空间向量与立体几何：数量积、坐标运算、角度问题、距离问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何：数量积、坐标运算、角度问题、距离问题专项训练 空间向量与立体几何：数量积、坐标运算、角度问题、距离问题专项训练 考点目录 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 空间向量法求解空间角度问题 空间向量法求解空间距离问题 考点一 空间向量的数量积 1．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 2．（25-26高二上·河北·阶段练习）在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 4．（25-26高二上·河北·阶段练习）在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（25-26高二上·河南·阶段练习·多选）在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在平面内 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当，P，M三点共线时， D．当时，的最大值为 6．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习·多选）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 7．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为 ． 8．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）如图，已知正三角形和正方形的边长均为3，且二面角的大小为，则 ．      9．（25-26高二上·云南·阶段练习）如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则 .    10．（25-26高二上·河北·阶段练习）已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是 . 11．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，． (1)求的长度； (2)求与夹角的余弦值． 12．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设. (1)用表示，并求； (2)求． 13．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 14．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 考点二 空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知，，平面的一个法向量为，若平面，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）向量，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·新疆喀什·阶段练习）已知向量，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26高二上·新疆喀什·阶段练习）空间中，若向量共面，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高二上·贵州毕节·阶段练习）若，，则（      ） A． B． C．8 D．10 6．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习·多选）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习·多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 8．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段练习·多选）在空间直角坐标系中，，，，则（ ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 9．（24-25高二下·福建宁德·期末）在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则 . 10．（25-26高二上·河北·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 11．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知空间向量，若，则 12．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）已知向量. (1)若，分别求与的值； (2)若，且与垂直，求. 13．（25-26高二上·宁夏·阶段练习）已知，，求： (1)的值： (2)与夹角的余弦值. 14．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 考点三 空间向量法求解空间角度问题 1．（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北·开学考试）若直线l的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值为，则直线l与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，，则折后二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川眉山·阶段练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建泉州·阶段练习）棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 9．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 10．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 11．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点. (1)证明：平面； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 12．（25-26高三上·海南海口·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，． (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 13．（25-26高三上·重庆·开学考试） 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. (1)证明: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 14．（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）如图所示的多面体是由底面为的长方体被平面所截而得到的，其中. (1)求线段的长； (2)求二面角的余弦值. 15．（25-26高三上·福建·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，Q为棱PD的中点，，． (1)求证: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 考点四 空间向量法求解空间距离问题 1．（24-25高二下·江西·期末）已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西运城·期中）已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 6．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 7．（25-26高二上·河北·阶段练习）已知点，点，点，则点到直线的距离为 . 8．（25-26高二上·四川广元·阶段练习）在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为 . 9．（25-26高二上·河南·阶段练习）在空间直角坐标系中，点，已知直线l经过点，且l的方向向量． (1)求； (2)求点M到直线l的距离． 10．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 11．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点. (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 12．（25-26高二上·山东德州·阶段练习）如图所示，正方体的棱长为1，若F是的中点， (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求到平面的距离． 13．（25-26高三上·天津·阶段练习）如图，且，，且，且，平面，. (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 14．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点. (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：数量积、坐标运算、角度问题、距离问题专项训练 空间向量与立体几何：数量积、坐标运算、角度问题、距离问题专项训练 考点目录 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 空间向量法求解空间角度问题 空间向量法求解空间距离问题 考点一 空间向量的数量积 1．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以. 故选：D 2．（25-26高二上·河北·阶段练习）在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设平行六面体棱长为，， 且，， ， 在上的投影向量为. 故选：D. 3．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，， ， . 方法二：由题意得， ， ， 堑堵为直三棱柱，且， ． 故选：B. 4．（25-26高二上·河北·阶段练习）在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】设正四面体的棱长为. 由正四面体结构性质可知， 而 故， 故选：B. 5．（25-26高二上·河南·阶段练习·多选）在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在平面内 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当，P，M三点共线时， D．当时，的最大值为 【答案】BC 【详解】对于A选项，易得，故，则共面，又有公共点，故点P在平面内，故A错误； 对于B选项，取的中点N，连接， 则，，则，， 则四边形为平行四边形， 则当时，，， 可知此时点P的轨迹为线段AN，其长度为， 故B正确； 对于C选项，由，与三点共线，可知，故C正确； 对于D选项，显然为一组正交基底， 而， 故 ， 而， 故， 因，，故当，时，最大为， 此时不满足，故的最大值不为，故D错误． 故选：BC．    6．（25-26高二上·广东深圳·阶段练习·多选）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】AC 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为1 ，且彼此夹角都是， 所以，. 对于A，因为， 所以， ，故A正确； 对于B，因为, 且, 即不成立，故B错误； 对于C，，所以， 所以, 所以向量与夹角是，故C正确； 对于D，， ， 而， ， ，故D错误. 故选：AC 7．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为 ． 【答案】 【详解】由题设，，， 所以 ， 所以. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）如图，已知正三角形和正方形的边长均为3，且二面角的大小为，则 ．      【答案】 【详解】设分别为的中点，连接，    在正三角形中，，且， 在正方形中，， 则为二面角的平面角，即， 故 ， 故答案为： 9．（25-26高二上·云南·阶段练习）如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则 .    【答案】 【详解】如下图所示：   ， 平行六面体棱长均为1， ， 又 ，，， ． 故答案为：． 10．（25-26高二上·河北·阶段练习）已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是 . 【答案】 【详解】    设侧棱长为，则长为, 由题意， 又， 其中， 故，， 又， 故 即， 又， 所以， 所以， 即侧棱长的取值范围是， 故答案为： 11．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，． (1)求的长度； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因 则，， 于是. 又， 则， 故. （2）因为， 则， 故， 又则，故， 则， 则， 故与夹角的余弦值为． 12．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以.    13．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：. （2）证明：因为， ， 所以． （3）解：因为， 所以， ． 所以，所以．    14．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：以为基底向量，则，. 所以所以， 所以，所以． （2）由（1）可得，. 所以，， 所以，即的长为． 考点二 空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知，，平面的一个法向量为，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 又因为平面的一个法向量为，且平面， 所以，则，即， 故选：D 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量， 则. 故选：C. 3．（25-26高二上·新疆喀什·阶段练习）已知向量，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】由题设， 所以. 故选：B 4．（25-26高二上·新疆喀什·阶段练习）空间中，若向量共面，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由向量共面知，，则， 所以，可得. 故选：C 5．（25-26高二上·贵州毕节·阶段练习）若，，则（      ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【详解】由题得，， ， 则． 故选：． 6．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习·多选）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 7．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习·多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】ABC 【详解】对于选项A，若，则，解得，故选项A错误； 对于选项B，若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C，若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D，在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：ABC. 8．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段练习·多选）在空间直角坐标系中，，，，则（ ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 【答案】BD 【详解】，，，故A错误； ，所以，故B正确； ，设异面直线与所成角为， 则，故C错误； 到直线的距离为，故D正确． 故选：BD 9．（24-25高二下·福建宁德·期末）在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则 . 【答案】5 【详解】因为点是点关于平面的对称点，所以点的坐标为， 所以. 故答案为：5. 10．（25-26高二上·河北·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 11．（25-26高二上·河北邢台·阶段练习）已知空间向量，若，则 【答案】16 【详解】，因为，所以， 所以. 故答案为： 12．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）已知向量. (1)若，分别求与的值； (2)若，且与垂直，求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由得, 所以，解得； （2）因为，且， 所以，化简得， 解之得. 13．（25-26高二上·宁夏·阶段练习）已知，，求： (1)的值： (2)与夹角的余弦值. 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）因为，所以，解得，， 所以，， 又，则，即，得， 于是，则. （2）由（1）得，，设与的夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 14．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)； (3). 【详解】（1）由题设，所以； （2）由（1），又， 所以，可得，即， 所以，则； （3）由（1）， ， 由，则， 所以，则. 考点三 空间向量法求解空间角度问题 1．（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 2．（25-26高二上·河北·开学考试）若直线l的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值为，则直线l与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线l与平面所成的角为，由题意可得， 由于，得，得． 故选：D 3．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，，则折后二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，平面平面，如图，连接． 因为四边形是菱形，是的中点，所以， 又平面平面平面，所以平面， 又平面，所以，从而两两互相垂直． 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 令，则，，，，，， 则，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 故选：A．    4．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 因为向量是平面的一个法向量， 所以. 因为，所以. 所以. 因为，所以当时，取最小值为. 此时取最大值为. 故选：A.    5．（25-26高二上·四川眉山·阶段练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A．    6．（25-26高二上·福建泉州·阶段练习）棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面， 因为平面，所以， 因为在正四面体中，是等边三角形， 则，是的中心， 则， 由题意得，则， 所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系： 设与轴正半轴所成的角为，则，， 所以， 设直线与直线所成的角为， 所以， 因为，所以. 故选：A. 7．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 10．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2）由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 11．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，连接与相交于点，连接， 正方形的对角线和交于点， 又，， 又平面，平面，平面.    （2）如图，因为平面平面，平面平面，过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面， 又因为，则以为坐标原点，向量，方向分别为，轴的正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 又由，，，可得点的坐标为，点的坐标为， 设平面的法向量为，由，， 有，取，，，可得平面的一个法向量为， 又由，有， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 12．（25-26高三上·海南海口·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．    (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，    因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以， 又为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以． （2）设四棱锥的高为， 由题设，得，则， 由题设知，所以底面， 因为底面，所以， 故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系，    则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以， 设平面与平面的夹角为，则，所以， 即平面与平面的夹角正弦值为． 13．（25-26高三上·重庆·开学考试） 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点.    (1)证明: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为直角梯形，，，， 则，则 ，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； （2）以为原点，为基底建立空间直角坐标系，    则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 14．（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）如图所示的多面体是由底面为的长方体被平面所截而得到的，其中. (1)求线段的长； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由长方体性质可知，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，同理可得，所以为平行四边形，所以， 过点作，垂足为，则， 所以，所以， 由长方体性质可知，平面，平面， 所以，所以. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为， 易知为平面的一个法向量， ， 由图可知二面角为锐角，记为，则. 15．（25-26高三上·福建·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，Q为棱PD的中点，，． (1)求证: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面． （2）因为底面为正方形，由（1）知平面， 所以，，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系， 因为，Q为棱PD的中点， 所以， 可得，. 因为平面， 所以为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，则， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面夹角的余弦值为． 考点四 空间向量法求解空间距离问题 1．（24-25高二下·江西·期末）已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，又， 点到平面的距离为， 故选：B 2．（25-26高二上·山东泰安·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得，线段的中点， 则， 所以点到直线的距离. 故选：D 3．（24-25高二上·山西运城·期中）已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，以的正方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点到平面的距离． 故选：D 5．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ． 【答案】/ 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，    所以， 则点到直线的距离. 故答案为： 6．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 7．（25-26高二上·河北·阶段练习）已知点，点，点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】因为点，点，点， 所以， 取 则， 得点到直线的距离为：， 故答案为： 8．（25-26高二上·四川广元·阶段练习）在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为 . 【答案】 【详解】为的中点， ， 又平面， 平面， 点到平面的距离即为直线到平面的距离， 以点为原点，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则点，， 设平面的法向量为，则，令，则，， 平面的法向量为， ， ． 故答案为：． 9．（25-26高二上·河南·阶段练习）在空间直角坐标系中，点，已知直线l经过点，且l的方向向量． (1)求； (2)求点M到直线l的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点，点， 所以. （2）因为点，点，所以，   过点M作直线l的垂线，垂足为Q，，   点M到直线l的距离．    10．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的坐标为或，理由见解析， 【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 因为四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为为中点，，所以. 又，平面， 所以平面， （2） 由（1）平面，平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为四边形为正方形，所以， 平面，， 所以平面，平面，所以， 因为为的中点，，所以， ，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，所以平面，平面， 所以，故， 由（1）平面，平面， 所以，故，又， 所以，所以， 由已知，，， 所以，故， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，易知， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 平面ABCD的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， （3）因为，，所以， 设，， 所以，所以，所以. 由（2）知平面的一个法向量为， 所以，解得或， 所以点的坐标为或. 11．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）图①平面四边形中，，，，以BE为轴将折起至，如图②得四棱锥，为中点，为线段上动点.    (1)求异面直线所成的角的余弦值 (2)求面积的最小值及对应的值 (3)求点M到EF的距离的取值范围. 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理，得， 所以，从而, 所以,即. 连接，因为 所以为正三角形，所以. 又因为,, 所以,即， 又因为平面，， 所以平面， 又因为，所以，即， 所以以点为坐标原点，建系如图，    则, , 设异面直线所成的角为， 则. （2）设, 所以, 所以， 因为为中点，所以,所以, 设点到直线的距离为， 则. 二次函数，， 当时，二次函数有最小值， 最小值为. 此时到直线的距离最小，最小值为， 又因为， 所以此时面积最小，最小值为， 此时，即. （3）由（2）知，， 当时，二次函数有最大值，最大值为， 所以 ， 所以点M到EF的距离的取值范围为. 12．（25-26高二上·山东德州·阶段练习）如图所示，正方体的棱长为1，若F是的中点，    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、，、、、，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）设平面的法向量为，， 则，取，可得， 因为，则点到平面的距离为. 13．（25-26高三上·天津·阶段练习）如图，且，，且，且，平面，. (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：由已知，平面，，平面，平面， 所以相互垂直，则以点为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则， 又为的中点，为的中点，所以. 设为平面的法向量，又， 所以，令，则，， 又，所以， 即，而平面，所以平面. （2）由（1）可得. 设为平面的法向量，为平面的法向量， 所以，令，则，， ，令，则，， 所以， 即得平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为，平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即点到平面的距离. 由（2）可得平面的法向量，又由（1）可得， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. 14．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $