拓展专题01 直线与圆中对称问题的十四大题型14考点43题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

拓展专题01 直线与圆中对称问题的十四大题型 考点01 点关于点对称(共2小题) 3 考点02 点关于直线对称（共4小题）（重点） 4 考点03 直线关于点对称(共3小题)（重点） 5 考点04 直线关于直线对称（共4小题）（重点） 7 考点05 圆关于点对称(共3小题)（常考点） 9 考点06 圆关于直线对称(共3小题）（常考点） 10 考点07 圆的自对称性(共5小题)（常考点） 11 考点08 曲线关于点、直线的对称（共2小题）（难点） 14 考点09 光的反射问题(共4小题) 15 考点10 对称点的存在性问题(共4小题) 20 考点11 利用对称求距离之和的最值（共2小题）（难点） 21 考点12 利用对称求距离之差的最值（共2小题）（难点） 23 考点13 对称性的实际应用(共3小题)（难点） 26 考点14 与对称性有关的新定义题(共2小题)（难点） 29 【重要方法及结论】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 5.与圆有关的对称问题 (1)若两圆关于某点对称，则这两圆的圆心关于该点对称，半径相等； (2)若两圆关于某直线对称，则这两圆的圆心关于该直线对称，半径相等； (3)任意一个圆关于它的任一条直径所在直线对称； (4)任意两个圆关于它们的连心线所在直线对称; (5)任意两个等圆关于它们连心线的垂直平分线对称. 考点01 点关于点对称(共2小题) 1．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的坐标公式求解即可. 【详解】点与点的对称中心是的中点， 所以对称中心的坐标为， 故选：C 2．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】设点坐标为， 则由题意可得，解得， 所以点坐标为, 故选：B 考点02 点关于直线对称（共4小题）（重点） 3．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解. 【详解】设点关于对称的点为，则，解得， 故选：B 4．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【详解】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 5．（24-25高二上·广东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得是线段的垂直平分线，据此计算可求. 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：. 6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用对称求出点，然后根据点的坐标得到，最后根据倾斜角与斜率的变化关系得到范围. 【详解】设点，有，解得，，所以， ，，结合图可知，. 故答案为：. 考点03 直线关于点对称(共3小题)（重点） 7．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【详解】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 考点04 直线关于直线对称（共4小题）（重点） 10．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 11．（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据对称求解直线的方程，即可根据相切关系，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】由可得，故直线关于轴对称的直线斜率为，且经过点，故直线方程为， 圆的圆心和半径分别为， 由相切可得，解得， 故选：A 13．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，所在直线方程为.求 (1)点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中线和均过点，可联立方程求得点坐标； （2）利用点关于直线对称点的求法可求得点关于直线对称的点，由此可得直线方程，即为所求对称直线方程. 【详解】（1）由得：，即. （2）设关于直线对称的点，则，解得：， ，则直线方程为，即， 即直线关于直线对称的直线方程为：. 考点05 圆关于点对称(共3小题)（常考点） 14．（2024高二·广东·期中）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知圆与所求圆对称，求出圆心和半径，即可得出圆的方程. 【详解】因为所求圆的圆心与圆的圆心关于原点对称， 所以所求圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为. 故选：B. 15．（24-25高二上·广东深圳·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由两圆关于点对称可得圆的半径相等即可得解. 【详解】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 16．圆关于点对称的圆的方程是 . 【答案】 【解析】先将圆，化为标准方程得到圆心，再求圆心关于点的对称点，即为所求的圆的圆心. 【详解】圆，化为标准方程：， 设关于点对称的圆的圆心为， 则，解得， 所以圆关于点对称的圆的方程是： ， 考点06 圆关于直线对称(共3小题）（常考点） 17．（25-26高二上·河南·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点即所求圆的圆心，两圆半径相同，得到所求圆. 【详解】由，得圆心为，半径， 设圆心关于直线的对称点为， 则 解得 故所求圆的方程为． 故选：C. 18．（24-25高二上·重庆长寿·期末）圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】C 【分析】先得出圆的圆心，再根据圆关于直线对称得出圆心在直线上计算求参. 【详解】圆的圆心为， 且，即， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，则， 化简得， 所以或，满足. 故选：C. 19．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意，得出直线是两圆圆心的对称轴，依次求得的中点坐标和斜率,即可由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】依题意，直线是两圆圆心的对称轴. 由可得，由可得， 则的中点为，因，故直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 考点07 圆的自对称性(共5小题)（常考点） 20．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据直线经过圆心，可求的值. 【详解】由，得，故圆心为， 又因为圆关于直线对称， 故圆心在直线上，则. 故选：A 21．（24-25高二上·广东东莞·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】由题意可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，解得. 故选:A. 22．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】16 【分析】由题意可得说明直线经过圆心，推出，代入，利用基本不等式，确定最小值 【详解】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值是16 故答案为：16 23．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ． 【答案】20 【分析】由圆关于直线对称列方程求，由此确定圆的圆心坐标和半径，设，由直线与圆有公共点，列不等式求的范围及最大值. 【详解】方程可化为， 所以圆的圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称，所以，所以，令，则， 所以，所以，所以的最大值为20， 故答案为：20. 24．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】（1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 考点08 曲线关于点、直线的对称（共2小题）（难点） 25．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 26．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题设转化为的图象和的图象有两个交点，求出直线和相切时的值以及直线过点时的值，结合图象即可求解. 【详解】关于直线的对称直线为， 则题设等价于函数的图象和的图象有两个交点． 令等价于， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以k的取值范围是. 故选：A． 考点09 光的反射问题(共4小题) 27．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 28．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于光线经过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 29．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设反射前光线所在直线方程为，分四种情况讨论，即①当光线不发生反射时；②当光线只发生一次反射时，；③当光线发生两次反射时，④当光线发生三次反射时，利用几何法即圆心到直线的距离大于半径，通过分析进而求解； 【详解】由题意知半圆的圆心为，半径为1，设反射前光线所在直线方程为． ①如图：当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率，若此时光线与半圆无交点，则半圆圆心到光线所在直线的距离，解得，即． ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与轴非负半轴相交，由，得则反射光线所在直线方程为，即，所以，解得．令半圆圆心到反射光线所在直线的距离1，解得，又，所以此时要使光线与半圆没有交点，则． ③当光线发生两次反射时，讨论如下．当时，第一次反射后光线所在直线与轴非负半轴有交点，交点为，则第二次反射后光线所在直线方程为，所以，解得．令半圆圆心到第二次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则．当时，易知第一次反射后光线过点，第二次反射后光线所在直线方程为，与半圆没有交点．综上，． ④当光线发生三次反射时，由得则第三次反射光线所在直线方程为，即，所以，即．令半圆圆心到第三次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则． 综上，的取值范围为． 故选：A． 30．（24-25高三上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于轴的对称点，方法一、利用直线与圆的关系计算圆心到反射光线的距离即可；方法二、利用反射光线与圆相切作临近值，借助两点距离公式、正切的和差角公式计算反射光线的斜率范围，再利用截距的意义计算即可. 【详解】方法一：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点． 又，所以直线的方程为，即． 由题知圆的圆心为，半径为1， 直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1， 所以，解得． 方法二：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点， 临界情况为直线与圆相切． 设切点为，令，易得， 所以． 因为直线的斜率为， 所以直线的斜率． 易得直线的方程为．所以．    故选：A 【点睛】思路点睛：对于光线的反射问题一般作对称点由入射光线得出反射光线所在直线，再利用直线与圆的位置关系计算即可，法二、计算反射光线与圆相切时的斜率从而得出反射光线的斜率范围，再结合直线的截距意义计算，计算略显复杂，但也是一种很好的方向. 考点10 对称点的存在性问题(共4小题) 31．（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由两圆关于点对称可得圆的半径相等即可得解. 【详解】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 32．已知直线，若圆上存在两点关于直线对称，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据题意可知圆的圆心坐标为，又圆上存在两点P，Q关于直线对称，所以直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程，即可求出结果. 【详解】∵圆：，∴圆的圆心坐标为， 又圆：上存在两点P，Q关于直线对称， ∴直线经过圆心， ∴，解得. 故选：A. 33．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【答案】D 【分析】由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值. 【详解】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 34．（23-24高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等，再利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】结合题意：圆的标准方程为，圆心， 圆的标准方程为，圆心， 要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等， 所以，， 此时，的半径都是， 又， 所以，外切． 故选: C. 考点11 利用对称求距离之和的最值（共2小题）（难点） 35．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】C 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，   ， 在直线上， 设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为， 代入点，可得，解得， 故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点， 则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为， 所以的最小值是， 故选：C 36．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】先求点关于直线对称的点为，结合圆的性质可得，再结合几何性质即可得结果. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 综上所述：当且仅当时，的最小值为6. 故选：C 考点12 利用对称求距离之差的最值（共2小题）（难点） 37．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 38．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 【答案】(1)P点坐标为 (2)P点坐标为 (3)当P点坐标为时，的值最小；当P点坐标为时，的值最大 【分析】（1）求出点A关于直线l对称点坐标，根据三点共线时，的值最小，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. （2）因为点A、B在直线l同侧，分析可得当三点共线时，的值最大，求得直线AB方程，与直线l联立，即可得答案. （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，当三点共线时，的值最小，求出直线AB方程，与直线l联立，即可得答案；由（1）可得点A关于直线l的对称点的坐标，分析可得当三点共线时，的值最大，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. 【详解】（1）设点A关于直线l对称点为， 则，解得，即， 因为点P在直线l上运动， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最小值等于， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 联立，解得， 所以交点 （2）因为点A、B在直线l同侧，且点P是直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最大值为， 即P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB方程为， 联立，解得， 故所求点P的坐标为 （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，且P为直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即点P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB的方程为，即， 联立，解得， 故使的值最小时，P点坐标为. 由（1）可知点A关于直线l的对称点为，且P为直线l上一点， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 此时取得最大值， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 所以，解得， 所以交点 考点13 对称性的实际应用(共3小题)（难点） 39．（24-25高二上·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，则所求最短总路程为. 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得：，即， “将军饮马”的最短总路程为. 故选：D. 40．（24-25高一上·全国·课后作业）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品都体现了数学中的对称美，如图所示的剪纸是一幅中心对称图形，以中心对称点为坐标原点将其放入平面直角坐标系中，若图中点坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，其关于坐标原点对称的点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据点关于坐标轴以及原点对称的点坐标，构造方程组可解得结果. 【详解】因为，其关于轴对称的点坐标为， 则，解得； 又点关于原点对称的点坐标为，所以， 解得， 则． 故选： 41．（多选）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC 【分析】利用点线对称与光线镜面反射的虚像原理作出图像，数形结合，可一一得到答案. 【详解】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉（线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部）， 故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上， 故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误. 故选：BC. 考点14 与对称性有关的新定义题(共2小题)（难点） 42.（多选）（2025·安徽池州·二模）定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线是“和美曲线” B．点是曲线的一个顶点 C．曲线所围成的封闭图形的面积 D．当点在曲线上时， 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】AD 【分析】由曲线方程结合选项逐项判断即可. 【详解】对于A，将代入曲线方程，易知成立，故曲线关于原点对称， 将代入，易知成立，故曲线关于坐标轴对称，故A正确； 对于B，令可得：，即，故B错， 对于C，， 所以曲线所围成的封闭图形在椭圆内部， 而椭圆面积为：，故C错误； 对于D,由 ， 可得：， 所以，当时取等号，故D正确； 故选：AD 43.（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． (1)当时，求点的轨迹方程； (2)若点的“距离坐标”为，求点的坐标； (3)已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）由，利用点M“距离坐标”的定义，结合点到直线距离公式列式求出轨迹方程. （2）设出点M的坐标，利用点M“距离坐标”的定义列出方程组求解即得. （3）设点，再求出点关于直线对称点的坐标，由光的反射定律结合向量共线的坐标表示求出，进而求出点的坐标即可得解. 【详解】（1）由，得点M到直线，的距离相等，设点， 则，即，整理得或， 所以点的轨迹方程为或． （2）设点，依题意，，解得或或或， 所以点的坐标为. （3）设点，点关于直线对称点，关于直线对称点， 当时，，解得， 点，当时，满足上式，因此点， 当时，，解得，点， 当时，满足上式，因此点，    由光的反射定律知，点共线，由点在线段上，得， 而， 因此，解得，， 直线，由，得点， 则点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以点的“距离坐标”为. 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题01 直线与圆中对称问题的十四大题型 考点01 点关于点对称(共2小题) 3 考点02 点关于直线对称（共4小题）（重点） 3 考点03 直线关于点对称(共3小题)（重点） 3 考点04 直线关于直线对称（共4小题）（重点） 4 考点05 圆关于点对称(共3小题)（常考点） 4 考点06 圆关于直线对称(共3小题）（常考点） 4 考点07 圆的自对称性(共5小题)（常考点） 5 考点08 曲线关于点、直线的对称（共2小题）（难点） 5 考点09 光的反射问题(共4小题) 5 考点10 对称点的存在性问题(共4小题) 6 考点11 利用对称求距离之和的最值（共2小题）（难点） 7 考点12 利用对称求距离之差的最值（共2小题）（难点） 7 考点13 对称性的实际应用(共3小题)（难点） 7 考点14 与对称性有关的新定义题(共2小题)（难点） 8 【重要方法及结论】 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 5.与圆有关的对称问题 (1)若两圆关于某点对称，则这两圆的圆心关于该点对称，半径相等； (2)若两圆关于某直线对称，则这两圆的圆心关于该直线对称，半径相等； (3)任意一个圆关于它的任一条直径所在直线对称； (4)任意两个圆关于它们的连心线所在直线对称; (5)任意两个等圆关于它们连心线的垂直平分线对称. 考点01 点关于点对称(共2小题) 1．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点02 点关于直线对称（共4小题）（重点） 3．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 . 考点03 直线关于点对称(共3小题)（重点） 7．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 考点04 直线关于直线对称（共4小题）（重点） 10．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 13．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，所在直线方程为.求 (1)点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程. 考点05 圆关于点对称(共3小题)（常考点） 14．（2024高二·广东·期中）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·广东深圳·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 16．圆关于点对称的圆的方程是 . 考点06 圆关于直线对称(共3小题）（常考点） 17．（25-26高二上·河南·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·重庆长寿·期末）圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 19．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 考点07 圆的自对称性(共5小题)（常考点） 20．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 21．（24-25高二上·广东东莞·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．0 22．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是 ． 23．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为 ． 24．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 考点08 曲线关于点、直线的对称（共2小题）（难点） 25．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 26．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点09 光的反射问题(共4小题) 27．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 28．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 29．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高三上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点10 对称点的存在性问题(共4小题) 31．（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 32．已知直线，若圆上存在两点关于直线对称，则的值为（    ） A． B． C． D．5 33．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 34．（23-24高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 考点11 利用对称求距离之和的最值（共2小题）（难点） 35．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（   ） A．6 B． C． D．5 36．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 考点12 利用对称求距离之差的最值（共2小题）（难点） 37．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 38．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 考点13 对称性的实际应用(共3小题)（难点） 39．（24-25高二上·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·全国·课后作业）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品都体现了数学中的对称美，如图所示的剪纸是一幅中心对称图形，以中心对称点为坐标原点将其放入平面直角坐标系中，若图中点坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，其关于坐标原点对称的点的坐标为，则 ． 41．（多选）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 考点14 与对称性有关的新定义题(共2小题)（难点） 42.（多选）（2025·安徽池州·二模）定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点.已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线是“和美曲线” B．点是曲线的一个顶点 C．曲线所围成的封闭图形的面积 D．当点在曲线上时， 43.（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． (1)当时，求点的轨迹方程； (2)若点的“距离坐标”为，求点的坐标； (3)已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $