2.2有理数的加减运算 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

1.1 有理数的加减运算 学习目标 1. 理解有理数加法、减法的意义。 2. 掌握有理数加法、减法法则，并能熟练进行有理数的加减运算。 3. 理解有理数减法可以转化为加法，并体会转化的数学思想。 4. 能够运用有理数的加减运算解决简单的实际问题。 知识点讲解 1. 有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 例如：(+5) + (+3) = +(5 + 3) = +8；(-5) + (-3) = -(5 + 3) = -8。 （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例如：(+5) + (-5) = 0；(+5) + (-3) = +(5 - 3) = +2；(-5) + (+3) = -(5 - 3) = -2。 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 例如：。 2. 有理数加法的运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 运算律的应用可以简化运算，例如：互为相反数的两个数先相加；同分母的分数先相加（若涉及）；能凑成整数的数先相加。 3. 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示为： 例如：；。 例题解析 例1计算下列各题： （1）(-8) + (-5) （2）(+12) + (-7) （3） + （4） 例2计算下列各题（运用运算律简化计算）： （1）(+23) + (-17) + (+7) + (-13) （2） + + + + 例3计算下列各题： （1）(-15) - (-7) （2）(+8) - (+10) （3） （4）(-3) - (+5) + (-4) - (-9) 例4某日北京的气温是 ，这天北京的温差是多少摄氏度？ 巩固练习 选择题（每题只有一个正确答案） 1. 计算 (-3) + (-9) 的结果是（ ） A. B. C. 6 D. 12 2. 下列计算正确的是（ ） A. (-5) + (+3) = -8 B. (-5) - (-3) = -2 C. (+5) + (-6) = +1 D. (+5) - (+6) = +1 3. 两个有理数的和为负数，则这两个数（ ） A. 都是负数 B. 一个正数一个负数 C. 至少有一个负数 D. 无法确定 4. 计算 (-20) + (+3) - (-5) - (+7) 的结果是（ ） A. B. C. 19 D. 29 5. 有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值（ ）（注：此处原题应有图，但根据要求不包含图形，故假设为：a 在原点左侧，b 在原点右侧，且 |a| > |b|） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定 填空题 1. (-6) + (+2) = _______。 2. 比 大 5 的数是 _______。 3. 若 ，，则 _______。 4. 计算：(-12) + (+18) - (-5) = _______。 5. 已知 ，，且 x < y，则 的值为 _______。 解答题 1. 计算下列各题： （1）(-24) + (+18) + (-12) + (+35) （2） 2. 用简便方法计算： （1）(+14) + (-25) + (+36) + (-11) + (-19) （2） + + + 3. 计算： 4. 一辆出租车在东西走向的大街上行驶，规定向东为正，向西为负，某天自 A 地出发所走的路程（单位：千米）为：，，，，，，。 （1）收工时，出租车在 A 地的哪边？距 A 地多少千米？ （2）若每千米耗油 0.2 升，问从 A 地出发到收工时，共耗油多少升？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 有理数的加减运算 学习目标 1. 理解有理数加法、减法的意义。 2. 掌握有理数加法、减法法则，并能熟练进行有理数的加减运算。 3. 理解有理数减法可以转化为加法，并体会转化的数学思想。 4. 能够运用有理数的加减运算解决简单的实际问题。 知识点讲解 1. 有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 例如：(+5) + (+3) = +(5 + 3) = +8；(-5) + (-3) = -(5 + 3) = -8。 （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例如：(+5) + (-5) = 0；(+5) + (-3) = +(5 - 3) = +2；(-5) + (+3) = -(5 - 3) = -2。 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 例如：。 2. 有理数加法的运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 运算律的应用可以简化运算，例如：互为相反数的两个数先相加；同分母的分数先相加（若涉及）；能凑成整数的数先相加。 3. 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示为： 例如：；。 例题解析 例1计算下列各题： （1）(-8) + (-5) 解：(-8) + (-5) （2）(+12) + (-7) 解：(+12) + (-7) （3） + 解： + （4） 解： 例2计算下列各题（运用运算律简化计算）： （1）(+23) + (-17) + (+7) + (-13) 解：(+23) + (-17) + (+7) + (-13) （2） + + + + 解： + + + + 例3计算下列各题： （1）(-15) - (-7) 解：(-15) - (-7) （2）(+8) - (+10) 解：(+8) - (+10) （3） 解： （4）(-3) - (+5) + (-4) - (-9) 解：(-3) - (+5) + (-4) - (-9) 例4某日北京的气温是 ，这天北京的温差是多少摄氏度？ 解：温差 = 最高气温 - 最低气温 答：这天北京的温差是 。 巩固练习 选择题（每题只有一个正确答案） 1. 计算 (-3) + (-9) 的结果是（ ） A. B. C. 6 D. 12 2. 下列计算正确的是（ ） A. (-5) + (+3) = -8 B. (-5) - (-3) = -2 C. (+5) + (-6) = +1 D. (+5) - (+6) = +1 3. 两个有理数的和为负数，则这两个数（ ） A. 都是负数 B. 一个正数一个负数 C. 至少有一个负数 D. 无法确定 4. 计算 (-20) + (+3) - (-5) - (+7) 的结果是（ ） A. B. C. 19 D. 29 5. 有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的值（ ）（注：此处原题应有图，但根据要求不包含图形，故假设为：a 在原点左侧，b 在原点右侧，且 |a| > |b|） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定 填空题 1. (-6) + (+2) = _______。 2. 比 大 5 的数是 _______。 3. 若 ，，则 _______。 4. 计算：(-12) + (+18) - (-5) = _______。 5. 已知 ，，且 x < y，则 的值为 _______。 解答题 1. 计算下列各题： （1）(-24) + (+18) + (-12) + (+35) （2） 2. 用简便方法计算： （1）(+14) + (-25) + (+36) + (-11) + (-19) （2） + + + 3. 计算： 4. 一辆出租车在东西走向的大街上行驶，规定向东为正，向西为负，某天自 A 地出发所走的路程（单位：千米）为：，，，，，，。 （1）收工时，出租车在 A 地的哪边？距 A 地多少千米？ （2）若每千米耗油 0.2 升，问从 A 地出发到收工时，共耗油多少升？ 五、巩固练习参考答案 选择题 1. A 解析：(-3) + (-9) = -(3 + 9) = -12，故选A。 2. B 解析：A. (-5) + (+3) = -(5 - 3) = -2，故A错误； B. (-5) - (-3) = (-5) + 3 = -2，故B正确； C. (+5) + (-6) = -(6 - 5) = -1，故C错误； D. (+5) - (+6) = 5 + (-6) = -1，故D错误。 故选B。 3. C 解析：两个有理数的和为负数，有三种情况：①两个都是负数；②一个负数一个正数，且负数的绝对值较大；③一个负数一个零。故至少有一个负数，选C。 4. A 解析：(-20) + (+3) - (-5) - (+7) ，故选A。 5. B 解析：由题意知 a 为负，b 为正，且 |a| > |b|，根据异号两数相加法则，取绝对值较大的符号，故 ，选B。 填空题 1. 解析：(-6) + (+2) = -(6 - 2) = -4。 2. 2 解析：比 大 5 的数是 。 3. 1 解析：。 4. 11 解析：(-12) + (+18) - (-5) 。 5. 或 解析：因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 又因为 x < y， 当 时，x 只能为 ，此时 ； 当 时，x 只能为 ，此时 。 故 的值为 或 。 解答题 1. （1）解：(-24) + (+18) + (-12) + (+35) （2）解： 2. （1）解：(+14) + (-25) + (+36) + (-11) + (-19) （2）解： + + + 3. 解： （将 化为 ， 化为 ，0.8 化为 ） （将 化为 ） （约分 为 ） （通分，分母为15） 4. （1）解：(+10) + (-3) + (+4) + (-2) + (+8) + (-5) + (-2) 答：收工时，出租车在 A 地的东边，距 A 地 10 千米。 （2）解：总路程为各段路程绝对值之和： （千米） 耗油量 = 总路程 （升） 答：共耗油 6.8 升。 学科网（北京）股份有限公司 $