15.2 画轴对称的图形 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.2 画轴对称的图形 学习目标 1. 理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能够识别轴对称图形并找出其对称轴。 2. 掌握轴对称的基本性质：对称轴是对应点连线的垂直平分线。 3. 能根据轴对称的性质，在平面直角坐标系中求出已知点关于坐标轴（或某条直线）的对称点的坐标。 4. 能够运用轴对称的知识解决简单的实际问题，如判断车牌号码的对称性、解决与线段长度和图形面积相关的问题。 知识点讲解 一、轴对称的基本概念 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2. 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 二、轴对称的性质 1. 成轴对称的两个图形是全等形。 2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3. 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 三、坐标系中的轴对称变换 在平面直角坐标系中，点 (x, y) 关于坐标轴和特殊直线的对称点坐标有如下规律： 1. 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 即点(x, y) 关于 x 轴的对称点的坐标是 。 2. 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 即点 (x, y) 关于 y 轴的对称点的坐标是 。 3. 关于直线 对称：纵坐标不变，横坐标之和等于 (2a)。 即点 (x, y) 关于直线 的对称点的坐标是 。 4. 关于直线 对称：横坐标不变，纵坐标之和等于 (2b)。 即点 (x, y) 关于直线 的对称点的坐标是 。 重点：掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变换规律。 四、生活中的轴对称——车牌号码对称 车牌号码通常由汉字、字母和数字组成。判断一个车牌号码（通常只看字母和数字部分）是否为轴对称图形，需要看是否存在一条直线，沿此直线折叠后，直线两旁的字母和数字能够完全重合。 常见的轴对称数字有：0、1、8。 常见的轴对称字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y。 例题解析 例题1 (车牌号码对称) 下面哪个车牌号码的后五位数字或字母组合是轴对称图形？并指出它的对称轴。 A. 粤A·32765 B. 京B·81181 C. 沪A·AB567 D. 苏E·MOT01 分析： 根据轴对称图形的概念，逐一分析各选项的后五位： A. "32765"：数字3、2、7、6、5均不对称或组合后不对称。 B. "81181"：数字从左到右为8、1、1、8、1。沿中间竖直直线折叠，左右两边的8与8对称，1与1对称，中间的1在对称轴上。 C. "AB567"：字母A是轴对称，但B是轴对称，5、6、7不是，整体不对称。 D. "MOT01"：M、O、T是轴对称，但0是轴对称，1是轴对称，但组合起来沿任何直线折叠都无法完全重合。 解答： 选项B是轴对称图形。它的对称轴是中间的竖直直线。 例题2 (坐标系中的对称) 已知点 。 (1) 求点A关于x轴对称的点的坐标； (2) 求点A关于y轴对称的点的坐标； (3) 求点关于y轴对称的点的坐标。 分析： 利用平面直角坐标系中对称点的坐标规律： 关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。 关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 解答： (1) 点A关于x轴对称的点的坐标为 (2, 3)。 (2) 点A关于y轴对称的点的坐标为 。 (3) 点关于y轴对称的点的坐标为 例题3 (线段问题) 已知点 P(a, b) 关于x轴的对称点是，点关于y轴的对称点是。如果点的坐标是 ，求a和b的值。 分析： 可以逐步逆向推导。已知的坐标，先求出的坐标，再求出P的坐标，从而得到a和b的值。 点关于y轴对称的点是，所以的坐标与关于y轴对称。 点P关于x轴的对称点是，所以P的坐标与关于x轴对称。 解答： 因为与关于y轴对称， 所以的坐标为 (3, 4)。 因为点P与关于x轴对称， 所以点P的坐标为 。 所以 ，。 例题4 (面积问题) 已知点A，B(3, 2)，C。 (1) 求点A关于直线 对称的点 A'的坐标； (2) 若四边形 AA'BC)是一个平面图形，求其面积。 分析： (1) 直线 是一条竖直直线。求点A关于直线 的对称点 (A')，利用关于直线 对称的点的坐标规律：。 (2) 要计算四边形 (AA'BC) 的面积，首先需要确定各点坐标。已知A、B、C和求出的 (A')，可以通过分析各点的位置关系（比如是否在同一水平线或竖直线上），将四边形分割成容易计算面积的图形（如矩形、梯形、三角形）。 解答： (1) 点A关于直线 对称的点 A' 的坐标为： ，。 所以 A'(3, 2)。 (2) 由题意知： 点A，A'(3, 2)，B(3, 2)，C。 观察坐标可知，点 A' 和点B的坐标都是 (3, 2)，所以点 A' 与点B重合。 巩固练习 一、选择题 1. 下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ） A. 注意行人 B. 禁止通行 C. 直行 D. 环岛行驶 2. 点 关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. (3, 4) B. C. D. () 3. 点 关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. (5, 2) C.() D. 4. 已知点 P(a, 3) 与点 Q(2, b) 关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ） A. a = 2, b = 3 B. a = -2, b = 3 C. a = 2, b = -3 D. a = -2, b = -3 5. 下列车牌照的后五位字符（数字或字母）中，不是轴对称图形的是（ ） A. 80808 B. XM1MX C. 12321 D. 76543 二、填空题 1. 点 关于x轴对称的点的坐标是 _______。 2. 点 关于y轴对称的点的坐标是 _______。 3. 若点 关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是 _______。 4. 一个汽车牌照的后四位是"2021"，则在这四个数字中，是轴对称图形的数字有 _______ 个。 5. 已知点 A(a, b)，将点A先向右平移3个单位长度，再关于x轴对称得到点 ，则点A的坐标是 _______。 三、解答题 1. 已知点 ，(B(1, 2))，。 (1) 分别写出点A、B、C关于y轴对称的点 A'、B'、C' 的坐标； (2) 连接 A'B'C'A'，判断所得图形的形状，并求出其面积。 2. 已知点 。 (1) 若点P在y轴上，求点P关于x轴对称的点的坐标； (2) 若点P到x轴、y轴的距离相等，求点P关于y轴对称的点的坐标。 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. C 解析："直行"标志通常是一个向上的箭头，是轴对称图形。其他选项图案不对称。 2. B 解析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数。所以点M关于x轴对称的点是 。 3. A 解析：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数。所以点N关于y轴对称的点是 。 4. C 解析：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。所以 a = 2，b = -3。 5. D 解析：A选项"80808"沿竖直中线对称；B选项"XM1MX"沿竖直中线对称；C选项"12321"沿竖直中线对称；D选项"76543"不对称。 二、填空题 1. (0, 5) 解析：点A关于x轴对称，横坐标0不变，纵坐标-5的相反数是5，所以坐标是 (0, 5)。 2. 解析：点B关于y轴对称，纵坐标-1不变，横坐标-1的相反数是1，所以坐标是 。 3. 解析：点P关于x轴的对称点坐标为 = 。 因为该对称点在第一象限，所以： (m + 1 > 0) 且 (-3m + 5 > 0) 解 (m + 1 > 0) 得 (m > -1)。 解 (-3m + 5 > 0) 得 (-3m > -5)，。 所以m的取值范围是。 4. 3 解析：数字"2021"中，"2"（看作竖直对称）、"0"、"1"是轴对称图形，共3个 5. 解析：设点A的坐标为 (a, b)。 将点A向右平移3个单位长度后得到的点的坐标为 。 再关于x轴对称得到点B，则有： ，。 解得 ，。 所以点A的坐标是 。 三、解答题 1. 解： (1) 点A关于y轴对称的点 A')的坐标为 (3, 2)。 点B(1, 2)关于y轴对称的点 B' 的坐标为 。 点C关于y轴对称的点 C'的坐标为 。 (2) 连接 A'(3, 2)、、、A'(3, 2)。 观察各点坐标可知： A'B' 平行于x轴，长度为 。 B'C' 平行于y轴，长度为 。 且 A'B' 垂直于 B'C'。 所以图形 A'B'C'A' 是一个矩形。 其面积为。 2. 解： (1) 因为点P在y轴上，所以其横坐标为0。 即 解得 。 则点P的纵坐标为 。 所以点P的坐标为 (0, 7)。 点P(0, 7)关于x轴对称的点的坐标为 。 (2) 因为点P到x轴、y轴的距离相等，所以 。 则有以下两种情况： 情况一： 解得 。 此时点P的坐标为 = (14, 14)。 点P关于y轴对称的点的坐标为 。 情况二： 即 移项得 即 解得。 点P关于y轴对称的点的坐标为 (,)。 综上，点P关于y轴对称的点的坐标为 或(,) 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2 画轴对称的图形 学习目标 1. 理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能够识别轴对称图形并找出其对称轴。 2. 掌握轴对称的基本性质：对称轴是对应点连线的垂直平分线。 3. 能根据轴对称的性质，在平面直角坐标系中求出已知点关于坐标轴（或某条直线）的对称点的坐标。 4. 能够运用轴对称的知识解决简单的实际问题，如判断车牌号码的对称性、解决与线段长度和图形面积相关的问题。 知识点讲解 一、轴对称的基本概念 1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2. 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 二、轴对称的性质 1. 成轴对称的两个图形是全等形。 2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3. 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 三、坐标系中的轴对称变换 在平面直角坐标系中，点 (x, y) 关于坐标轴和特殊直线的对称点坐标有如下规律： 1. 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 即点(x, y) 关于 x 轴的对称点的坐标是 。 2. 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 即点 (x, y) 关于 y 轴的对称点的坐标是 。 3. 关于直线 对称：纵坐标不变，横坐标之和等于 (2a)。 即点 (x, y) 关于直线 的对称点的坐标是 。 4. 关于直线 对称：横坐标不变，纵坐标之和等于 (2b)。 即点 (x, y) 关于直线 的对称点的坐标是 。 重点：掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变换规律。 四、生活中的轴对称——车牌号码对称 车牌号码通常由汉字、字母和数字组成。判断一个车牌号码（通常只看字母和数字部分）是否为轴对称图形，需要看是否存在一条直线，沿此直线折叠后，直线两旁的字母和数字能够完全重合。 常见的轴对称数字有：0、1、8。 常见的轴对称字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y。 例题解析 例题1 (车牌号码对称) 下面哪个车牌号码的后五位数字或字母组合是轴对称图形？并指出它的对称轴。 A. 粤A·32765 B. 京B·81181 C. 沪A·AB567 D. 苏E·MOT01 例题2 (坐标系中的对称) 已知点 。 (1) 求点A关于x轴对称的点的坐标； (2) 求点A关于y轴对称的点的坐标； (3) 求点关于y轴对称的点的坐标。 例题3 (线段问题) 已知点 P(a, b) 关于x轴的对称点是，点关于y轴的对称点是。如果点的坐标是 ，求a和b的值。 例题4 (面积问题) 已知点A，B(3, 2)，C。 (1) 求点A关于直线 对称的点 A'的坐标； (2) 若四边形 AA'BC)是一个平面图形，求其面积。 巩固练习 一、选择题 1. 下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ） A. 注意行人 B. 禁止通行 C. 直行 D. 环岛行驶 2. 点 关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. (3, 4) B. C. D. () 3. 点 关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. (5, 2) C.() D. 4. 已知点 P(a, 3) 与点 Q(2, b) 关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ） A. a = 2, b = 3 B. a = -2, b = 3 C. a = 2, b = -3 D. a = -2, b = -3 5. 下列车牌照的后五位字符（数字或字母）中，不是轴对称图形的是（ ） A. 80808 B. XM1MX C. 12321 D. 76543 二、填空题 1. 点 关于x轴对称的点的坐标是 _______。 2. 点 关于y轴对称的点的坐标是 _______。 3. 若点 关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是 _______。 4. 一个汽车牌照的后四位是"2021"，则在这四个数字中，是轴对称图形的数字有 _______ 个。 5. 已知点 A(a, b)，将点A先向右平移3个单位长度，再关于x轴对称得到点 ，则点A的坐标是 _______。 三、解答题 1. 已知点 ，(B(1, 2))，。 (1) 分别写出点A、B、C关于y轴对称的点 A'、B'、C' 的坐标； (2) 连接 A'B'C'A'，判断所得图形的形状，并求出其面积。 2. 已知点 。 (1) 若点P在y轴上，求点P关于x轴对称的点的坐标； (2) 若点P到x轴、y轴的距离相等，求点P关于y轴对称的点的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $