3.2整式的加减 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

3.2 整式的加减 学习目标 1. 理解单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。 2. 理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法，能正确地进行合并同类项。 3. 掌握去括号法则，能正确地去括号，并能利用去括号法则进行整式的加减运算。 4. 能够运用整式的加减解决简单的实际问题，培养代数运算能力和应用意识。 知识点讲解 一、整式的有关概念 1. 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，的系数是，a的系数是1，的系数是。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，的次数是3，的次数是，常数项（如7）的次数是0。 2. 多项式 几个单项式的和叫做多项式。 · 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。例如，多项式有三项，分别是，，5，其中5是常数项。 · 次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式中，最高次项是，次数为，所以这个多项式的次数是4。 3. 整式 单项式和多项式统称整式。 二、同类项 1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 例如，与是同类项（字母相同，相同字母的指数也相同）；7与是同类项。 而与不是同类项（相同字母的指数不同）。 三、合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 2. 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 例如：；。 四、去括号法则 1. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。 例如：；。 2. 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 例如：；。 五、整式的加减 1. 运算法则：整式的加减实质上就是合并同类项。如果有括号，要先去括号，再合并同类项。 2. 一般步骤： · 根据去括号法则去括号； · 找出同类项； · 根据合并同类项法则合并同类项。 例题解析 例题1： (1) 写出单项式的系数和次数。 (2) 已知多项式是六次四项式，求m的值。 解析： (1) 对于单项式，其数字因数是，所以系数是。 所有字母的指数分别是3、2、1，所以次数是。 (2) 多项式是四项式。 各项的次数依次为：、、3、0。 因为该多项式是六次多项式，所以次数最高项的次数为6，即。 答案：(1) 系数是，次数是6；(2) 。 例题2：合并下列各式中的同类项。 (1) (2) 解析： (1) (2) 答案：(1) ；(2) 。 例题3：先去括号，再合并同类项。 (1) 解析： (1) (2) 答案：(1) ；(2) 。 例题4：先化简，再求值：，其中，。 解析： 当，时， 原式 答案：化简结果为，值为。 巩固练习 一、选择题 1. 下列各式中，是单项式的是 A. B. C. D. 2. 单项式的系数和次数分别是 A. 5，2 B. ，2 C. 5，3 D. ，3 3. 下列各组单项式中，属于同类项的是 A. 与 B. 与 C. a与1 D. 2xy与2xyz 4. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 5. 多项式是 A. 三次四项式 B. 四次四项式 C. 三次三项式 D. 四次三项式 二、填空题 1. 多项式是________次________项式，最高次项的系数是________。 2. 若与是同类项，则，。 3. 合并同类项：________。 4. 去括号：________。 5. 一个多项式与的和是，则这个多项式是________。 三、解答题 1. 合并下列各式中的同类项。 (1) (2) 2. 先去括号，再合并同类项。 (1) (2) 3. 先化简，再求值。 (1) ，其中，。 (2) ，其中，。 4. 已知，，求。 参考答案 一、选择题 1. C 解析：选项A、D是多项式，选项B不是整式，选项C是单项式（是常数）。 2. D 解析：单项式的系数是，次数是。 3. B 解析：同类项要求所含字母相同，相同字母的指数也相同。选项A中相同字母的指数不同；选项C中一个是字母，一个是常数；选项D中所含字母不同；选项B符合同类项定义。 4. C 解析：选项A中3a与2b不是同类项，不能合并；选项B中；选项C中去括号法则正确；选项D中与不是同类项，不能合并。 5. B 解析：多项式的最高次项是，次数为，共有四项，所以是四次四项式。 二、填空题 1. 四，四， 解析：最高次项是，次数为4，共有四项，其系数是。 2. 3，2 解析：因为与是同类项，所以，。 3. 解析：。 4. 解析：。 5. 解析：所求多项式为。 三、解答题 1. (1) 解析： 。 (2) 解析： 。 2. (1) 解析： 。 (2) 解析： 。 3. (1) ， 解析： 。 当，时， 原式 。 (2) ， 解析： 。 当，时， 原式 。 4. 解析： 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 整式的加减 学习目标 1. 理解单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。 2. 理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法，能正确地进行合并同类项。 3. 掌握去括号法则，能正确地去括号，并能利用去括号法则进行整式的加减运算。 4. 能够运用整式的加减解决简单的实际问题，培养代数运算能力和应用意识。 知识点讲解 一、整式的有关概念 1. 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，的系数是，a的系数是1，的系数是。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，的次数是3，的次数是，常数项（如7）的次数是0。 2. 多项式 几个单项式的和叫做多项式。 · 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。例如，多项式有三项，分别是，，5，其中5是常数项。 · 次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式中，最高次项是，次数为，所以这个多项式的次数是4。 3. 整式 单项式和多项式统称整式。 二、同类项 1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 例如，与是同类项（字母相同，相同字母的指数也相同）；7与是同类项。 而与不是同类项（相同字母的指数不同）。 三、合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 2. 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 例如：；。 四、去括号法则 1. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。 例如：；。 2. 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 例如：；。 五、整式的加减 1. 运算法则：整式的加减实质上就是合并同类项。如果有括号，要先去括号，再合并同类项。 2. 一般步骤： · 根据去括号法则去括号； · 找出同类项； · 根据合并同类项法则合并同类项。 例题解析 例题1： (1) 写出单项式的系数和次数。 (2) 已知多项式是六次四项式，求m的值。 例题2：合并下列各式中的同类项。 (1) (2) 例题3：先去括号，再合并同类项。 (1) 例题4：先化简，再求值：，其中，。 巩固练习 一、选择题 1. 下列各式中，是单项式的是 A. B. C. D. 2. 单项式的系数和次数分别是 A. 5，2 B. ，2 C. 5，3 D. ，3 3. 下列各组单项式中，属于同类项的是 A. 与 B. 与 C. a与1 D. 2xy与2xyz 4. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 5. 多项式是 A. 三次四项式 B. 四次四项式 C. 三次三项式 D. 四次三项式 二、填空题 1. 多项式是________次________项式，最高次项的系数是________。 2. 若与是同类项，则，。 3. 合并同类项：________。 4. 去括号：________。 5. 一个多项式与的和是，则这个多项式是________。 三、解答题 1. 合并下列各式中的同类项。 (1) (2) 2. 先去括号，再合并同类项。 (1) (2) 3. 先化简，再求值。 (1) ，其中，。 (2) ，其中，。 4. 已知，，求。 学科网（北京）股份有限公司 $