第2章 等式与不等式单元题型大总结（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

第二章 等式与不等式 单元题型大总结 教学目标 （1）掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． （2）进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． （3）掌握一元二次不等式及其根与系数的关系、 （4）掌握和理解基本不等式 教学重难点 教学重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用，掌握不等式性质及其应用，一元二次不等式解法，基本不等式 教学难点：从不等关系中抽象出不等式与不等式性质的应用，一元二次不等式含参数解法，基本不等式的灵活应用 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程有两个根分别是，则： ，，则 所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系 如果的两个根分别为，则： 这一关系式也被称为 【即学即练】已知方程有两个实根，，且，则实数 . 知识点02 不等式性质 性质1(可加性)　如果，那么 性质2(可乘性)　如果， ，那么 . 性质3(可乘性)　如果， ，那么 . 性质4(传递性)　如果，，那么. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果且，那么；如果且，那么. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若且，则，其中时必有且. 推论1(移项法则)　如果，那么 . 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果，，那么 我们把和(或和)这类不等号 的不等式，称为 ． 推论3(同向同正可乘性)　如果，，那么 推论4(可乘方性)　如果，那么 (n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果，那么 . 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个 ，所得到的不等式与原不等式 ．推论2是 法则的依据． (2) 但 ，即由，，可以得到，但不能得到.需要特别注意的是，由，，不能得到，但可以得到.这是因为若，则，又，所以 知识点03 简单的绝对值不等式 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段的长为，线段的中点对应的数． 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 【即学即练】解不等式： (1)； (2). 知识点04 一元二次不等式的解 1定义：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个 ，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的 . 2、一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【即学即练】不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 知识点05 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点06 分式不等式 1、定义： 与分式方程类似， 中含有 的不等式称为 ，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【即学即练】不等式的解集为 ． 知识点07 均值不等式 均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 均值不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 【即学即练】已知且满足，则的最小值为 ． 题型01一元二次根与系数的关系的应用 【典例1】已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ． 【变式1】关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是 ． 【变式2】若、是方程的两个根，试求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式3】若，是方程的两个根，试求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】已知关于x的方程有两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求实数m的值． 题型02 作差法比较大小 【典例1】（1）比较和的大小； 【变式1】设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【变式2】已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，设，则M，N的大小关系是 ． 【变式4】（1）已知，比较与的大小； 题型03 根据不等式求取值范围 【典例1】已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【变式1】已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如果，，则的取值范围是 . 题型04一元二次不等式（不含参） 【典例1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4】不等式的解集为 . 题型05 一元二次不等式（含参） 【典例1】（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【变式1】解关于的不等式． 【变式2】已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【变式3】（1）若关于的不等式的解集为，求m的值； （2）解关于的不等式. 【变式4】设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 题型06 分式不等式 【典例1】不等式的解集为 . 【变式1】已知关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式2】不等式的解集是 . 【变式3】不等式的解集为 ． 【变式4】已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 题型07 含有一个绝对值的不等式 【典例1】若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知全集，集合，则（    ）． A．（1，3） B．[1，3] C． D． 【变式2】不等式的解集为 . 【变式3】不等式的解集为 ． 【变式4】解关于的不等式：． 题型08 含有两个绝对值的不等式 【典例1】解不等式：． 【变式1】关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【变式2】不等式的解集为 . 【变式3】解不等式． 【变式4】解不等式： (1)； (2)； 题型09 基本不等式中“1”的妙用 【典例1】已知，且，则的最小值为 【变式1】已知正实数满足，则的最小值为 ． 【变式2】已知，，且，则的最小值是 . 【变式3】已知正数满足，则的最小值为 ． 【变式4】已知，，且，则的最小值为 ． 题型10 基本不等式（凑配法） 【典例1】已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式1】函数的最小值为 . 【变式2】若，且，则的最小值为 ． 【变式3】已知，则的最小值为 ，此时 【变式4】若函数在区间上的最小值为6，则实数的值为 ． 题型11 基本不等式（消元法） 【典例1】已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【变式1】已知正实数满足则的最小值为 . 【变式2】已知，且，则的最小值为 ． 【变式3】已知，，则的最小值为 ． 【变式4】已知，，，求的最小值． 题型12 基本不等式（换元法） 【典例1】若正实数，满足，则的最小值是 . 【变式1】已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【变式3】设，则的最大值为 . 题型13 基本不等式（商式） 【典例1】的最大值为 . 【变式1】已知，则函数的最小值是 ． 【变式2】解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 【变式3】求函数的最小值. 【变式4】求的最值． 题型14 绝对值三角不等式 【典例1】不等式对一切实数恒成立，实数的取值范围 ． 【变式1】若对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为 ． 【变式2】已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是 . 【变式3】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式4】求证：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围． 1．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 2．若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 3．不等式的解集是 ． 4．不等式的解集是 ． 5．已知x，y均为正数，，则的最小值 . 6．若，，则的最小值为 ． 7．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 8．若正数满足，则的最小值是 . 9．已知，，若，则的最小值为 . 10．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 11．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 12．若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 13．（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 14．已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当，，且满足，求的最小值. 15．已知对一切恒成立，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 等式与不等式 单元题型大总结 教学目标 （1）掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． （2）进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． （3）掌握一元二次不等式及其根与系数的关系、 （4）掌握和理解基本不等式 教学重难点 教学重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用，掌握不等式性质及其应用，一元二次不等式解法，基本不等式 教学难点：从不等关系中抽象出不等式与不等式性质的应用，一元二次不等式含参数解法，基本不等式的灵活应用 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程有两个根分别是，则： ，，则 所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系 如果的两个根分别为，则： ，这一关系式也被称为韦达定理. 【即学即练】已知方程有两个实根，，且，则实数 . 【答案】1 【分析】由韦达定理可得，结合的关系建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】由韦达定理，得， 有，得， 又，所以，即， 所以，解得. 故答案为：1 知识点02 不等式性质 性质1(可加性)　如果，那么 性质2(可乘性)　如果，，那么. 性质3(可乘性)　如果，，那么. 性质4(传递性)　如果，，那么. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果且，那么；如果且，那么. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若且，则，其中时必有且. 推论1(移项法则)　如果，那么. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果，，那么 我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． 推论3(同向同正可乘性)　如果，，那么 推论4(可乘方性)　如果，那么(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果，那么. 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由，，可以得到，但不能得到.需要特别注意的是，由，，不能得到，但可以得到.这是因为若，则，又，所以 知识点03 简单的绝对值不等式 1、绝对值不等式 （1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式； （2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数，在数轴上对应的点分别为，，即，，则线段的长为，线段的中点对应的数． 2、含绝对值不等式的解法 （1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值； 关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 （2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值； （3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值. 3、常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 【即学即练】解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：分和两种情况去绝对值符号求解即可；法二，利用绝对值的几何意义即可求解； （2）法一：分和两种情况，结合绝对值的几何意义求解即可.法二：分和两种情况求解即可. 【详解】（1）解法一：当，即时，原不等式可化为，解得； 当，即时，原不等式可化为，解得； 综上所述，原不等式的解为. 解法二：原不等式可化为，解得. （2）解法一：当，即时，原不等式显然无解； 当，即时，原不等式等价于，解得. 故原不等式的解为 解法二： 或 解得或 故原不等式的解为. 知识点04 一元二次不等式的解 1定义：使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 2、一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【即学即练】不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为． 故选：A. 知识点05 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点06 分式不等式 1、定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2、分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【即学即练】不等式的解集为 ． 【答案】或. 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 知识点07 均值不等式 均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 均值不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 【即学即练】已知且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：． 题型01一元二次根与系数的关系的应用 【典例1】已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】为方程的两个实数根， ,，故 则， ，解得． 符合题意． 故答案为：1 【变式1】关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理和已知等式可构造方程求得可能的取值，代回方程验证方程是否有两个实根即可确定结果. 【详解】由题意知：，，， 即，解得：或； 当时，一元二次方程为，，方程有两个不等实根，满足题意； 当时，一元二次方程为，，方程无解，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 【变式2】若、是方程的两个根，试求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4050； (2)； (3) 【分析】利用韦达定理表示题中的式子，再代入数值求解. 【详解】（1），． ． （2） （3） 【变式3】若，是方程的两个根，试求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3)28 (4) 【分析】利用根与系数关系求出，，再对各式变形，将与的值代入计算就可以得到答案. 【详解】（1）根据根与系数的关系得，，， . （2）根据根与系数的关系得，，， . （3）根据根与系数的关系得，，， . （4）根据根与系数的关系得，，， . 【变式4】已知关于x的方程有两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，得到方程，结合，利用韦达定理，即可求解； （2）由，得到，根据题意，结合韦达定理，列出方程，即可求得的值. 【详解】（1）解：当时，方程，可得， 所以，则； （2）解：因为方程， 由，解得， 且，， 又由， 可得，解得或（舍去）， 所以实数m的值为． 题型02 作差法比较大小 【典例1】（1）比较和的大小； 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）因为， 所以. 【变式1】设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【答案】A 【分析】作差并与0比较大小得解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 【变式2】已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 【变式3】若，设，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用作差法求解. 【详解】， 因为， 所以， 所以，即， 故答案为： 【变式4】（1）已知，比较与的大小； 【答案】（1）；（2）证明见详解 【详解】（1）， . 题型03 根据不等式求取值范围 【典例1】已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 【变式1】已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的同向可加性得到结果. 【详解】因为，得，，所以． 故选：B． 【变式2】若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A 【变式3】如果，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围. 【详解】, , 又, , 两式相加得, 故答案为:. 题型04一元二次不等式（不含参） 【典例1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解即可求解. 【详解】可化为，即， 所以或． 故选：C 【变式1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【详解】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 【变式2】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集. 【详解】令，所以或. 解得，. 所以不等式的解集是. 故选：A. 【变式3】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意解一元二次不等式即可. 【详解】由，可得，即 解得或，所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式4】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由可得，即，解得， 故解集为， 故答案为： 题型05 一元二次不等式（含参） 【典例1】（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见详解. 【分析】（1）分和讨论即可； （2）分，，，和讨论可得. 【详解】（1）当时，原不等式为，不满足题意； 当时，要使原不等式恒成立，只需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. （2） 当时，原不等式为，解得； 当时，的两根为， 又，开口向上，原不等式的解集为； 当时，开口向下， 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 【变式1】解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论，分五种情况讨论分别写出解集. 【详解】时，不等式可化为，它的解集为； 时，不等式可化为， 当时，原不等式化为， 它对应的方程的两个实数根为和，且， 不等式的解集为或； 当时，不等式化为，不等式对应方程的两个实数根为和， 在时，，不等式的解集为； 在时，，不等式的解集为； 在时，，不等式的解集为 综上，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为 【变式2】已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见详解 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【变式3】（1）若关于的不等式的解集为，求m的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）由题意为方程的两根，利用韦达定理列式求解即可； （2）分类讨论，解含参的一元二次不等式即得. 【详解】（1）因为不等式即的解集为， 所以为方程的两根，所以且，解得； （2）当时，不等式化为，解得； 当时，不等式即，解得或； 当时，不等式化为， 若，即，则解不等式得， 若，即，则不等式无解， 若，即，则解不等式得， 所以当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式4】设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【详解】（1）由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. （2）当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 题型06 分式不等式 【典例1】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1】已知关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】将分式不等式化为一元二次不等式的形式，根据解集列出关于的方程以及不等式，由此可求结果. 【详解】因为， 由不等式解集可知，，解得， 故选：B. 【变式2】不等式的解集是 . 【答案】 【分析】将分式不等式化为整式不等式，根据二次不等式解法即可求解. 【详解】不等式可转化为，即，等价于， 解得. 故答案为：. 【变式3】不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据分式不等式的解法计算即可. 【详解】由，得，即， 得且，解得或， 所以原不等式的解集为或． 故答案为：或 【变式4】已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】代入于不等式，然后求解出关于的分式不等式的解集即可. 【详解】因为不等式的解集为且， 所以， 解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 题型07 含有一个绝对值的不等式 【典例1】若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】设不等式的解集为，， 因为不等式成立的充分条件是，，所以， 所以，所以. 由，所以. 由可得. 故选：D 【变式1】已知全集，集合，则（    ）． A．（1，3） B．[1，3] C． D． 【答案】C 【分析】由,解得，可得． 【详解】由知，，解得， 即,则． 故选：C． 【变式2】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分和，进行分类讨论求不等式解集. 【详解】当，即时，则原不等式转化为， 即，解得，故， 当，即时，则原不等式转化为， 即，解得，故， 综上知不等式的解集为， 故答案为：. 【变式3】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用因式分解可求不等式的解集. 【详解】因为，故且， 故，解得，故原不等式的解集为， 故答案为：. 【变式4】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据绝对值的性质（或定义）求解． 【详解】解：当时，不等式的解集为． 当时，原不等式等价于， 所以或， 综上所述，当时，原不等式的解集为． 当时，原不等式的解集为． 题型08 含有两个绝对值的不等式 【典例1】解不等式：． 【答案】． 【分析】根据绝对值的定义分类讨论求解． 【详解】考虑临界点和1把数轴分为三个区间：，，． ①当时，原不等式变形为， 化简得，解得； ②当时，原不等式变形为，无解； ③当时，原不等式变形为，解得． 综上，原不等式的解集为． 【变式1】关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义可得，根据不等式的解集为R可知不等式在R上恒成立，则，解之即可求解. 【详解】令，得， 由绝对值的几何意义知， 表示数轴上的数2对应的点到原点的距离与数a对应的点到原点的距离之和， 则， 即的最小值为，又不等式的解集为R， 所以不等式在R上恒成立， 有， 当时，显然成立， 当时，有，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式2】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分类讨论去掉绝对值符号即可得解. 【详解】当时，原不等式可化为，解得，又，； 当时，原不等式可化为，不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得，又，； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式3】解不等式． 【答案】 【分析】法一，原不等式可化为，通过两边平方法得出结果； 法二：分成，，三种情况打开绝对值求得结果. 【详解】法一：原不等式可化为， 两边平方得，解得， 所以原不等式的解集为． 法二：原不等式等价于或或 解得 无解或或，即. 所以原不等式的解集为． 【变式4】解不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）直接将原式平方转变为一元二次不等式，再根据平方差公式分解为两式相之积，即可求解； （2）讨论的不同取值范围，确定两个绝对值内部的符号从而去掉绝对值求解. 【详解】（1）因为，所以，即，所以或. （2）不等式等价于 或或 即或或，即.      故原不等式的解为：. 题型09 基本不等式中“1”的妙用 【典例1】已知，且，则的最小值为 【答案】 【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，则， 则. 当且仅当，且，， 即，时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 【变式1】已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】由题意得，结合基本不等式即可得解. 【详解】已知正实数满足，则 ，等号成立当且仅当， 所以的最小值为18. 故答案为：18. 【变式2】已知，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用“1”的代换化简式子中的3和1，进而利用基本不等式即可. 【详解】由题意可得，， 等号成立时，即. 故的最小值是. 故答案为： 【变式3】已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】由题意得，再用基本不等式解题即可. 【详解】由得， 所以 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为． 故答案为： 【变式4】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将变形为，再利用“1”的代换，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为    ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型10 基本不等式（凑配法） 【典例1】已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求不等式左侧的最小值，根据不等式恒成立只需右侧小于左侧的最小值，应用基本不等式求左侧最小值，再解一元二次不等式求范围. 【详解】由，， 当且仅当时取等号，故原不等式最小值为8， 由于题设不等式恒成立，则，即， 所以. 故答案为： 【变式1】函数的最小值为 . 【答案】5 【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】. ，， （当且仅当，即时取等号）， . 故答案为：. 【变式2】若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 【变式3】已知，则的最小值为 ，此时 【答案】 6 4 【分析】通过变形构造出能使用基本不等式的形式，利用基本不等式来求最小值以及取得最小值时对应的变量值. 【详解】已知，因为，那么. 将变形为. 根据基本不等式，则有. 先计算的值，，所以. 那么，即的最小值为. 当且仅当时，等号成立，此时取得最小值. 解方程，可得. 因为，所以，解得. 故答案为：；4. 【变式4】若函数在区间上的最小值为6，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】对函数变形后利用基本不等式求解其最小值，然后利用最值列式求解即可. 【详解】由题意得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即． 故答案为： 题型11 基本不等式（消元法） 【典例1】已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示得，再代入问题代数式化简，最后根据基本不等式即可求出最值； （2）计算得，再令，再利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解出即可. 【详解】（1）由，得. 因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. （2）由，得，即. 令，则（当且仅当，即时取等号）. 由，得，故. 整理得，解得或. 又由，得（当且仅当，时取等号）， 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元法并结合基本不等式得到，解出即可. 【变式1】已知正实数满足则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据，利用一元二次方程的解法结合, 得到，进而得到，利用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足， 所以， 解得， 因为， 所以， 所以 当且仅当，取等号， 所以的最小值为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得x，将问题转化为解决. 【变式2】已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【变式3】已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 【变式4】已知，，，求的最小值． 【答案】4 【分析】方法一：用消元法，将用表示后进行化简，然后用配凑法，结合基本不等式求最小值；方法二：解不等式法，对等式直接用基本不等式，然后得出关于的一元二次不等式进行求解即可. 【详解】方法一：消元法 由，可知， 因为，，所以． 所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为4. 方法二：解不等式法 因为，，， 所以, 即, 解得或（舍）, 当且仅当且,即时等号成立, 所以的最小值为4. 题型12 基本不等式（换元法） 【典例1】若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键. 【变式1】已知，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用立方和公式及换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 设，则，解得， 因为，，， 所以，解得或， 又因为， 所以，整理得，解得， 当且仅当时，等号成立. 因此，即， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用立方和公式和换元法，根据建立关于的不等式即可. 【变式2】已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 【变式3】设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值. 题型13 基本不等式（商式） 【典例1】的最大值为 . 【答案】 【分析】令，，则可将原式化为，再利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式. 【变式1】已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 【变式2】解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 【答案】(1)3； (2)9； (3)10. 【分析】（1）由基本不等式可得答案； （2）注意到，后由基本不等式可得答案； （3）令，则，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1） ∵， ∴（当且仅当，即时取等号） ∴的最小值为3； （2）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，， 所以的最小值为9. （3）令，则， ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. 【变式3】求函数的最小值. 【答案】最小值为2. 【解析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数的定义域为，. ， 当且仅当，即时取到“”. 所以当时，函数的最小值为2. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 【变式4】求的最值． 【答案】当时，的最小值为7，无最大值；当时，的最大值为3，无最小值. 【分析】将变形为，然后分和两种情况利用基本不等式求出的最值即可求得结果. 【详解】. ①当时，. ， 当且仅当时取等号. ②当时，，则. ， 当且仅当时取等号. 所以当时，的最小值为7，无最大值； 当时，的最大值为3，无最小值. 【点睛】本题考查基本不等式的应用和分类讨论的思想，运用基本不等式求最值时要注意验证是否满足“一正二定三相等”的条件，属中档题. 题型14 绝对值三角不等式 【典例1】不等式对一切实数恒成立，实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求出的最小值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为，当且仅当取等号， 所以的最小值为1， 因为对一切实数恒成立， 所以， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】若对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，即时等号成立． 故答案为： 【变式2】已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】或 【分析】不等式对一切实数x恒成立，即，由绝对值的三角不等式，求得最小值，得到，即可求解. 【详解】不等式对一切实数x恒成立， 即， 因为（当时，等号成立） 所以，则或 故答案为：或 【变式3】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为： 【变式4】求证：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围． 【答案】证明见解析， 【分析】利用绝对值三角不等式进行放缩，结合不等式恒成立问题求解． 【详解】证明：因为，由三角不等式，得， 所以，当且仅当时成立， ∴时等号成立． 1．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解此不等式即可得的取值范围． 【详解】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. 2．若正数a，b满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】因为正数a，b满足：，即， 所以， 当，且，得时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 3．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用零点分段法求解含绝对值符号的不等式. 【详解】不等式化为： 或或， 解得或或，即， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 4．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】变形，等价于，求出解集. 【详解】， 等价于，解得， 解集为. 故答案为； 5．已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 6．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，可得，利用均值不等式可求最小值. 【详解】因为， 令，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 7．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 8．若正数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意正数满足，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是， 故答案为： 9．已知，，若，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】由条件整理得，根据基本不等式得，从而有，解一元二次不等式即可得出的最小值. 【详解】因，，则， ， 两边同乘得， 整理得， 又，，从而， 则， 当且仅当且，即时等号成立， 则有， 即，即， 又，解得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 10．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意的最小值是，进一步列出关于的不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，等号成立当且仅当，即中一个大于或等于0，另外一个小于或等于0， 所以的最小值是， 所以，解得或. 故答案为：. 11．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 12．若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由有，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：. 13．（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）方法一：利用基本不等式求解，方法二：利用二次函数求解； （2）根据已知条件构造基本不等式求解即可. 【详解】（1）方法一：因为，所以， 所有， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为； 法二： 函数图象开口向下，对称轴为，由， 所以当时，的最大值为 （2）∵， ， ∴， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 14．已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当，，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）分析可知1和是方程的两个实数根且，方法一：利用韦达定理运算求解；方法二：由1是的根可得，代入求解即可； （2）根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知1和是方程的两个实数根且， 方法一：可得，解得； 方法二：由1是的根，则，解得， 将代入得，解得或， 所以. （2）由（1）知，可得， 且，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为8. 15．已知对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】左边运用三角不等式求出最小值,后解不等式即可. 【详解】解：因为，当且仅当，即时，等号成立． 所以对一切实数恒成立，即，解得， 所以实数的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$