2.5有理数的混合运算讲义2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

2.5有理数的引入 学习目标 1.掌握有理数混合运算的顺序，并能正确进行有理数的混合运算。 2.能够熟练运用有理数的运算法则和运算律进行简便计算。 3.培养严谨的逻辑思维能力和准确的计算能力，提高解决问题的效率。 知识点讲解 有理数的混合运算是指包含加、减、乘、除、乘方五种运算中两种或两种以上的运算。进行有 理数的混合运算时，必须遵循以下运算顺序： 1.先算乘方：即先计算有理数的乘方运算，得到幂的结果。 2.再算乘除：在完成乘方运算后，按照从左到右的顺序进行乘法和除法运算。 3.最后算加减：在乘除运算完成后，再按照从左到右的顺序进行加法和减法运算。 4.同级运算：对于只有加减或者只有乘除的同级运算，按照从左到右的顺序依次进行。 5.括号优先：如果算式中有括号，要先算括号里面的运算。括号的优先级是：小括号(0优 先于中括号]，中括号优先于大括号}。在括号内部，仍然遵循上述运算顺序。 运算技巧与注意事项： 。在进行运算时，要特别注意运算符号，尤其是负号的处理。 ·可以利用加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律以及乘法对加法的分配律 等运算律，对算式进行适当变形，使运算过程简化。 对于互为相反数的两个数，可以优先结合相加，其和为0。 对于分母相同的分数或容易通分的分数，可以优先结合运算。 在进行除法运算时，除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。 列题确解析 例1：计算3+5×(-2-（-12)÷4 解： 3+5×(-2)-(-12)÷4 =3+（-10)-（-3) =3-10+3 =-7+3 =-4 例2：计算-14-(1-0.5)×青×[2-(-3)] 解： -14-(1-0.5)××[2-(-3)] =-1-0.5×青×[2-9] =-1-是×专×(-7) =-1-吉×(-7) =-1+ 例3：计算(-3)‘×[-号+（-号)]+14÷(-7) (-3)°×[-+(-)]+14÷(-7) =9×- -]+(-2 =9×(-号)+(-2) =-11+（-2) =-13 例4：计算（注-+立）×（-24)+(-3)°÷(-3) 解： (年-+)×(-24)+(-3)÷（-3) =京×(-24)-支×(-24)+立×(-24)+(-27÷(-3)=(-6)-(-12)+(-2)+9 =-6+12-2+9 =6-2十9 =4+9 =13 巩固练习 一、选择题 1.计算(3-2×（一1)的结果是() A.5 B.1 C.-1 D.-5 2.下列计算正确的是() A. (-32=9 B. (-3)2=6 C. -32=-9 D. -（-3)=9 3.计算(-2)+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)÷(-2)的结果是() A.-54 B.-57 c.-57.5 D.-61 4.算式(10-(1-0.3)÷寺×[(-2)-2)的运算顺序是() A.减、减、乘、除、乘方 B.乘方、减、减、除、乘 C.乘方、减、除、乘、减 D.减、乘方、除、乘、减 5.若(a=-1),(b=-2),则(a2-2ab)的值为() A.-5 B.5 C.-3 D.3 二、填空题 1.计算： (-2+(-3)×4=( 2023 2.计算： =0 3.计算： 4. 若a=3,b2=4,且(ab<0),则a-b=( 5.定义一种新运算“*”，规则为(a*b=a2-b),则(-2)*3=()。 三、解答题 1.计算：18-6÷(-2)×(-青) 2.计算： -22+5-8+24÷(-3)×青 3.计算：(3-立-)×(-60) 4.计算：-14-（1-0.4)÷青×[(-2)2-6 5.计算：(-3×(-)2+(-3)÷(-) 6.计算： 25×-（-25)×吉+25×(-寺) 2023 7. 计算：-23÷号×(-)2+(- 8.已知(x=-1,(y=2,求代数式3xy-[2y2-2(y-xy)+y]+3xy2)的值。 参考答案 一、选择题 1.A 解析：3-2×(-1)=3+2=5。 2.C 解析：A.(-32=-9刃：B.(-3)=9列：c(-32=-9刃：D(-（-3)=-9 3.c 解析 (-2)+(-3)×[0-4)2+2-(-3)2÷(-2 =-8+(-3)×(16+2-9÷(-2) =-8+(-3)×18+4.5 =-8-54+4.5 =-62+4.5 =-57.5 4.C 解析：先算小括号内的减法和中括号内的乘方，再算除法，然后算乘法，最后算减法。 5.c 解析：a2-2ab= (-1-2×(-1)×(-2) =1-4 =-3。 二、填空题 1.-14 解析：-2+(-3)×4=-2-12=-14。 2.0 解析：(-1)2023=-1，(-1)2024=1，所以(-1+1=0)： 3.-4 解析：（-)÷（-)×(-2)=(-)×(-号)×(-2)=2×(-2)=-4。 4.±5 解析：a=3,则(a=±3)：b2=4,则6=±2。(ab<0),则(a=3,(b=-2)或 (a=-3),(b=2)。(a-b=3-(-2)=5）或(a-b=-3-2=-5)。 5.1 解析：（-2)*3=(-2)2-3=4-3=1。 三、解答题 1.解： 18-6÷(-2)×(-青) =18-(-3)×(-青) =18-1 =17 2.解： -22+5-8+24÷(-3)×青 =-4+3+(-8)×青 =-4+3-号 =-1-号 =一号 3.解： (号-立-)×(-60) =号×(-60)-立×(-60)-×(-60) =-40+5+4 =-35+4 =-31 4.解： -14-(1-0.4)÷3×[(-2-6] =-1-0.6÷青×(4-6) =-1-月×3×(-2) =-1-号×（-2 =-1+9 =号 5.解 (-3×(-)2+(-3)÷(-) =（-27)×+9÷(（-吉) =-3+9×(-8) =-3-72 =-75 6.解： 25×-（-25)×3+25×(-) =25×+25×青-25× =25×(+支-) =25×(程-章+星) =25×1 =25 7.解： -23÷号×(-)2+(-)2023 =-8÷号×号+(-1) 9-=2--=(亿-)+×(1-)=？×(1-)+2×(1-)=￥ ‘出(Z=）(T-=x)杲 x+,x= x+x+0= Kx+(zAxg+zAx-)+(Azx8-AzX8)= zAxE十A2x8-X十zAxZ-2Xg= zAx8+[Azx8+Ax-2Axz]-Azx8= zAxg+[Ax+Azx8+Axz-zAxz]-Azx8= zAx8+[Ax+(Azx-Ax)-zAxZ]-AzX8 越8 6-= T-8-= T-T×8-= 【-×名×8-= 2.5 有理数的引入 学习目标 1. 掌握有理数混合运算的顺序，并能正确进行有理数的混合运算。 2. 能够熟练运用有理数的运算法则和运算律进行简便计算。 3. 培养严谨的逻辑思维能力和准确的计算能力，提高解决问题的效率。 知识点讲解 有理数的混合运算是指包含加、减、乘、除、乘方五种运算中两种或两种以上的运算。进行有理数的混合运算时，必须遵循以下运算顺序： 1. 先算乘方：即先计算有理数的乘方运算，得到幂的结果。 2. 再算乘除：在完成乘方运算后，按照从左到右的顺序进行乘法和除法运算。 3. 最后算加减：在乘除运算完成后，再按照从左到右的顺序进行加法和减法运算。 4. 同级运算：对于只有加减或者只有乘除的同级运算，按照从左到右的顺序依次进行。 5. 括号优先：如果算式中有括号，要先算括号里面的运算。括号的优先级是：小括号()优先于中括号[]，中括号[]优先于大括号{}。在括号内部，仍然遵循上述运算顺序。 运算技巧与注意事项： · 在进行运算时，要特别注意运算符号，尤其是负号的处理。 · 可以利用加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律以及乘法对加法的分配律等运算律，对算式进行适当变形，使运算过程简化。 · 对于互为相反数的两个数，可以优先结合相加，其和为0。 · 对于分母相同的分数或容易通分的分数，可以优先结合运算。 · 在进行除法运算时，除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。 例题解析 例1：计算 例2：计算 例3：计算 例4：计算 巩固练习 一、选择题 1. 计算的结果是（ ） A. 5 B. 1 C. -1 D. -5 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. -54 B. -57 C. D. -61 4. 算式的运算顺序是（ ） A. 减、减、乘、除、乘方 B. 乘方、减、减、除、乘 C. 乘方、减、除、乘、减 D. 减、乘方、除、乘、减 5. 若 ( a = -1 )，( b = -2 )，则的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -3 D. 3 二、填空题 1. 计算：。 2. 计算：。 3. 计算：。 4. 若 ，，且 ( ab < 0 )，则 a - b = 。 5. 定义一种新运算“”，规则为，则。 三、解答题 1. 计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 计算： 5. 计算： 6. 计算： 7. 计算： 8. 已知 ( x = -1 )，( y = 2 )，求代数式的值。 学科网（北京）股份有限公司 $