湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三上学期月考（二）（10月）数学试题

长沙市一中2026届高三月考试卷（二） 数学 时量：120分钟 满分：150分得分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 已知向量的夹角为，，，则（ ） A. B. 21 C. 3 D. 9 3. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 9 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（    ） A. B. C. D. 6. 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是棱长为2的正方体，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则事件相互独立 B. 已知随机变量，则 C. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 D 已知随机变量，若，则 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. D. 在内有唯一极小值点 11. 已知是抛物线上一点.按如下方式依次构造点（）；过点作斜率为（）的直线与交于另一点，点为关于轴的对称点.令.（ ） A. 若，则 B. 数列是等差数列 C. 数列是等比数列 D. 设是的面积，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则 ______. 13. 已知且满足，则的最小值为________． 14. 已知是公差不为0的无穷等差数列，且各项均为整数.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质P.若，则具有性质P的数列的个数为__________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若，过点B作，D为垂足，求BD的最大值． 16. 如图，是的直径.与所在的平面垂直，，C是上的一动点（不同于A，B），M为线段的中点，点N在线段上，且. （1）求证：； （2）当时，求直线与直线所成角的余弦值. 17. 根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 63 5.1 3.2 2.4 （1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 18. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 19. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 长沙市一中2026届高三月考试卷（二） 数学 时量：120分钟 满分：150分得分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】6. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）可以，万元 （2）选择方案二 【18题答案】 【答案】（1）； （2）①； ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 显然圆的切线的斜率存在， 设切线的方程为， 由于切线不平行的渐近线，则. 由圆心到切线的距离，得. 由消去得， 由题意知.设， 则， 而 . 则， 则. 所以，即. （ii）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $