程(共3小题) 25．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 26．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】就直线的斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径可求直线方程，故可得正确的选项. 【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求； 若直线的斜率存在，设直线的方程为即， 故圆心到直线的距离为，故， 故此时直线的方程为， 故选：D. 27．（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【分析】分类讨论，①当直线不经过原点时，设截距为，②当直线经过原点时，设直线方程为. 【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为，. 则直线过点，那么直线斜率为. 所以直线方程为. 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得或（舍去）. 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为. ②当直线经过原点时，设直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得. 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为. 综上，共有3条直线符合题目要求. 故选：B. 考点09 圆的切点弦方程（共3小题） 28．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 29．（24-25高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 30．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何性质可得当最小时四边形面积最小，求出四边形外接圆的方程后可求直线的方程. 【详解】由题意可知，. 故四边形的面积. 由圆得①， 圆心，半径，即.    要使四边形面积最小，即最小， 又，即求的最小值. 当直线与垂直时，最小. 直线的斜率，则方程为即. 联立得，即 . 中点，则四边形外接圆为②， 直线方程为①-②，即. 故选：C. 考点10 中点弦方程(共2小题) 31．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解. 【详解】圆 的圆心为，而点， 所以 由题意可知，， 则，所以 所以弦所在的直线的方程为， 即. 故选：A. 32．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点. (1)若弦被点平分，求直线的方程. (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当弦被点平分时，根据圆的性质可知与直线垂直，通过求出的斜率，进而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程. （2）已知弦长，先根据圆的半径和半弦长以及圆心到直线的距离的关系求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出直线的方程. 【详解】（1）圆的方程为，圆心，已知. 根据两点间斜率公式，可得. 弦被点平分时，，设直线斜率为，则，所以. 已知直线过点，斜率为，根据点斜式方程， 可得直线的方程为，即. （2）设圆心到直线的距离：圆的半径，已知. 根据圆的弦长计算公式，可得，所以. 当直线的斜率不存在时：直线的方程为. 此时圆心到直线的距离为，满足圆心到直线的距离， 所以是直线的一个方程. 当直线的斜率存在时：设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 即，两边平方得.展开得，移项，解得. 所以直线的方程为. 综上所得，线的方程为或. 考点11 直线中的轨迹方程(共4小题) 33．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意求得，进而可求点到直线的距离，根据动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为，计算即可得出结果. 【详解】由可知，直线的方程为 的面积为点到直线的距离， 动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为， 则或 动点的轨迹方程为或. 故选：D 34．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，用点的坐标表示出点的坐标，再代入直线的方程化简即得. 【详解】设点，由，得点，又点在直线上， 因此，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 35．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先设K点的坐标，根据斜率之和为3列出方程，化简即可得出结果. 【详解】设，则直线的斜率为，直线的斜率为， 依据题意可知，，化简得：， 因为直线、的斜率存在，所以， 所以， 故选：A. 考点12 圆中的轨迹方程（共5小题） 36．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 37．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 38．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】C 【分析】设，根据是线段的中点，得到，根据计算即可求得的轨迹方程. 【详解】设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 即，所以， 由，得， 即， 又不能与重合，所以且，解得且， 动点的轨迹方程为（且）. 故选：C 39.（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 40．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆 (2)（i）证明见解析，；（ii）存在， 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得轨迹的方程；（2）（i）先判断出点、在以为直径的圆上，然后根据两个圆的位置关系来证得结论成立；（ii）求得的面积的表达式，进而求得的面积最大值以及此时点的坐标. 【详解】（1）设，由题意得，化简整理得①， 故曲线是以为圆心，2为半径的圆； （2）如图： （i）证明：因为，，所以点、在以为直径的圆上， 可求得圆的方程为②， 所以直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 由，整理得，即直线的方程为， 故直线恒过定点； （ii）当时，点、重合， 当时，因为，点、在直线上，所以， 综上，点在以为直径的圆上，圆方程为， 因为，又， 所以当时，的面积最大，此时， 又由，，三点共线，得，即，， 所以存在点，使的面积最大，此时点坐标为. 【点睛】方法点睛： 求动点轨迹方程，通常根据已知条件建立动点坐标满足的等式，然后化简得到方程.对于涉及距离比的问题，利用两点间距离公式构建等式是常用方法. 当出现圆的切线和切点时，利用圆的性质（如切线与半径垂直）确定点的位置关系，进而得到相关圆的方程.求两圆公共弦所在直线方程，通过两圆方程相减的方法来实现，这是处理两圆公共弦问题的常见技巧. 求三角形面积最大值问题，先确定三角形面积的表达式，再根据已知条件分析变量的取值范围，从而求出最大值.对于三点共线问题，利用直线斜率相等来建立等式求解参数，是解决此类问题的常用方法 考点13 阿氏圆方程（共2小题）（拓展） 41．(多选)（23-24高二上·广东深圳·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他们名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．圆的方程为 B．圆上的点到直线的最大距离为9 C．在上存在使得 D．当三点不共线时，射线是的平分线 【答案】ABD 【分析】由题意求出圆的方程，即可判断A；求出圆心到直线的距离，从而可得直线与圆的位置关系，再求出圆上的点该直线的最大距离，即可判断B；假设存在满足题意的点，求出的坐标，即可判断C；根据题意及角平分线的性质，即可判断D. 【详解】对于A，设，则，， 又因为，所以， 整理得，即，故A正确； 对于B，由A可知圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 则， 所以直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的最大距离为，故B正确； 对于C，设上的点，则有， 且， 又因为，所以， 平方得， 即， 整理得，解得， 将代入，则无解， 所以不存在满足条件的点，故C错误； 对于D，当三点不共线时， 则， 所以射线是的平分线，故D正确. 故选：ABD. 42．（24-25高二上·重庆·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，则点的轨迹方程为 ；若圆上不存在满足条件的点，则实数的取值范围为 ． 【答案】, 或或. 【分析】由得到点M的轨迹方程为圆，再由两圆的位置关系求出a的范围. 【详解】设，因为， 所以2. 所以点M在以为圆心，2为半径的圆上， 因为的圆心，半径为1， 由题意圆C与圆D无公共点，满足：或， 即或， 可得或，解得或或. 故答案为：；或或. 考点14 参数方程（共3小题）（拓展） 43．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知实数满足．则的最大值是 ． 【答案】 【分析】配方已知等式，利用三角换元法，结合三角函数知识可得答案. 【详解】因为，所以， 令得，其中， 因为，所以，所以的最大值是. 44．（24-25高三下·上海浦东新·阶段练习）在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段AP所形成图形的面积为 【答案】 【分析】根据题意确定的轨迹，数形结合及扇形的面积公式求动线段AP所形成图形的面积. 【详解】由题意，动点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆弧，如下图示， 其中，而，易知， 所以动线段AP所形成图形的面积. 45．（24-25高三下·上海·阶段练习）点为圆上的一个动点，点，则向量在方向上的投影数量的最大值为 . 【答案】2 【分析】设点，即可求出，，再由在方向上的投影数量为及余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为点为圆上的一个动点， 所以设点，则, 又， 所以，， 所以在方向上的投影数量为， 又，所以在方向上的投影数量的取值范围为， 即在方向上的投影数量的最大值为. 故答案为：. 考点15 直线系方程（拓展） 46．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 【答案】 【分析】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【详解】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 47．（2025高三·全国·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程的性质，两直线平行的关系求解. 【详解】设过两直线和的交点的直线系方程为， 即． 由于与平行，所以，解得． 当时，直线的方程是，故符合题意. 48．设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求. 【详解】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 考点16 圆系方程（拓展） 49．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）过圆与直线的两个交点，且面积最小的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】先得到圆与直线的交点坐标，进而得到过这两个交点且面积最小的圆是以为直径的圆，得到圆心和半径，得到答案. 【详解】设圆与直线的两个交点为， 联立，解得或， 不妨设、， 则过这两个交点且面积最小的圆是以为直径的圆， 则圆心坐标为，半径为， ∴此圆方程为． 50．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【答案】 【分析】先求圆心的轨迹,再设切线方程计算即可求出公切线. 【详解】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 51．求经过点以及圆与交点的圆的方程 . 【答案】. 【分析】方法一，按照圆系方程设为，再代入点，即可求解；方法二，首先求两圆的交点，再根据交点特征，设出圆的方程，代入交点以及点后，即可求解. 【详解】方法一：将化为一般式，所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为，整理得：； 此圆经过,代入上述方程得，解得, 所以该圆的方程为，即. 方法二：圆与的交点为，因为圆心在轴上 设所求圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，化为一般式为. 故答案为：. 51．已知圆O：与圆相交于M，N两点，点P的坐标为．若圆经过M，N，P三点，则的方程为 ． 【答案】 【分析】联立方程求M，N两点的坐标，法一：根据几何性质可得圆心C2在x轴上，设结合圆的定义运算求解；法二：设圆，代入点，列方程求解. 【详解】联立方程，解得或， 故M，N两点的坐标为． 法一：可得关于轴对称，即线段的中垂线为轴，故所求的圆的圆心C2在x轴上， 设，点P的坐标为， ∵，即，求得m＝5， 故要求的圆的圆心，半径为， 故要求的圆的方程为． 法二：设圆，且点P的坐标为， 代入点，可得，解得， 故要求的圆的方程为，即． 故答案为：. 考点17 两圆的公切线方程(共2小题) 53.（多选）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）（多选）已知圆和圆相交于A、B两点，下列说法正确的是（   ） A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为 C．线段AB的长为 D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为 【答案】AC 【分析】由圆与圆的位置关系判断A； 求出公共弦所在直线方程判断B；利用圆的弦长公式求出弦长判断C；判断方程是否过A、B两点，再判断方程是否表示过A、B的所有圆判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心，半径， 对于A，，圆与圆相交，有两条公切线，A正确； 对于B，圆与圆的方程相减得直线AB的方程：，B错误； 对于C，圆心O到直线AB的距离，则，C正确： 对于D，当时，恒成立， 即该方程恒过A、B两点，方程化为， 而恒成立， 因此方程表示圆， 但此圆系不包括圆M，D错误. 故选：AC 54．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1)， (2)，和 【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长； （2）由图可知一条公切线为，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，利用圆心到直线距离等于半径求出k即可得切线方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. （2）结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为. 设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得. 此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 考点18 曲线系方程(共1小题)（拓展） 55．（24-25高二上·重庆·期中）已知二次曲线表示圆的充要条件为，且.关于二次曲线，有以下结论：若，，，为平面内三条直线，且，，，则过，，三点的二次曲线系方程为（，为参数）.若，，，为平面内四条直线，且，，，，则过四点的二次曲线系方程为（为参数）. (1)若三角形三边所在直线方程分别为：，，.求该三角形的外接圆方程. (2)记（1）中所求的外接圆为，直线与交于，两点（在第一象限），直线与交于，两点（在第二象限），直线交轴于点，直线交轴于点，直线与直线交于点. （i）求证：； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得； （2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系可证得，由关系式（即）可得交点在定直线上上，进而求解最值. 【详解】（1）则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：（，为参数）， 即 ，（） 若方程表示圆，则，解得. 将代入（）式化简得， 验证：由，可知该方程表示圆. 故该三角形的外接圆方程为. （2）如图，在平面直角坐标系中， 设直线与轴的交点，直线与轴的交点， 由题意知直线均不与轴垂直， 则直线方程可设为，直线方程可设为， 由题意可知，且. 不妨记直线分别为， 且， 其中，，，. 故由题意，过四点的二次曲线系方程可设为 （为参数）， 即 ①， 若时，方程表示两条直线，不表示圆， 故. 由四点不共线，且都在圆②上， 所以方程①②表示同一圆， 则有③，且④. （i）由③式及，可得， 即；故（i）得证； （ii）由③式可得，令，则， 代入④式可得， 联立直线方程，解得， 即交点在定直线上，故. 如图2，由对称性可知，当时，交点在轴上， 即，此时. 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题. 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $