专题05 函数性质的综合应用（期中真题汇编，甘肃专用）高一数学上学期

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05函数性质的综合应用 ☆9大高频考点概览 考点01利用函数的性质解不等式 考点02函数的零点问题 考点03零点和恒成立问题 考点04函数的单调性及其证明 考点05函数性质的综合应用 考点06函数的实际应用 考点07函数恒成立问题 考点08函数的零点问题 考点09函数的新定义问题 考点01 利用函数的性质解不等式 1.(24-25高一上·甘肃平凉庄浪县紫荆中学)定义在0，+∞上的函数f(x)满足： xfx1-x2f为<0，且 X1-X2 f2)=4,则不等式f(x)-8>0的解集为() X A.2,+∞ B.0,2 C.0,4 D.4,+∞ 2.(24-25高一上·甘肃武威凉州区·期中)定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,X2∈-∞，0，都有 x1-为2fx-fx2<0,f(-1)=0,则不等式xf(x)k0的解集是 A.（-1,1) B.（-00,-1)U(1,+00) C.（-1,0)U(1,+∞) D.(-∞，-1)U(0,1) 3.(24,25商一上甘肃嘉峪关第二中学：期肿)已知函数fx为定义在R上的偶函数，VX,X,∈0，+∞” 1/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 X<xfx-,fx<2且f1=-2f10=0则不等式fx>-2的解集为《) X2-X1 A.-1,1 B.-1,0U0,1 C.(-1,0U1,+∞ D.-1,1 4.(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)定义在R上的奇函数fx在0，+∞上单调 递增， f x =0,则不等式X-2 0的解集为() A2,u2+ 8-2u62 c.-52,u0u2+m D.-,2uo唱，2 5.24-25高一上·甘肃嘉峪关第二中学期中)（多选题）fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时， fx=4x-x2,则下列说法中错误的是() A.fx的单调递增区间为-o,-2U0,2)B.f-π<f5 C.fx的最大值为4 D.fx>0的解集为-4,4 6.(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)（多选题）已知函数f(x)的定义域为 (-1,1),f(x)+f(y)=f X+V 且当x∈(0,1)时，f(x)>0,则下列说法正确的是() 1+xy A.fx是奇函数 B.fx为增函数 C.若实数a满足不等式f(2a)+f(a-1)>0,则a的取值范围为 .ff信 。0425膏-士节肃整关西巨中月尼如两x上2024《+且数y满足 fx+fy-1=2,若+16>d2+24a恒成立，则实数a的取值范围是 8.(24-25高一上·甘肃兰州第一中学·期中)定义在(-oo,0)U(0,+o∞)上的奇函数f(x)若函数f(x)在 2/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (0,+∞)上为增函数， 且f1)=0则不等式f】<0的解集为_ 考点02 函数的零点和恒成立 1.(24-25高一上·甘肃兰州第一中学期中)f(x)=l0g2x+x-5的零点所在区间为() A.1,2 B.2,3 C.3,4 D.4,5 7.(24-25高一上·甘肃金昌永昌县第一高级中学期中)（多选题）定义域和值域均为-a,a的函数y=fx 和y=gx的图象如图所示，其中a>b>C>0,则() =fx A.方程fgx=0有且仅有3个解 B.方程gfx=0有且仅有3个解 C.方程ffx)=0有且仅有5个解 D.方程ggx=0有且仅有1个解 2.(24-25高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)设函数fx是定义在-1,1上的奇函数且f1=-1,对任 意的xX,∈-1,1部有fxfx<0X,+x0成立.若对任意的m∈-1,1都有fx≥22-mt-4 X1+X2 恒成立，则实数t的取值范围是一· 3.(2425高一上甘肃兰州第一中学期中)若关于X的不等式X2-1og。X<0在0，)内恒成立，则0的取值 范围是一· 考点03 函数的单调性及其应用 ①，24-25高一上甘志嘉龄关酒钢三中期中已知函数f(x=ax-x十1a,b∈R,图象经过点(2，名)，且 fu=2 (1)求a,b的值： 3/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)判断并证明函数y=fx在区间(-1，+o∞)上的单调性， 2.(24-25高一上：甘肃兰州兰州新区第一高级中学期中)已知函数f(x)=2x-1 (1) 求f f2】 (2)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明. 3.(24-25高一上·甘肃嘉峪关第二中学·期中)已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时， flx)=2-x2 (1)求fx的解析式： (2)用定义证明fx在-∞，-1上为增函数 4.(24-25高一上·甘肃庆阳华池县第一中学期中)已知函数f(x)=X2+1 (1)求函数f(x)的定义域： (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由： (3)判断f(x)在就上的单调性。 5.24-25高一上甘肃金昌永昌县第一高级中学期中)已知函数fx)=mX+mx+9为奇函数，且f3=6. ()求函数fx的解析式： (2)判断函数fx在3，+∞上的单调性并证明： (3)解关于x的不等式f-5-x)>-10. 6.(24-25高一上甘肃白银靖远县第四中学等校)已知函数fx=2x+1,gX=X,hx=fx,x<a gx,x≥a 用函数单调性的定义证明：函数y=fx在区间-∞，一 上单调递减。 (2)当a=- 5时，写出hx的单调区间 (3)若hx在R上为单调函数，求a的取值范围， 目目 考点04 函数性质的综合 4/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2425高=上甘肃嘉峪关消钢三中期中)已知函数fx=log。X二石f3=- gx=4*+4x-m2-m2*+1 (1)解不等式fx>1: (2)设不等式fx>1的解集为集合A,若对任意x1∈A,存在x2∈0,1，使得x1=gx2,求实数m的取值范 围 2.(24-25高一上·甘肃兰州兰州新区第一高级中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，满足 f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=4. ()求f(0)的值； (2)判断函数f(x)的奇偶性并证明： (3)若f(2x+3)-f(x)<8,求x的取值范围. 3.(24-25高一上·甘肃期中)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的a,b∈R,都有f(a)f(b)=f(a+b). 当x<0时，f(x)>1,且f(0)≠0. (1)求f(0)的值，并证明：当x>0时，0<f(x)<1: (2)判断f(x)的单调性，并证明： 3)若f(2)=2求不等式f5-6>G的解类。 4.(24-25高一上·甘肃白银靖远县第四中学等校)(1)若fx为奇函数，当x<0时，fx=x2+1,求f1: 2)用列举法表示集合：M三x∈N8∈N (3)求不等式组 x+2x≥8 x2-x<30 的解集。 5.24-25高一上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知函数f(x)=,X 1+X (1)简述f(x)图象可由g(x)=-上的图象经过怎样平移得到： (2)证明：f(x)的图象是中心对称图形，并计算 f-2025+f-2024+..+f-2+f0+…+f(2022+f2023的值. 5/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 考点5 函数的最值问题 1.(24-25高一上·甘肃酒泉敦煌中学期中)已知幂函数f(x)=m2-5m+7xm-1,且f(x)+f(-x)=0. (1)求f(x)的解析式： X+2且ga+gb1=2,6均为正数，求fo+fb+4的最小值. 1 (2)若函数gx)= 2.(4-25高一上甘肃平凉庄浪县紫荆中学)已知函数f(xX)=2x+1 x+1 (1)用定义证明f(x)在区间就上是增函数. (2)求该函数在区间2,4]上的最大值与最小值. 3.(24-25高一上甘肃兰州第一中学期中)已知函数fx=2x-1 X+1 (1)求函数的定义域： (2)试判断函数在-1，+∞上的单调性： (3)试判断函数在x∈3,5的最大值和最小值. 目目 考点6 函数的实际应用 1.(24-25高一上甘肃庆阳华池县第一中学期中)实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某企 业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投 入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的 总和为2x+10x万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元. ()写出y与x之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利（盈利总额为正值）： (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额乙盈利总额：使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理 由 2.(24-25高一上·甘肃·期中)某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中 心x0<x<18厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作 时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x成反比，比例系数为 2;对右脚的干扰度与1350-x成反比，比例系数为k,且当x=10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. 6/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式： (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.。 3.(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)某企业采用新工艺，把企业生产中排放的 二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成 )与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y三)x2一-200x+80000,且每处 氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单 位不亏损？ 4.(24-25高一上甘肃天水秦安县第一中学期中)某地区上年度电价为0.7元/(kW·h),年用电量为 akW·h.本年度该地政府实行惠民政策，要求电力部门让利给用户，将电价下调到0.45元/(kW·h)至 0.6元/(kW·h)之间，而用户的期望电价为0.35元/(kW·h)·经测算，下调电价后新增用电量和实际 电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k).该地区的电力成本价为0.2元/(kW·). (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单位：元)关于实际电价x(单位：元/(kW·h)的函数 解析式；（收益就实际用电量×（实际电价一成本价）) (2)设k=0.05α，当电价最低定为多少时，可保证电力部门的收益比上年至多减少20%？ 考点7 函数的恒成立问题 1.(24-25高一上·甘肃庆阳华池县第一中学.期中)已知函数fx满足fx+y=fx+fy-1x,y∈R,当 x>0时，fx>1,且f1=2. 1)求f0,f-1的值，并判断fx的单调性： (2)当x∈1,2时，不等式fax2-3x+fx<1恒成立，求实数a的取值范围. 2.(24-25高一上·甘肃金昌永昌县第一高级中学期中)已知函数f(x)=-x2-a(b-a)x-b (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为-3,1)，求a,b的值： (2)当a=1时，若关于x的不等式f(x)≤0在R上恒成立，求b的取值范围. 3.(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)已知函数fx是定义在R上的奇函数，当 7/11 的学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 20时，fx=2x X+3 (I)当x<0时，求fx的解析式： (2)判断fx在0，+o∞上的单调性，并用定义证明； (3)若fx2+1+f2+ax≥0对于Hx∈2,3恒成立，求a的取值范围. 4.(24-25高一上·甘肃天水第一中学期中)已知f(x)是定义在[-5,5]上的奇函数，且f(-5)=-2,若对任 意的m,n∈[-5,5]，m+n≠0，都有（m)+fm0. m+n (1)若f(2a-1)<f(3a-3),求a的取值范围. (2)若不等式f(x)≤(a-2)t+5对任意x∈[-5,5]和a∈[-3,0]都恒成立，求t的取值范围. 5.(24-25高一上·甘肃兰州第一中学·期中)设函数fx=ax2+b-2x+3a≠0 (1)若不等式f(x)>0的解集(-1,1)，求a,b的值： (2)若f(1)=2, 1.4 ①a>0,b>0,求+的最小值： a b ②若f(x)>1在R上恒成立，求实数a的取值范围. 6.(24-25高一上·甘肃嘉峪关白银两期中)已知函数fx=log。1-x+log（x+2),其中a>1,记函数 f(x)的定义域为D (1)求函数fx的定义域D: (2)若函数fx的最大值为2，求a的值： (3)若对于D内的任意实数x,不等式x2-mx+m+1>0恒成立，求实数m的取值范围， 7.24-25高-上甘肃兰州第一中学期中)已知定义域为R的函数fX=2+0是奇函数 2*+1 (1)求a的值 (2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性 (3)若对任意的t∈R,不等式ft-2t+f2t-k<0恒成立，求实数k的取值范围. 8/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 考点8 函数的零点问题 1.(24-25高一上·甘肃嘉峪关第二中学·期中)设函数g(x)=2x+bx+c已知关于x的不等式g(x)<20的解 集为(-4,1) (1)求g(x)的解析式： (2)若关于x的方程g(x)-mx=0在区间(2,4)内有解，求实数m的取值范围. 2.(24-25高一上·甘肃天水第一中学期中)已知函数f(x)=b·a(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,8),B(3,32), (1)试求a,b的值： (2)若不等式a*+b*-2m≥1在x∈[-1,2]有解，求m的取值范围 3.(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)已知函数fx=mx2-2m+1x+3, m∈R. (1)若函数fx在0，+oo上单调递减，求m的取值范围. (2)讨论函数fx的零点个数. (3)解关于x的不等式fx≤mx. 4.(24-25高一上甘肃天水第一中学期中)已知函数fx=,x+6,X≤0 x2-2x+2,x>0 (1)求不等式fx>5的解集： 2)若方程fx)-?=0有三个不同实数根，求实数m的取值范围. 2 考点9 函数的新定义问题 1.(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四 川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝 绿色，水质清澈宛如明镜湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓， 其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则 9/11 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为() 3 图1 图2 A.y=x94-x2 B.y=x4-x口 C.y=-x☐2+2x D.y=V-x口2+2x 2.(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数 理论的先驱.对定义在非空集合I上的函数fx,以及函数gx=kx+mk,m∈R,切比雪夫将函数 y=fx-gx,x∈I的最大值称为函数fx与gx的“偏差”.若fx=x2x∈[0,4，gx=4x+m, 则函数fx与gx的“偏差”取得最小值时，m的值为一 3.(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)已知函数f(x)=2x2+x+n的图象过点 0,-1,且满足f-1=f2. (1)求函数fx的解析式： (2)求函数fx在a,a+2上的最大值ha: (3)若x满足pXo=xo,则称x为函数y=px的不动点.若函数gx=fx-tX+t有两个不相等的不动 点x,X,且X>0,X,>0,求+的最小值. X2 X1 4.(24-25高一上·甘肃白银靖远县第四中学等校)若存在有限个x,使得f-xo=fxo,且fx不是偶函 数，则称fx为“缺陷偶函数”，且x为fx的偶点. 0)求函数pX=x+1-1的偶点. 10/11 专题05 函数性质的综合应用 9大高频考点概览 考点01 利用函数的性质解不等式 考点02 函数的零点问题 考点03 零点和恒成立问题 考点04 函数的单调性及其证明 考点05 函数性质的综合应用 考点06 函数的实际应用 考点07 函数恒成立问题 考点08 函数的零点问题 考点09 函数的新定义问题 地 城 考点01 利用函数的性质解不等式 1．(24-25高一上·甘肃平凉庄浪县紫荆中学·)定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（  　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为定义在上的函数满足：＜0， 所以在上递减， 因为， 所以， 因为不等式， 所以， 所以， 所以， 即， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 2．(24-25高一上·甘肃武威凉州区·期中)定义在R上的偶函数，对任意的，都有，，则不等式的解集是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于对任意的，都有，所以函数在上为减函数，由于函数是上的偶函数，故函数在上递增，且，由此画出函数大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集是. 故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 3．(24-25高一上·甘肃嘉峪关第二中学·期中)已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，，则， 由，得， 即， 因为，，得， 即， 设，则函数在上单调递减， 又，则， 则不等式，即， 则， 所以， 又函数为定义在R上的偶函数， 所以当时，， 又， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：由，可构造函数，可得在上单调递减，可利用单调性解出不等式. 4．(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，在上单调递增，且， 由，得，或， 时，，或， 又，即，或， 故，解得， 时，，或， 又，即， 故，解得，或， 则不等式的解集为：， 故选：D. 5．(24-25高一上·甘肃嘉峪关第二中学·期中)（多选题）是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递增区间为 B． C．的最大值为4 D．的解集为 【答案】ABD 【详解】A.两个单调区间中间要用和分开，故A错误； B. 因为是定义在R上的偶函数，所以， 又在上单调递减，则，故B错误； C.当时，，最大值为4， 又因为是偶函数，所以的最大值为4，故C正确； D. 如图所示：的解集为，故D错误． 故选：ABD． 6．(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)（多选题）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．为增函数 C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，则，所以， 令，则，所以， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，令， 则， 因为，所以， 所以，， 所以， 又因为当时，， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 又是奇函数，且， 所以函数为增函数，故B正确； 对于C，由，得， 所以，解得，故C错误； 对于D，， 即，故D正确. 故选：ABD. 7．(24-25高一上·甘肃嘉峪关酒钢三中·期中)已知函数，且正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数函数的定义域为R， ， 若成立，则， 又，而在上单调递增， 则函数在上单调递增，由，得， 因此当且仅当时成立，由，得，即， 于是， 当且仅当时取等号，依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．(24-25高一上·甘肃兰州第一中学·期中)定义在上的奇函数若函数在上为增函数，且则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意得到与异号，故不等式可转化为或， 根据题意可作函数图象，如图所示：    由图象可得：当时，；当时，， 则不等式的解集是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，属于简单题. 地 城 考点02 函数的零点和恒成立 1．(24-25高一上·甘肃兰州第一中学·期中)的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递增， 且， 所以函数零点所在区间为. 故选：C 7．(24-25高一上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)（多选题）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【来源】甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 2．(24-25高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)设函数是定义在上的奇函数且，对任意的，都有 成立．若对任意的都有恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以当且时，有等价于， 所以在上单调递减． 所以． 因为对任意的都有恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 设，则，解得 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 3．(24-25高一上·甘肃兰州第一中学·期中)若关于的不等式在内恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由,得,在同一坐标系中作和的草图,如图所示 要使在内恒成立,只要在内的图象在的上方,于是. 因为时， 所以只要时, 所以，即.又，所以即实数的取值范围为. 答案为：. 地 城 考点03 函数的单调性及其应用 1．(24-25高一上·甘肃嘉峪关酒钢三中·期中)已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）由（1）知，，函数在上单调递增. 任意，则， 由，得，即，因此， 所以函数在上单调递增. 2．(24-25高一上·甘肃兰州兰州新区第一高级中学·期中)已知函数 （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【详解】（1）∵，∴； （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取且， ∴ ， ∵，∴，， ∵，∴， ∴，从而， ∴函数在上单调递增. 【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．(24-25高一上·甘肃嘉峪关第二中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)用定义证明在上为增函数. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 又当时， 所以当时，，， 所以当时，， 故. （2）证：设， 则 ， 因为，所以，，，则， 故，所以，即， 所以在上为增函数. 4．(24-25高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性． 【详解】（1）函数的定义域为. （2）∵函数的定义域为关于原点对称， ，同时， ∴函数既不是奇函数也不是偶函数． （3）任取，且， 则， 由于，，且，∴，， 所以，故在上单调递增. 5．(24-25高一上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知函数为奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)解关于的不等式. 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为， 所以，即恒成立，所以， 又，所以，所以. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则 ， ， 又，且， 所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由（2）知在上单调递增， 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 令，解得或， 因为，且， 所以， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 6．(24-25高一上·甘肃白银靖远县第四中学等校·)已知函数，， (1)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减. (2)当时，写出的单调区间. (3)若在上为单调函数，求的取值范围. 【详解】（1）当时，. 设是区间上任意两个实数，且， 则， 于是，由函数单调性的定义可知，函数在区间 上单调递减. （2）当时，， 则由一次函数和二次函数的图象和性质可知， 的单调递增区间为， 的单调递减区间为. （3）由，解得或. 由题意得在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上为单调函数，所以在上为增函数， 所以，即的取值范围是. 地 城 考点04 函数性质的综合 1．(24-25高一上·甘肃嘉峪关酒钢三中·期中)已知函数，，. (1)解不等式； (2)设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【详解】（1）由已知， 则， 解得， 所以， 且，即， 所以，即， 即，解得， 综上所述不等式的解集为； （2）由（1）得， 又 ， 设函数在的值域为， 又若对任意，存在，使得， 则， 设，，则， 又函数在上单调递增， 即， 此时函数即为，，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，即，即， 又，所以，解得； 当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为， 即，由， 可得，解得，不满足，所以不成立； 当，即时，在时取最小值为，在时取最大值为， 即，由， 可得，解得，不满足，所以不成立； 当，即时，在上单调递减， 即，由， 可得，不等式无解，所以不成立； 综上所述，即. 2．(24-25高一上·甘肃兰州兰州新区第一高级中学·期中)已知函数是定义在R上的增函数，满足 (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若，求x的取值范围. 【详解】（1）依题意，，，令，则， 所以. （2）函数是奇函数. 函数的定义域为R，，令，， 即，所以函数为奇函数. （3）由，得，又， 因此不等式，而函数是R上的增函数， 则有，解得， 所以x的取值范围是. 3．(24-25高一上·甘肃·期中)已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【详解】（1）令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 4．(24-25高一上·甘肃白银靖远县第四中学等校·)（1）若为奇函数，当时，，求； （2）用列举法表示集合：； （3）求不等式组的解集. 【详解】解：（1）因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以，所以. （2）若，则，且， 因为，则，解得， 所以，； （3）由，得，得或. 由，得，得. 故不等式组的解集为或. 5．(24-25高一上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知函数 (1)简述图象可由的图象经过怎样平移得到； (2)证明：的图象是中心对称图形，并计算的值． 【详解】（1）由于， 所以的图象可由的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移一个长度单位得到． （2）因为， 所以的图象关于中心对称； 则，，…，， 所以． 地 城 考点5 函数的最值问题 1．(24-25高一上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【详解】（1） 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，满足， 当时，，不满足，所以． （2） 由（1）得．由，得． 因为， 所以． 又a，b均为正数，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为8． 2．(24-25高一上·甘肃平凉庄浪县紫荆中学·)已知函数 （1）用定义证明在区间上是增函数. （2）求该函数在区间上的最大值与最小值. 【详解】（1）任取，，且，则. ∵，∴，， ∵，即， 故函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数， ∴，. 【点睛】本题考查函数的单调性，掌握单调性的定义是解题关键． 3．(24-25高一上·甘肃兰州第一中学·期中)已知函数 (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得， 所以定义域为； （2）由题，， 判断函数在上是增函数， 证明如下： ， ， 因为， 所以， 所以，所以， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知，函数在单调递增， 所以 地 城 考点6 函数的实际应用 1．(24-25高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【详解】（1）， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 2．(24-25高一上·甘肃·期中)某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【详解】（1）由题意，， 因为时，，所以 ， 所以，. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 3．(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【详解】（1）由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 4．(24-25高一上·甘肃天水秦安县第一中学·期中)某地区上年度电价为元/（），年用电量为．本年度该地政府实行惠民政策，要求电力部门让利给用户，将电价下调到元/（）至元/（）之间，而用户的期望电价为元/（）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为元/（）． （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元/（）的函数解析式；（收益实际用电量（实际电价成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，可保证电力部门的收益比上年至多减少？ 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，； （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至多减少． 地 城 考点7 函数的恒成立问题 1．(24-25高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)已知函数满足，当时，，且. （1）求的值，并判断的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）令，得，得， 令，得，得； 设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以 ， 因为，所以，所以， 因此 即在上为增函数； （2）因为，即，即， 又，所以， 又因为在上为增函数，所以在上恒成立； 得在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当时，取最小值，所以； 即时满足题意. 2．(24-25高一上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知函数 (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. （2）当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 3．(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若对于恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 又因为为奇函数，则，则. （2），，，函数在单调递增， 证明如下： 设任意的，且， ， 因为，且，，， 则，即，所以函数在单调递增. （3）由（2）可得函数在单调递增，又因为是奇函数， 则在单调递增，由对恒成立， 等价于对恒成立， 则，即对恒成立， 令， 任取，， 由，，，，即， 所以当时，单调递减，则当时，， 则，所以的取值范围为. 4．(24-25高一上·甘肃天水第一中学·期中)已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有． 若，求a的取值范围． 若不等式对任意和都恒成立，求t的取值范围． 【详解】解：设任意x1，x2满足﹣5≤x1＜x2≤5，由题意可得： f（x1）﹣f（x2）即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域[﹣5，5]，上是增函数， 由f（2a﹣1）＜f（3a﹣3），得，解得2＜a， 故a的取值范围为（2，]； （2）由以上知f（x）是定义在[﹣5，5]上的单调递增的奇函数，且f（﹣5）＝﹣2， 得在[﹣5，5]上f（x）max＝f（5）＝﹣f（﹣5）＝2． 在[﹣5，5]上不等式f（x）≤（a﹣2）t+5对a∈[﹣3，0]都恒成立， 所以2≤（a﹣2）t+5即at﹣2t+3≥0，对a∈[﹣3，0]都恒成立， 令g（a）＝at﹣2t+3，a∈[﹣3，0]，则只需，即． 解得t 故t的取值范围（﹣∞，]． 【点睛】本题主要考查函数单调性知识的应用，解题中主要利用了单调性的定义法，最值法． 5．(24-25高一上·甘肃兰州第一中学·期中)设函数 (1)若不等式的解集，求的值； (2)若， ①，求的最小值； ②若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 【详解】（1）若不等式的解集， 则， 所以. 解得. （2）若，即，. ①，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为9， ②在R上恒成立， 即在R上恒成立， 故， 解得： 故a的取值范围为 6．(24-25高一上·甘肃嘉峪关白银两·期中)已知函数，其中，记函数的定义域为. (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求的值； (3)若对于内的任意实数,不等式恒成立，求实数的取值范围. 试题解析： （1）要使函数有意义：则有，解得－2＜x＜1 ∴ 函数的定义域为. （2） 因为     所以   因为，所以， 即， 由，得， （3）由在恒成立， 得 因为，所以 所以在恒成立 设，令 则 即，因为， 所以（当且仅当时，取等号 所以 所以 . 点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的综合应用，不等式的恒成立问题的求解，及基本不等式求最值，着重考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，解答中牢记对数函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题的处理方法是解答的关键. 7．(24-25高一上·甘肃兰州第一中学·期中)已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值 （2）判断并证明该函数在定义域上的单调性 （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题设，需．经验证，为奇函数， （2）减函数. 证明：任取，， ， ， 所以在上是减函数. （3）由得， 是奇函数，， 由（2）知在是减函数， 故原问题可化为即：对任意恒成立， ， 解得. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题. 地 城 考点8 函数的零点问题 1．(24-25高一上·甘肃嘉峪关第二中学·期中)设函数已知关于x的不等式的解集为 （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在区间内有解，求实数m的取值范围. 【详解】（1）因为的解集是， 所以和1是方程的两个根. 由韦达定理可得， ∴. （2）因为关于x的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 令，函数在上递减，在上递增， 又， 所以. 2．(24-25高一上·甘肃天水第一中学·期中)已知函数的图象经过点， （1）试求的值； （2）若不等式在有解，求的取值范围. 【详解】（1）则，. （2）在有解等价于在 设由得则， 令则， 又在上为增函数， 所以所以. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，换元的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)已知函数，. (1)若函数在上单调递减，求的取值范围. (2)讨论函数的零点个数. (3)解关于的不等式. 【详解】（1）①当时，函数在上单调递减，符合题意； ②当时，对称轴为，很明显，在上单调递增，不合题意，舍； ③当时，在上单调递减，所以，解得，所以. 综上，的取值范围. （2）当时，函数有一个零点； 当时，， ①当即时，解得， 所以当时，函数无零点； ②当即时，解得或， 所以当或时，函数有一个零点； ③当即时，解得或， 所以当时，函数有两个零点； 综上，当时，函数无零点； 当或或时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点. （3）当时，解得； 当时，， ①当时，此时，所以x的取值范围是； ②当时，此时，所以x的取值范围是； ③当时，此时，所以x的取值范围是. 当时，，x的取值范围是； 综上，当时，x的取值范围是；当时，x的取值范围是； 当时，x的取值范围是；当时，x的取值范围是； 当时，x的取值范围是. 【点睛】关键点睛：在求解二次函数不等式时，要注意二次项系数与的大小关系，应分情况讨论. 4．(24-25高一上·甘肃天水第一中学·期中)已知函数 . (1)求不等式的解集； (2)若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，由得，， 当时，由得或，， 综上所述，不等式的解集为； （2）方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象： 由图可知：，得：或 所以，实数的取值范围. 地 城 考点9 函数的新定义问题 1．(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号）， 在上的最大值为，与图象不符，A错误； 对于B，当时，，与图象不符，B错误； 对于C，，当时，； 又过点； 由得：，解得：，即函数定义域为； 又， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：与图象相符，C正确； 对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误. 故选：C. 2．(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为 ． 【详解】令， 令， 因为，所以，， 由，则， 令，即，解得， 则， 故当且仅当时，有. 故函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为. 故答案为： 3．(24-25高一上·甘肃兰州大学附属中学（兰州三十三中）·期中)已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值； (3)若满足，则称为函数的不动点． 若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值． 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以， 又因为，所以，解得， 所以函数的解析式为 （2）由，， 当时，即， 函数在单调递减，所以； 当时，函数在单调递增，所以； 当时，即，函数在单调递减，在单调递增， 根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离大， 所以； 当时，即，函数在单调递减，在单调递增， 根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离小， 所以； 当时，即，函数在单调递减，在单调递增， 根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离和端点与对称轴的距离相等， 所以； 综上所述： （3）因为函数有两个不相等的不动点，，且，， 所以，即方程有两个不相等的正实根，， 所以，解得，所以， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以. 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规；第二问的关键在于要分类讨论；第三问的关键是把问题转换为方程有两个不相等的正实根，，列出等价条件求出的范围，进而结合韦达定理与基本不等式即可. 4．(24-25高一上·甘肃白银靖远县第四中学等校·)若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，且为的偶点. (1)求函数的偶点. (2)若均为定义在上的“缺陷偶函数”，试举例说明可能是“缺陷偶函数”，也可能不是“缺陷偶函数”. (3)对任意，函数都满足. ①比较与的大小； ②若是“缺陷偶函数”，求的取值范围. 【详解】（1）由，得， 则，解得， 所以函数的偶点为. （2）取，易证这两个函数均为定义在上的“缺陷偶函数”， 则，为“缺陷偶函数”，且偶点为0， 所以可能为“缺陷偶函数”. 取，易证这两个函数均为定义在上的“缺陷偶函数”， 则，因为，所以为偶函数， 所以可能不是“缺陷偶函数”. （3）由题意得对任意恒成立， 所以存在常数，使得. 令，得， 解得. ①. ②，设的偶点为，则由，得， 即， 则，即，则的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 5．(24-25高一上·甘肃嘉峪关第二中学·期中)若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. (1)函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由； (2)已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 【详解】（1）①因为，所以，所以，， 得，故是在上的“美好函数”； ②因为，所以，所以，， 得，故不是在上的“美好函数”； ③因为，所以，所以，， 得，故不是在上的“美好函数” （2）①由题得， 当，可知 所以，当时，，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 当时，，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 故 ②由题可知此时，函数，可知此时，函数的对称轴为且开口向上； 当时，此时函数在上单调递减，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有，解得； 当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，所以当时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 令，解得或 所以此时（舍去），（舍去） 当时，此时函数在上单调递增，此时，， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有，解得； 综上所述：或 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $