第1、2章三角形 实数的初步认识 单元测试卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1、2章综合测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________成绩：___________ 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 2．（本题3分）若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 4．（本题3分）的算术平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 5．（本题3分）如图，在中，，，是的角平分线，如果点到的距离为2，那么的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（本题3分）下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 7．（本题3分）下列说法：①“相等的角是对顶角”是假命题；②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题；③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等；④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为60°．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 8．（本题3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（   ） A．点A B．点B C．点 D．点 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）在，，0，中，无理数有 个 10．（本题3分）若与互为相反数，则 ． 11．（本题3分）已知的三边长，，都是正整数，且满足，则边长的最大值是 ． 12．（本题3分）如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ． （12）（13）（14）（15） 13．（本题3分）如图，在边长为的等边中，是的中点，为延长线上一点，若，则的长为 ． 14．（本题3分）如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示） 15．（本题3分）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变；④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 16．（本题3分）如图，在中，平分，点是的中点，过点作，交的延长线于点，若，则 ． （16）（17）（18） 17．（本题3分）如图，，，若，则 ． 18．（本题3分）如图，在四边形中，，，且，则的最大值为 ． 三、解答题（共86分） 19．（本题8分）如图：和中，；试说明． 20．（本题8分）将下列各数填入相应的括号里： （每两个1之间依次多一个0），． 负数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非正整数集合：{___________…}； 无理数集合：{___________…}． 21．（本题8分）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 22．（本题8分）如图，在中，的垂直平分线交相交于点E，交相交于点D，的周长为，求的长． 23．（本题8分）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)（结果保留小数，点后三位）． 24．（本题8分）在中，，点是的中点，过点作，且与延长线相交于点． (1)如图，连接，求证：是等腰三角形； (2)如图，当时，求证：； (3)如图，当时，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请给出证明． 25．（本题8分）如图，在中，，，，点D为的中点，点P在线段上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（）．    (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)若点P，Q的运动速度不相等，与全等时，求a的值． 26．（本题10分）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 27．（本题10分）如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 28．（本题10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C C D A D 1．D 【分析】根据立方根的定义解答即可． 本题考查了立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的立方根是． 故选：D 2．C 【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，相反数，掌握一个数a的相反数是是解题的关键． 3．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出，进而得出，结合已知条件可得出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．根据，求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是2， 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，进而得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查等边三角形判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； B、三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； C、有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； D、反例：若两个外角都为，则此等腰三角形三个角，此等腰三角形不是等边三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 7．A 【分析】根据所学的知识，理解判断解答即可． 本题考查了基础知识的综合，熟练掌握数学基础知识是解题的关键． 【详解】解：①“相等的角是对顶角”是假命题，本结论正确； ②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题，本结论正确； ③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等，本结论正确； ④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 当高在等腰三角形的内部时，； 当高在等腰三角形的外部时，； 故这个等腰三角形的顶角的度数为或，本结论错误． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准全等三角形的对应点． 【详解】解：∵， ∴因点M、P在方格正方形的两个对角顶点上，故点M、Q也应在方格正方形的两个对角顶点上．所以点Q是图中点D的位置，如下图： ， 故选：D． 9．2 【分析】本题考查无理数的判断，本题的关键是明确无理数的定义，即无限不循环小数，且不能表示为分数形式的数．根据无理数的定义，判断每个数是否为无理数，进而统计个数． 【详解】解：在给出的数，，0，中： ，0属于有理数； ，属于无理数，无理数有2个． 故答案为：2． 10． 【分析】本题考查了相反数和算术平方根、绝对值的性质，掌握非负数的性质是解题的关键． 根据算术平方根、绝对值非负性，可知两个非负数互为相反数，这两个数均为0，由此得出关于x，y方程组，进而解题． 【详解】解：依题意得： ∵ 和 ， ∴， ∴ ，即 ． 故答案为 6． 11．6 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得的最大值是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴的最大值是， 故答案为：6． 12．4 【分析】此题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，得到，再根据四边形的周长为20即可求出的长． 【详解】解：∵点D，E分别在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴ ∵四边形的周长为20， ∴， 即， 解得， 故答案为： 13．/厘米 【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用：等边三角形的三个内角都相等，且都等于．先利用等边三角形的性质证明，证明是等腰三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质；延长交于点，证明得出，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵的面积为， ∴的面积为 故答案为：． 15．①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 16．3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形．根据角平分线的定义和平行线的性质，推出，进而得到，延长至点，使，连接，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 17．/14度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由，，则，所以，求出，最后根据直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．/ 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形三边关系，取的中点O，连接，根据斜边中线的性质结合三角形性质得出当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值求得答案即可； 【详解】解：∵，，， ∴， ， 解得：， 取的中点O，连接， 在中，， 在中，， 当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值， 此时，， 故答案为：． 19．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由，可得，根据SSS即可证明．本题的关键是得到． 【详解】解：， ，即， 在和中， ． 20．； ； ； （每两个1之间依次多一个0 【分析】本题考查实数的分类，根据实数和有理数的分类方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：负数集合：{,...}； 分数集合：{，...}； 非正整数集合：{,...}； 无理数集合：{（每两个1之间依次多一个0),...．} 21． 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 22． 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 23．(1)31 (2) (3) 【分析】此题考查的是用计算器计算一个数的算术平方根，掌握求算术平方根的按键顺序是解决此题的关键． （1）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （2）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （3）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． 【详解】（1）解：依次按键，显示31． ． （2）依次按键，显示：． ． （3）依次按键，显示：……． ． 24．(1)见解析； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点是的中点，，则点在的垂直平分线上，然后根据垂直平分线性质可得，然后通过等腰三角形定义即可求证； （）过作于点，由角平分线性质可得，然后证明，所以，从而有，然后通过线段和差即可求证； （）设，交于点，过作，连接，由垂直平分线性质可得，则，然后证明，所以，然后证明 ，最后通过线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：过作于点， ∵是等腰三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，设，交于点，过作，连接， 由垂直平分线性质可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，     ∴． 25．(1) (2)4 【分析】（1）根据，点P在线段上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，由即可得到线段的长； （2）由D为的中点得到，点P，Q的运动速度不相等，则，由与全等，，则，，得到，，解得a的值． 【详解】（1）∵，点P在线段上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动， ∴； （2）∵点D为的中点， ∴， ∵点P，Q的运动速度不相等， ∴， 又∵与全等，， ∴，， ∴，， 解得，， 即a的值为． 【点睛】此题考查了动点问题，用到了一元一次方程、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 26．(1) (2)①．理由见解析；②2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 27．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据中点的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，得到，求得，进而即可得解． 【详解】（1）证明：为边上的中线 ， 在与中， ， ； （2）解：根据题意得， ， ，为边上的中线， ， ， ． 28．（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $