第一章 直线和圆（高效培优单元自测·提升卷）数学北师大版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦高中数学直线和圆单元，通过基础巩固与能力提升题组适配单元复习，培养数学抽象、几何直观及运算推理能力，涵盖直线方程、圆的性质及综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线平行垂直（题1）、圆的位置关系（题2）|基础概念辨析，梯度合理| |多选|3/18|曲线对称性（题11）、公切线（题10）|综合性质判断，考查逻辑思维| |填空|3/15|圆的标准方程（题12）、弦长问题（题13）|核心技能应用，强调几何直观| |解答|5/77|交点与距离（题15）、最值问题（题17）|分层设计，融合运算推理与模型意识|

第一章 直线和圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 2．已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 5．直线与圆相交于两点且，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 6．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 7．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 8．已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（   ） A．直线过定点 B．存在实数，使直线与曲线无公共点 C．直线被曲线截得的弦长的最小值为 D．当时，直线被曲线截得的弦长最大 10．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 11．已知曲线：，则下列说法正确的有（    ） A．曲线关于对称 B．若为曲线上任意一点，则的最大值为3 C．曲线内有7个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．若为曲线上任意一点，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 13．已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 14．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）已知直线经过直线与的交点． (1)若点到的距离为，求的方程； (2)若直线经过原点，且与直线平行，求与的距离最大值时直线的方程． 16．（15分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 17．（15分）已知x和y满足圆的标准方程．求： (1)的最值； (2)圆上一点P与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值． 18．（17分）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 19．（17分）已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线和圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B A A A B B 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 ACD ABD ABC 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12． 13．或 14．（） 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）解法一：设直线方程为，利用点到直线距离公式求出，再讨论直线不符合，即可求出答案；解法二：求出交点，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式进行求解即可求出答案； （2）当两条平行直线，与，两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，求出的斜率即可得到的斜率，即可求出答案. 【详解】（1）解法一： 设经过两已知直线交点的直线方程为， 即， 所以．即， 所以，解得或． 故的方程为或． 当直线为时，到的距离为，不符合题意， 综上所述的方程为或． 解法二： 由，解得交点． 当直线斜率不存在时，方程为：，此时点到的距离为，故符合题意； 当直线斜率存在时，设其方程为：，即， 所以点到的距离为：，解得， 所以直线的方程为：，即． 综上，直线的方程为或． （2）当两条平行直线，与，两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 又，所以两条平行直线的斜率为， 所以直线的方程是，即． 16．（15分） 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （2）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得方程组，解出即可． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为， 即． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点， ，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得 解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 17．（15分） 【答案】(1)最大值和最小值分别为和 (2)最大值和最小值分别为， 【分析】（1）将 视为圆上动点到原点的距离平方，利用圆心到原点的距离与半径的关系确定距离范围； （2）将三角形面积表示为底边 与点 到直线 的距离之积的一半，转化为求圆上动点到定直线距离的最值问题． 【详解】（1）因为圆的圆心为,半径为, 而表示该圆上一点到原点的距离的平方, 因圆心到原点的距离, 圆上点到原点的距离的范围为：， 即， 所以， 因此， 所以的最小值为，最大值为． （2）已知、，则直线的方程为：， 且， 设点到直线的距离为，则的面积， 因此，面积的最值等价于求点到直线距离的最值， 圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线的距离的范围为：， 即， 则，． 即的面积最小值为，最大值为． 18．（17分） 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 19．（17分） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解； （2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于的方程. 【详解】（1）解：圆，即， 则圆心，半径，又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得； （2）解：， 解得，则， 解得或， 则直线的方程为或． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线和圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 2．已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合圆不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为圆， 所以圆，则圆心坐标为，半径， 因为半径，所以，化简得：， 解得，又因为，所以， 若圆不经过第四象限，则圆心到轴的距离要大于等于半径， 即，移项可得：，解得：或， 又因为，可得，所以可推出， 所以是的充分条件， 当时，不满足，所以是的不必要条件， 综上，圆不经过第四象限是的充分不必要条件. 3．已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 4．已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 5．直线与圆相交于两点且，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则， 由题意可得圆的半径， 且有， 所以，， 所以， 即， 即， 解得. 6．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程求出定点坐标，再确定定点与圆的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得解. 【详解】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点， 将化为标准形式， 因为，所以点在圆内， 而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值， 又直线的斜率，所以. 7．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 8．已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（   ） A．直线过定点 B．存在实数，使直线与曲线无公共点 C．直线被曲线截得的弦长的最小值为 D．当时，直线被曲线截得的弦长最大 【答案】ACD 【分析】根据题意，先求得曲线的轨迹方程，结合直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】设曲线上任意一点，则，， 因为，可得，整理得， 即曲线是以为圆心，半径为的圆， 对于A，将直线方程，变形为， 因为该式对任意恒成立，则满足，解得， 即直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由定点到圆心的距离为， 即点在圆的内部，所以不存在实数，使直线与曲线无公共点，所以B错误； 对于C，因为直线过定点，且，即圆心到直线的最大距离为， 结合圆的性质，可得弦长的最小值为，所以C正确； 对于D，当时，直线的方程为，即， 此时圆心在直线上，即直线过圆心， 此时直线被曲线截得的弦长为圆的直径，此时为最大弦长，所以D正确. 10．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以.故A正确； 对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确； 对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误； 对D，.故D正确. 11．已知曲线：，则下列说法正确的有（    ） A．曲线关于对称 B．若为曲线上任意一点，则的最大值为3 C．曲线内有7个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．若为曲线上任意一点，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】选项A：将方程中和互换，方程不变，故曲线关于对称；选项B：由，结合，得，即，当时取到最大值；选项C：列举满足的整点：，共个；选项D：令，代入方程得，由得，故，不是. 【详解】选项A：将方程中的与互换， 得到与原方程完全相同， 所以曲线关于对称，A正确； 选项 B： 由基本不等式：，原方程， 代入得， 当时， ，当且仅当时取等号； 当时， ； 所以的最大值为，B正确； 选项C：曲线内的点满足不等式， 列举出所有整点： 令，则，整数可取值为，对应整点为， 令，则，，， 整数可取值为，对应整点为， 令，则，，， 整数可取值为，对应整点为， 当时，可转化为，无整数解， 则满足条件的整点为：，，， 共个，C正确； 选项 D：令，则， 代入原方程：， 整理得， 该方程是关于的一元二次方程，有实根，故判别式， ，，， 解得，即的最小值为，不是，D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 【答案】 【详解】设圆心为 ，因为圆心在直线 上，故. 圆经过 、，所以圆心到两点的距离相等，可得， 两边平方得， 展开得， 化简， 代入 ，得. 所以圆心为 ，半径. 故圆的标准方程为. 13．已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 【答案】或 【分析】先根据弧长之比等于对应圆心角之比，可判断为等腰三角形，再根据圆心到直线的距离为半径的，建立关于的等量关系求解即可. 【详解】设直线与圆M交于A，B两点，圆心为，半径， 因为圆M被直线截得两段弧长之比为3:1，而弧长之比等于对应圆心角之比， 所以两段弧所对的圆心角之比为3:1，故较小弧所对的圆心角为. 设N为弦的中点，则，并且在等腰三角形中，平分圆心角， 所以， 在直角三角形中，， 这说明圆心到直线的距离为. 直线：可化为. 由点到直线的距离公式，得，解得或. 14．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）已知直线经过直线与的交点． (1)若点到的距离为，求的方程； (2)若直线经过原点，且与直线平行，求与的距离最大值时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）解法一：设直线方程为，利用点到直线距离公式求出，再讨论直线不符合，即可求出答案；解法二：求出交点，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式进行求解即可求出答案； （2）当两条平行直线，与，两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，求出的斜率即可得到的斜率，即可求出答案. 【详解】（1）解法一： 设经过两已知直线交点的直线方程为， 即， 所以．即， 所以，解得或． 故的方程为或． 当直线为时，到的距离为，不符合题意， 综上所述的方程为或． 解法二： 由，解得交点． 当直线斜率不存在时，方程为：，此时点到的距离为，故符合题意； 当直线斜率存在时，设其方程为：，即， 所以点到的距离为：，解得， 所以直线的方程为：，即． 综上，直线的方程为或． （2）当两条平行直线，与，两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 又，所以两条平行直线的斜率为， 所以直线的方程是，即． 16．（15分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （2）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得方程组，解出即可． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为， 即． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点， ，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得 解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 17．（15分）已知x和y满足圆的标准方程．求： (1)的最值； (2)圆上一点P与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值和最小值分别为和 (2)最大值和最小值分别为， 【分析】（1）将 视为圆上动点到原点的距离平方，利用圆心到原点的距离与半径的关系确定距离范围； （2）将三角形面积表示为底边 与点 到直线 的距离之积的一半，转化为求圆上动点到定直线距离的最值问题． 【详解】（1）因为圆的圆心为,半径为, 而表示该圆上一点到原点的距离的平方, 因圆心到原点的距离, 圆上点到原点的距离的范围为：， 即， 所以， 因此， 所以的最小值为，最大值为． （2）已知、，则直线的方程为：， 且， 设点到直线的距离为，则的面积， 因此，面积的最值等价于求点到直线距离的最值， 圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线的距离的范围为：， 即， 则，． 即的面积最小值为，最大值为． 18．（17分）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 19．（17分）已知圆，直线. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解； （2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于的方程. 【详解】（1）解：圆，即， 则圆心，半径，又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得； （2）解：， 解得，则， 解得或， 则直线的方程为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $