函数的概念与性质：函数的奇偶性讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质：函数的奇偶性讲义 函数的概念与性质：函数的奇偶性讲义 考点目录 函数奇偶性的定义与证明 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义与证明 【知识点解析】 1. 奇偶性的定义 （1）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． （1）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 2. 具有奇偶性的函数的图像特征 （1）若函数是偶函数，则函数的图像关于轴对称. （2）若函数是奇函数，则函数的图像关于原点对称. 3. 判断奇偶性的步骤 （1）证明函数的定义域的对称性. （2）求的解析式，与进行比较，进而下结论. 【例题分析】 1．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 4．（24-25高一上·青海·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 5．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，且. (1)求a的值； (2)判断函数的奇偶性. 6．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 考点二 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 【知识点解析】 1.由奇偶性判断函数图像 （1）判断函数的定义域与奇偶性. （2）由函数的奇偶性判断函数的对称性. （3）结合特殊值、单调性确定函数图像. 2.函数奇偶性的常见结论 （1）奇函数奇函数奇函数. （2）偶函数偶函数偶函数. （3）奇函数奇函数偶函数，奇函数奇函数偶函数. （4）偶函数偶函数偶函数，奇函数奇函数偶函数. （5）奇函数偶函数奇函数，奇函数偶函数奇函数. 【例题分析】 1．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 考点三 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 【知识点解析】 1. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. （1）设，则. （2）将代入时的解析式，得. （3）若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 【例题分析】 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，且当时，，则时，（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京石景山·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 6．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 7．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 8．（25-26高三上·宁夏·阶段练习）函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数在时的解析式． 9．（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 考点四 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 【知识点解析】 1. 利用奇偶性求参数 （1）若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. （核心就是在定义域内进行赋值，并不一定得赋值“0”或“1”） （2）常见的两个函数：①若一次函数为奇函数，则. ②若二次函数为偶函数，则. 2.构造奇偶性求值 若函数，其中函数为奇函数.已知，求. （1）因为，所以 （2）因为函数为奇函数，，所以. （3）. 【例题分析】 考向一 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数，若为奇函数，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 4．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 5．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 7．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的奇函数，则 ． 8．（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ． 9．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知．若为偶函数，则 ． 10．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 11．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 考向二 构造奇偶性求值 1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知，且，那么 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，则 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知，若，则 ． 考点五 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 【知识点解析】 1.单调性与奇偶性的关系 （1）若为奇函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性相同. （2）若为偶函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 2.利用单调性和奇偶性解不等式 （1）若函数在定义域上单调递增，且，则. （2）若函数在定义域上单调递减，且，则. （3）已知函数为偶函数. 若在上单调递增，且，则. 若在上单调递减，且，则. （4）若函数为奇函数， 在上单调递增，且，则. 在上单调递减，且，则. （5）注意讨论、. 3.利用单调性和奇偶性画图 （1）取值，描点，先作轴右侧的图像. （2）通过奇偶性的性质，对称得到轴左侧的图像. 【例题分析】 考向一 利用单调性与奇偶性判断正负 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京通州·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）设奇函数 在上单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）定义在上的偶函数满足，且对任意的有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 考向二 利用单调性与奇偶性解不等式 1．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北邢台·期中）设为实数， 定义在上的偶函数满足：在上的表达式为， 则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为R，是偶函数，在上是增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数，如果有，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知是定义在上的奇函数且单调递增，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 8．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数，. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 9．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数是上的偶函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上单调性，并用定义法证明； (3)求不等式的解集. 10．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集； (3)若，求关于的不等式的解集. 考点六 抽象函数的奇偶性 【知识点解析】 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的奇偶性（以为例） 函数的奇偶性是探究与的关系，而，所以需要探究、与的关系. (1)令，求出. (2)令，代入得，即，所以函数为奇函数. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再结合特殊值证明奇偶性 4.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得，探究的正负得函数的单调性. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再证明的正负性或与1的大小关系. 【例题分析】 1．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 2．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 3．（24-25高一下·安徽·开学考试·多选）设是定义域为的单调函数，若，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 4．（24-25高一上·安徽亳州·期末·多选）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 5．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 6．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 8．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 9．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 10．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 11．（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 12．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的概念与性质：函数的奇偶性讲义 函数的概念与性质：函数的奇偶性讲义 考点目录 函数奇偶性的定义与证明 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 函数奇偶性的定义与证明 【知识点解析】 1. 奇偶性的定义 （1）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数． （1）一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数． 2. 具有奇偶性的函数的图像特征 （1）若函数是偶函数，则函数的图像关于轴对称. （2）若函数是奇函数，则函数的图像关于原点对称. 3. 判断奇偶性的步骤 （1）证明函数的定义域的对称性. （2）求的解析式，与进行比较，进而下结论. 【例题分析】 1．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 2．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 4．（24-25高一上·青海·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为，因为，所以为偶函数. （3）的定义域为，因为，且， 所以为非奇非偶函数. 5．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，且. (1)求a的值； (2)判断函数的奇偶性. 【答案】(1) (2)为奇函数. 【详解】（1）由已知可得，，   解得： （2）由（1）知，，定义域为关于原点对称， 又，所以为奇函数. 6．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 考点二 奇偶性的应用：由奇偶性判断函数图像 【知识点解析】 1.由奇偶性判断函数图像 （1）判断函数的定义域与奇偶性. （2）由函数的奇偶性判断函数的对称性. （3）结合特殊值、单调性确定函数图像. 2.函数奇偶性的常见结论 （1）奇函数奇函数奇函数. （2）偶函数偶函数偶函数. （3）奇函数奇函数偶函数，奇函数奇函数偶函数. （4）偶函数偶函数偶函数，奇函数奇函数偶函数. （5）奇函数偶函数奇函数，奇函数偶函数奇函数. 【例题分析】 1．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 2．（24-25高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 3．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误. 故选：A. 考点三 奇偶性的应用：由奇偶性求函数解析式 【知识点解析】 1. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. （1）设，则. （2）将代入时的解析式，得. （3）若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 【例题分析】 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 可得， 又因为为奇函数，所以，可得， 即时，. 故选：A 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，且当时，，则时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为时，， 当时，则，， 因是奇函数，则. 故选：B.　 4．（24-25高一上·北京石景山·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 【答案】 【详解】令，则，因为是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 7．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 8．（25-26高三上·宁夏·阶段练习）函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数在时的解析式． 【答案】(1)​，； (2)当时，. 【详解】（1）函数，则当时，，， 由函数是定义在R上的奇函数，得. （2）由（1）知当时，，又函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，，. 9．（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【详解】（1）如下图所示： . （2）因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 考点四 奇偶性的应用：由奇偶性求参数与求值 【知识点解析】 1. 利用奇偶性求参数 （1）若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. （核心就是在定义域内进行赋值，并不一定得赋值“0”或“1”） （2）常见的两个函数：①若一次函数为奇函数，则. ②若二次函数为偶函数，则. 2.构造奇偶性求值 若函数，其中函数为奇函数.已知，求. （1）因为，所以 （2）因为函数为奇函数，，所以. （3）. 【例题分析】 考向一 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数，若为奇函数，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为为定义在上的奇函数， 所以，解得， 则， 因为， 所以为奇函数， 所以符合题意. 故选：D. 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【详解】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 4．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【详解】由题意可得， 又, 则， 所以. 故选：B 5．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 6．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 7．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的奇函数，则 ． 【答案】2 【详解】由题意，则，所以，且定义域为R， 而，是奇函数，满足题设. 故答案为：2 8．（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ． 【答案】3 【详解】因为函数为奇函数，所以， 设，则，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：3 9．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知．若为偶函数，则 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：0. 10．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 11．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案、证明见解析； (2). 【详解】（1）由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 考向二 构造奇偶性求值 1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知，且，那么 【答案】 【详解】设，则， 易得定义域为R，又， 所以函数为奇函数， 又因为，即，可得，所以， 则. 故答案为：. 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，则 【答案】 【分析】由题意计算可得，运算即可得解. 【详解】由题意可得， 即有，故，即. 故答案为：. 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知，若，则 ． 【答案】 【详解】解：令，则 由的定义域为，定义域关于原点对称， 且，故为奇函数； 故答案为： 考点五 奇偶性的应用：由奇偶性与单调性解不等式 【知识点解析】 1.单调性与奇偶性的关系 （1）若为奇函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性相同. （2）若为偶函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 2.利用单调性和奇偶性解不等式 （1）若函数在定义域上单调递增，且，则. （2）若函数在定义域上单调递减，且，则. （3）已知函数为偶函数. 若在上单调递增，且，则. 若在上单调递减，且，则. （4）若函数为奇函数， 在上单调递增，且，则. 在上单调递减，且，则. （5）注意讨论、. 3.利用单调性和奇偶性画图 （1）取值，描点，先作轴右侧的图像. （2）通过奇偶性的性质，对称得到轴左侧的图像. 【例题分析】 考向一 利用单调性与奇偶性判断正负 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 2．（24-25高一上·北京通州·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，又， 可得，在递增，且， ，等价为或或， 解得或或， 所以原不等式的解集为， 故选：D. 3．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）设奇函数 在上单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】∵为奇函数，函数​在​上单调递增， ∴在上单调递增，又​，∴， ，即， 当 时，上式化为，解得​; 当 时，上式化为，解得​， ​原不等式的解集是或​. 故选：D. 4．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）定义在上的偶函数满足，且对任意的有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意的有，所以在上单调递增， 因为是偶函数，所以在上单调递减， 又，所以， 结合的单调性，可得与的正负情况如下： 因为，所以由得，即与异号， 所以由上表可得. 故选：B. 5．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为对任意的，当时，都有成立， 所以在上单调递增，当，又， 所以由，可得， 又函数是定义在上的奇函数，当时， 由，可得，又由奇函数的性质可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 考向二 利用单调性与奇偶性解不等式 1．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是定义在上的偶函数，得， 又在上单调递减，因此，整理得，解得， 所以满足不等式的的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高一上·河北邢台·期中）设为实数， 定义在上的偶函数满足：在上的表达式为， 则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得在上单调递增，而是偶函数， 则等价于，解得或， 故选：A 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为R，是偶函数，在上是增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，， 所以， 又因为在上是增函数， 所以在上是减函数； 不等式可化为，则，即， 解得. 故选：A 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数，如果有，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为关于原点对称， ，所以为奇函数， 且在单调递增，在单调递增， 所以在单调递增， 则等价于 所以，解得 故选:C. 5．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数为偶函数， 故 又在上单调递增 故，解得或 故不等式的解集为 故选：D 6．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知是定义在上的奇函数且单调递增，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，所以， 则不等式，可得， 又因为单调递增，所以，解得， 故选：. 7．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数； (2) 【详解】（1）由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． （2）任取，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集 8．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数，. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为在定义域为上是奇函数， 所以，即，∴. 又∵，即，∴. 则，由， 则当，原函数为奇函数. （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在上是增函数，，∴. 又， ∴，即， ∴在上为减函数. （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为为减函数，由上式推得：， 即对一切有：恒成立. 设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为. 9．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数是上的偶函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上单调性，并用定义法证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）由函数是上的偶函数，得对任意恒成立， 即对任意恒成立，整理得对任意恒成立， 所以. （2）由（1）知，，在上单调递增， 任取，且， 则， 由，得，，， 因此，，则， 所以函数在上单调递增. （3）由（1）、（2）知，上的偶函数在上单调递增，在上单调递减， 不等式，则，解得或， 所以原不等式的解集为. 10．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集； (3)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2) (3)答案见解析 【详解】（1）是偶函数，理由如下： 因为函数的定义域为R, ， 所以是偶函数； （2）因为在都是增函数， 所以在是增函数， 因为是偶函数， 所以等价于， 所以， ， 可得，所以不等式的解集是 （3）因为，所以， 化为且不等于， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，原不等式化为，不等式解集为. 综上所述，当时不等式解集为； 当时不等式解集为. 当时不等式解集为. 考点六 抽象函数的奇偶性 【知识点解析】 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的奇偶性（以为例） 函数的奇偶性是探究与的关系，而，所以需要探究、与的关系. (1)令，求出. (2)令，代入得，即，所以函数为奇函数. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再结合特殊值证明奇偶性 4.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得，探究的正负得函数的单调性. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再证明的正负性或与1的大小关系. 【例题分析】 1．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·安徽·开学考试·多选）设是定义域为的单调函数，若，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 【答案】ABD 【详解】对于A，令，得，所以，A正确； 对于B，令，得，所以， 因为函数的定义域为，令，得， 所以，B正确； 对于C，是奇函数，且为单调函数，又， 所以是上的减函数，C错误； 对于D，由C可知是上的减函数，当时，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高一上·安徽亳州·期末·多选）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，令，可得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，可得，即，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， ，从而得，即， 所以，所以是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，令，得， 用代替，得， ，由可得， ，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，得， 令，得，所以为定义在上的奇函数， 因为，令，得， 任取，则 ， 因为当时，，所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以不等式 . 故答案为： 6．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数； (2)在上的单调递减，证明见解析； (3). 【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 7．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）令， 所以，故， 令，所以 所以. （2）令，因为，所以，故， 所以是偶函数， 由，， 则， 又是偶函数， 所以上式可转化为， 又在上单调递减， 所以上式可转化为，解得或. 故不等式的解集为. 8．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 9．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 【答案】(1)， (2)，. 【详解】（1）令，则，∴， ∵，∴. （2）令，则，∴， ∴，∴是奇函数， ∴，∴， 任取，， ∵，∴，∴，即， ∴在上为减函数， ∵在上为减函数，∴，. 10．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 11．（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数；函数是上的减函数 (3)或． 【详解】（1）令，代入得，所以． （2）令， 代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数． （3），即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即 令 作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点， 即实数m的取值范围为或． 12．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增； 2 学科网（北京）股份有限公司 $