3.3《 垂径定理》（2）同步练习 — 2025--2026学年浙教版九年级数学上册

3.3《 垂径定理》（2）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练 一、基础应用 1．下列命题正确的是（　　） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 2．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4．如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为　 　． 7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=6，则BE=　 　. 8．如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径． 9．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 二、能力提升 10．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（　　） A． B． C． D． 11．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，则最少使用的次数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别为和的中点，0M，ON分别交AB，AC于点E，F，则∠MON的度数为(　　) A．110° B．120 C．130° D．100° 13．如图，石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱所在圆的半径OA＝　 　m． 14．一条排水管横截面如图所示，已知排水管半径，水面宽，若管内水面下降，则此时水面宽等于　 　m． 15．已知：如图，在⊙O中，．求证：弦AB∥CD． 16．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为，的中点，MN分别交AB，AC于点E，F．判断△AEF的形状并给予证明． 17．某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度． 三、综合拓展 18．“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． （1）求该圆的半径． （2）若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 19．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； （2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】4m 7．【答案】1 8．【答案】解：连接CO，如图： ∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O， ∴EM⊥CD，且． 在Rt△OCM中，令⊙O的半径为r m，EM=6m， ∵OC2＝OM2＋CM2， ∴， 解得：． 9．【答案】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】 14．【答案】1.2 15．【答案】证明：过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E， ∴ ∵． ∴， ∴OE⊥CD， ∴AB∥CD． 16．【答案】解：△AEF是等腰三角形． 证明：如图，连结OM，ON，分别交AB，AC于点P，Q． ∵M，N分别为，的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠MPE=∠NQF=90°， ∴∠PEM=90°-∠M，∠QFN=90°-∠N． ∵OM=ON，∴∠M=∠N， ∴∠PEM=∠QFN． 又∵∠AEF=∠PEM，∠AFE=∠QFN， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形． 17．【答案】（1）解：垂直平分， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， （米）． 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得． 即该圆弧所在圆的半径为5米. （2）解：过点作于点，连接，如图所示： ， ． ∵， ∴四边形为矩形， ， 在中，． ， ． ． 即支撑杆的高度为1米． 18．【答案】（1）解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）解：如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 19．【答案】（1）解：根据题意，得，， ，，， 设抛物线的表达式为， 将代入表达式，得， 解得：， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，设圆心为，连接交于点，连接， ，， ， ， ， 在中，有， ， 解得：， ∴该圆弧所在圆的半径为12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，如图，设，过点作交弧于点，过点作交于点，连接， ， 在中，有， ， ， ， ， 米米， 货船能顺利通过该桥． 学科网（北京）股份有限公司 $