2.5直线与圆的位置关系(3) 导学案 2025-2026学年苏科版（2012）九年级数学上册

该初中数学导学案围绕三角形的内切圆展开，引导学生理解内切圆及内心概念，通过动手作图活动探究与三角形各边相切的圆的条件，连接直线与圆相切的已有知识，为内切圆作法和性质学习搭建支架。 资料设计层次分明，例题涵盖角度、边长及面积计算，练习包含基础题、综合题与作图题，通过对比内心与外心、应用切线长定理培养学生的几何直观和推理能力，助力发展数学眼光与数学思维，提升解决几何问题的能力。

2.5直线与圆的位置关系(3) 【学习目标】 理解三角形的内切圆及相关概念，会作已知三角形的内切圆. 【学习过程】 活动 用直尺和圆规作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切.这样的圆需要满足什么条 件? 数学认识： 例1如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D、E、F.若∠B=60°,∠C=70° 求∠EDF 的度数. 例2如图，△ABC的内切圆⊙O与BC 、CA、AB分别相切于点D 、E 、F. ( (1)若 AB =9, BC =14, CA =13,求 AF 、 BD 、 CE 的长. (2)若△ABC 的周长为12,面积为6,求⊙O 的半径长 ) 课 时 练 习 1.如图，⊙O为△ABC 的内切圆，点D,E 分别为边AB,AC上的点，且DE为⊙O的切线， 若△ABC 的周长为21,BC 边的长为6,则△ADE 的周长为 2.如图，在△ABC 中，∠A=50° . ( 1 ) 若 点 O 是 △ ABC 的外心，则∠ BOC= ( 2 ) 若 点 O是 △ABC 的内心，则∠BOC= 3. 如 图 ，OA 、OB 是两条射线，点C 、D 分别在OA 、OB 上 . 求 作OP, 使它与OA 、OB、 CD 都相切 . *4.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°,⊙O分别与AB、AC、CB 相切于D、E、F.AD=3, BD=4, 求△ABC的面积. 课后作业 1. ( 1 ) 点I 是△ABC的内心，且∠ABC=50°,∠ACB=70°, 则∠BIC= °. (2)如图，在△ABC 中，∠A=68°. 若点O是△ABC的外心，则∠BOC= °; 若点O 是△ABC 的内心，则∠BOC= 2.选择题： (1)下列说法中，正确的是( ). A. 三角形有且只有一个内切圆 B. 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线 C. 过圆的半径外端的直线一定是这个圆的切线 D. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 (2)三角形的内心是( ). A. 三条边上中线的交点 B. 三条边上高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三个内角平分线的交点 3.已知：如图，⊙O与△ABC 的三边分别切于点D、E、F, 且∠C=60°,∠EOF=100°. 求∠B的 度数. 4. (1)如图，已知等边三角形ABC, 请画出它的外接圆和内切圆； (2)这个外接圆的半径R 与内切圆的半径r之间有怎样的数量关系?请说明理由. 5.如图，AB 、CD是两条互相垂直的公路，∠ACP=45°, 设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它 们连接起来(圆弧在A、C 两点处分别与道路相切).你能在图中画出圆弧形弯道的示意图吗? 6.如图，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆.四边形ABCD 的4条边之间有什么关系?为什么? 课时练习 1.答案：9 因为△ABC的周长为21，BC=6，所以AB+AC=21-6=15。 因为DE是⊙O的切线，设切点为G，由切线长定理得AD=AG，AE=AG，BD=BF，CE=CF（F为BC边上的切点）。所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DG+GE+AE=（AD+DG）+（AE+GE）=AG+AG=2AG。 又因为AB+AC=（AD+BD）+（AE+CE）=（AD+AE）+（BD+CE）=2AG+BC=15， 所以2AG=15-6=9，即△ADE的周长为9。 2.答案：（1）100°；（2）115° （1）因为点O是△ABC的外心，所以∠BOC=2∠A（圆心角是圆周角的2倍）。 因为∠A=50°，所以∠BOC=2×50°=100°。 （2）因为点O是△ABC的内心，所以OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。 因为∠A=50°，所以∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°， 所以∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）/2=130°/2=65°， 所以∠BOC=180°-65°=115°。 3.作图步骤 因为OP需与OA、OB、CD都相切，所以OP是∠AOB的角平分线与CD的垂直平分线的交点。 ①作∠AOB的角平分线； ②作CD的垂直平分线，两线交于点P，点P即为所求圆心，以P到OA的距离为半径作圆即可。 4.答案：12 课后作业 1.答案：（1）120°；（2）136°，124° （1）因为点I是△ABC的内心，所以∠IBC=∠ABC/2=25°，∠ICB=∠ACB/2=35°， 所以∠BIC=180°-25°-35°=120°。 （2）①因为点O是外心，所以∠BOC=2∠A=2×68°=136°； ②因为点O是内心，所以∠OBC+∠OCB=（180°-68°）/2=56°， 所以∠BOC=180°-56°=124°。 2.答案：（1）A；（2）D （1）因为三角形的内切圆圆心为内心（角平分线交点），有且只有一个，所以A正确； 因为垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，所以B错误； 因为过半径外端且垂直于半径的直线才是切线，所以C错误； 因为内心到三边距离相等，到顶点距离不相等，所以D错误。 （2）因为内心是三个内角平分线的交点，所以选D。 3.答案：40° 因为⊙O与△ABC三边相切于D、E、F，所以OE⊥AC，OF⊥AB， 所以∠OEA=∠OFA=90°， 因为四边形OFAE中，∠EOF=100°，所以∠A=360°-90°-90°-100°=80°， 因为∠C=60°，所以∠B=180°-∠A-∠C=180°-80°-60°=40°。 4.答案： （1）作图：等边三角形外接圆（外心为中心）和内切圆（内心与外心重合）。 （2）R=2r 5.作图步骤 因为圆弧需与AB、CD相切，且∠ACP=45°，所以圆心O在∠ACP的角平分线上，且到AB、CD距离相等（即O在∠AOB的角平分线上，其中AB⊥CD）。 作∠ACP的角平分线与AB、CD的交角平分线交于点O，以O为圆心，OC为半径画弧即可。 6.答案：AB+CD=AD+BC 因为⊙O是四边形ABCD的内切圆，设切点为E、F、G、H（AB切于E，BC切于F，CD切于G，DA切于H）， 由切线长定理得AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH， 所以AB+CD=（AE+BE）+（CG+DG）=AH+BF+CF+DH=（AH+DH）+（BF+CF）=AD+BC。 学科网（北京）股份有限公司 $