22.2　二次函数与一元二次方程 导学案 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

XXX中学案 姓名 班级 完成情况 课题 22.2　二次函数与一元二次方程 素养目标 1.理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 2.会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 3.在教学中渗透数形结合的数学思想方法，会用数学的语言表达现实世界. 教学重点 掌握二次函数与一元二次方程之间的关系 教学难点 理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 学案 【课堂引入】 “在刚刚过去的杭州亚运会上，我国跳水运动员全红婵再次上演‘水花消失术’， 以一条优美的空中轨迹征服了全场。同学们，你们知道吗？这条完美的空中曲线， 正是我们正在学习的二次函数！” 【自主学习】 物理学家和工程师通过分析发现，运动员在10米跳台跳水时，其重心相对于跳台的高度 (y米) 与时间 (x秒) 的函数关系，可以近似地用二次函数来模拟。 假设在一次跳水动作中，全红婵重心运动的函数关系为：y = -5x² + 5x + 10 请思考并回答： 1.情境理解:函数式 y = -5x² + 5x + 10 中，常数项 10 代表了什么实际意义？（提示：10米跳台） 2.核心探索(从函数到方程)：请问在运动员入水瞬间，她的重心与跳台的高度关系是怎样的？根据上面的关系，你能列出相应的方程吗？ 请解这个方程，并说明哪个解在本题情境下是合理的？这个解 x 的实际意义是什么？（即：从起跳到入水经过了多长时间？） 3. 数形结合(深化关系认知)：在下图所示的坐标系中， 已画出函数 y = -5x² + 5x + 10 的图像。 请在上面标出函数图像与x轴的交点A和B。 想一想，你刚才列出的方程 -5x² + 5x + 10 = 0 的解， 与图像上的交点A、B的横坐标有什么关系？ 问题二：已知二次函数：①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1. (1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ (2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 归纳提升： 当Δ 0时，方程有 的实数根，抛物线与x轴有 交点； 当Δ 0时，方程有 的实数根，抛物线与x轴 交点； 当Δ 0时，方程 ，抛物线与x轴 交点. 【合作探究】 已知二次函数（a为常数且）． (1)当函数图象经过，求该二次函数的表达式． (2)若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明． 【巩固训练】 二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 2．二次函数y＝x2－2x＋1与x轴的交点个数是( ) A．1个或2个 B．2个 C．1个 D．0个 已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【当堂检测】 抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于 A、B两点，点 则当时，x的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 学科网（北京）股份有限公司 $