学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷03（范围：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆，全国卷地区适用）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 3．“实数”是“方程表示椭圆”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 4．已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 5．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使圆关于直线对称 B．直线过定点 C．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D．当时，直线被圆所截弦长为2 10．已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 11．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（    ） A．正四棱台的体积为 B．正四棱台的外接球的表面积为104π C．AE∥平面 D．到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 . 13．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ． 14．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 16．（15分） 已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 17．（15分） 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 18．（17分） 如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 19．（17分） 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 3．“实数”是“方程表示椭圆”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 4．已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 5．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使圆关于直线对称 B．直线过定点 C．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D．当时，直线被圆所截弦长为2 10．已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 11．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（    ） A．正四棱台的体积为 B．正四棱台的外接球的表面积为104π C．AE∥平面 D．到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 . 13．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ． 14．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 16．（15分） 已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 17．（15分） 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 18．（17分） 如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 19．（17分） 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷03 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点和点的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【详解】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 2．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 3．“实数”是“方程表示椭圆”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】利用方程表示椭圆，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程表示椭圆，则且， 所以“实数”是“方程表示椭圆”的必要非充分条件. 故选：B 4．已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可求得，进而利用线面垂直可求得，的值. 【详解】因为，，， 所以，解得，所以. 因为，且平面， 所以， 解得，， 所以. 故选：D. 5．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 6．已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点G为的重心可得，再由向量的减法和模长结合数量积的运算可得. 【详解】∵点G为的重心，∴， ∴.. ∴，∴，∴. 故选：B 7．已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直求出，作点关于直线的对称点为，求出点坐标，由几何关系易知，当且仅当三点共线时等号成立，由此可知的最大值. 【详解】直线,直线， 因为与垂直，所以，解得， ， 设点关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，且， 所以，解得， 当且仅当三点共线时等号成立 的最大值为, 故选：D. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据椭圆的定义可得，，结合勾股定理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可. 【详解】因为，设，如图所示， 由椭圆的定义可知，，则， 同理，则， 因为，则， 则，化简可得， 则，则（舍去）或， 所以，所以为椭圆的上（或下）顶点， 又， 所以在中，，解得，即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使圆关于直线对称 B．直线过定点 C．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D．当时，直线被圆所截弦长为2 【答案】BCD 【分析】根据直线是否过圆心判断A的真假；把点代入方程判断B的真假；根据B的结论可判断C的真假；利用几何法求弦长可判断D的真假. 【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误； 对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确； 对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确； 对D：当时，直线：即. 圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故D正确. 故选：BCD 10．已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得； 根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径. 【详解】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 11．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（    ）    A．正四棱台的体积为 B．正四棱台的外接球的表面积为104π C．AE∥平面 D．到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】利用正四棱台的体积计算可判断A；连接相交于，连接相交于，分外接球的球心在正四棱台的内部、内部， 根据、，求出可判断B；取的中点，利用面面平行的判断定理可判断平面平面，从而可判断C；以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可判断D. 【详解】正四棱台的体积为， ，故A错误；    连接相交于，连接相交于， 如果外接球的球心在正四棱台的内部， 则在上，， 因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，， 设外接球的半径为，所以，即 ，无解，所以外接球的球心在正四棱台的外部，如下图，    则在延长线上，， 因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，， 设外接球的半径为，所以，即 ，解得， 所以正四棱台的外接球的表面积为，故B正确；    取的中点，连接，，连接， 所以，所以是的中点，因为，所以， 又，所以，又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 因为，所以， 平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 故C正确；    以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令可得， 到平面的距离为，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】/ 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故答案为：． 13．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，再根据对称性求出直线的倾斜角，从而得到其斜率，再由点斜式即可求得直线的方程． 【详解】由点关于轴对称点为，则直线与轴的夹角相等， 又，则直线的倾斜角为， 则直线的倾斜角为，即直线的斜率为， 又椭圆的右焦点为， 所以直线的方程是，即， 故答案为：． 14．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可. 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示．    连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)3； (3). 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得 （2）由（1）得，而量，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以 16．（15分） 已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【详解】（1）由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 17．（15分） 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． （2）圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 18．（17分） 如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）翻折后由，，确定，得到平面，再结合勾股定理得到，即可求证； （2）（i）过点作，垂足为，确定平面，即可求解； （ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面. （2）当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 19．（17分） 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②1 【分析】（1）将，两点代入椭圆方程解出的值即可； （2）①解法一：设直线，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，解出的关系即可求解；解法二：设，，利用在椭圆上可得， ，作差结合化简即可求解；②由可得点在以为直径的圆上，利用圆的性质求解即可； 【详解】（1）由题意可得， 所以椭圆的标准方程为：． （2）解法一：①由条件，可知直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程组：， 其中（▲）， 所以，， 由条件，即， 由于直线不过点，故， 化简可得， 所以 ， 代入（▲）式，，此时直线恒过定点． ②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，    所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件． 故的最小值为． 解法二：①设，，由条件，即（★）， 由点在椭圆上，则有， 即①，同理可得② ， ①②可得： 代入（★）式可得：， 即， 变形可得．所以直线恒过定点． ②解法同一. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷03 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B D C B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由，得（3分） （2）由（1）得，（4分） 而量，因此，（6分） 所以.（8分） （3）由（1）知，，（9分） 由，得 ，（12分） 所以（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由、可知中点为，且，（2分） 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即，（4分） 所以边的垂直平分线的方程为，（6分） 即；（7分） （2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意；（8分） 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，（10分） 由过点，则，解得，（13分） 所以直线方程为，（14分） 综上所述，直线的方程为或.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，（2分） 点为圆上的动点， ，（3分） 化简得，（4分） 故的轨迹方程为．（5分） （2）圆的圆心坐标为，半径，（6分） 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，（7分） 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；（8分） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，（9分） 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离，（10分） 由圆心到直线的距离公式得，（11分） 所以，即，（12分） 平方得，（13分） 整理得，解得，（14分） 故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为翻折前，所以翻折后，，（1分） 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即，（2分） 又，且，平面， 平面，（3分） 平面，，（4分） 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，，（5分） ，且，平面， 平面.（6分） （2）当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面，（8分） 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面，（9分） 即为点到平面的距离， 在中，，，故.（10分） （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即，（11分） 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即，（12分） 设平面的法向量， ，， ，即，（13分） 令，得，，即，（14分） 的余弦值为， ，（15分） 解得，（16分） 即.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题意可得，（3分） 所以椭圆的标准方程为：．（4分） （2）①由条件，可知直线的斜率存在，（5分） 设直线，，， 联立方程组：，（6分） 其中（▲）， 所以，，（7分） 由条件，即，（8分） 由于直线不过点，故，（9分） 化简可得， 所以 ，（11分） 代入（▲）式，，此时直线恒过定点． （12分） ②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，（13分）    所以，（14分） 此时的坐标为，（15分） 的斜率，满足条件．（16分） 故的最小值为．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷03 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $