1.2 从立体图形到平面图形 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

从立体图形到平面图形 学习目标 1. 能够区分常见的立体图形和平面图形。 2. 理解立体图形的构成要素（点、线、面）。 3. 掌握将简单立体图形展开成平面图形的方法，并能识别给定平面图形是否为某个立体图形的展开图。 4. 理解从不同方向观察立体图形得到平面图形（三视图初步）的思想。 知识点讲解 1. 立体图形与平面图形 · 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。它们具有占有空间、有体积的特点。 · 平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形，如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等。它们只有面积，没有体积。 2. 立体图形的构成要素 · 点：线与线相交的地方。 · 线：面与面相交的地方。线有直线和曲线之分。 · 面：包围着立体图形的部分。面有平面和曲面之分。 · 结论：点动成线，线动成面，面动成体。 3. 平面展开图 · 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的平面展开图。 · 注意：同一个立体图形，按不同的方式展开，得到的平面展开图可能不同。 4. 从不同方向看立体图形 · 我们可以从不同方向观察立体图形，得到不同的平面图形。通常从正面、左面（或右面）、上面三个方向观察，所得到的平面图形分别称为主视图（正视图）、左视图（侧视图）、俯视图。 例题解析 例题1：请指出下列几何图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形？ （1）三角形；（2）正方体；（3）圆；（4）圆柱；（5）长方形；（6）圆锥。 解析：平面图形是各部分都在同一平面内的图形，立体图形是各部分不都在同一平面内的图形。 （1）三角形的各部分都在同一平面内，是平面图形。 （2）正方体占有空间，各部分不都在同一平面内，是立体图形。 （3）圆的各部分都在同一平面内，是平面图形。 （4）圆柱占有空间，各部分不都在同一平面内，是立体图形。 （5）长方形的各部分都在同一平面内，是平面图形。 （6）圆锥占有空间，各部分不都在同一平面内，是立体图形。 答案：平面图形：（1）（3）（5）；立体图形：（2）（4）（6）。 例题2：一个立体图形的表面展开图由三个长方形和两个三角形组成，这个立体图形可能是什么？ 解析：我们需要根据平面展开图的构成来推断立体图形。 首先，两个三角形通常可以作为立体图形的底面。 其次，三个长方形通常作为连接两个底面的侧面。 有两个三角形底面和三个长方形侧面的立体图形是三棱柱。 答案：这个立体图形可能是三棱柱。 例题3：下列说法中，正确的是（ ） A. 圆柱的侧面展开图一定是正方形 B. 正方体的所有面都是正方形，所以它的展开图也一定都是由正方形组成的 C. 球没有平面展开图 D. 圆锥的侧面展开图是一个三角形 解析： A选项：圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形，如果圆柱的高与底面圆周长相等），所以“一定是正方形”的说法错误。 B选项：正方体的每个面都是正方形，因此它的平面展开图必然是由6个正方形组成的，该说法正确。 C选项：球是由一个曲面围成的，它没有平面展开图，该说法正确。 D选项：圆锥的侧面展开图是一个扇形，而不是三角形，该说法错误。 答案：B、C 例题4：一个几何体，从正面看得到的图形是一个长方形，从上面看得到的图形也是一个长方形，从左面看得到的图形还是一个长方形。请问这个几何体可能是什么？ 解析：我们需要根据从不同方向观察得到的视图形状来推断几何体。 从正面、上面、左面看都是长方形。 长方体（或正方体，正方体是特殊的长方体）具有这样的特征：当长方体的长、宽、高不都相等时，三视图都是长方形；当长、宽、高都相等即为正方体时，三视图都是正方形，而正方形是特殊的长方形。 因此，这个几何体可能是长方体（包含正方体）。 答案：这个几何体可能是长方体（或正方体）。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列图形中，属于立体图形的是（ ） A. 线段 B. 圆 C. 长方体 D. 三角形 2. 下面几何体中，含有曲面的是（ ） A. 正方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 长方体 3. 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，至少需要剪开的棱的条数是（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 4. 下列平面图形中，不可能是圆锥展开图的是（ ） A. 一个圆和一个扇形 B. 两个圆和一个长方形 C. 一个扇形 D. 以上都不对 5. 从某个方向观察一个立体图形，看到的图形是圆，那么这个立体图形不可能是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 正方体 6. 下列说法正确的是（ ） A. 平面图形都能围成立体图形 B. 立体图形都有平面展开图 C. 三棱锥有4个面，都是三角形 D. 长方体的表面展开图一定是由6个大小完全相同的长方形组成 二、填空题 1. 面与面相交成________，线与线相交成________。 2. 正方体有________个面，________条棱，________个顶点。 3. 圆柱的侧面展开图通常是一个________形；圆锥的侧面展开图是一个________形。 4. 一个几何体，从正面看是三角形，从左面看是三角形，从上面看是带圆心的圆，这个几何体是________。 5. 由平面图形围成的立体图形又叫做________，常见的有________、________（至少写出两种）。 6. 点动成________，线动成________，面动成________。 三、解答题 1. 请列举出至少三种你学过的平面图形和至少三种你学过的立体图形。 2. 指出下列几何体分别由几个面组成，这些面中哪些是平面，哪些是曲面？ （1）圆柱 （2）圆锥 （3）正方体 3. 一个立体图形的平面展开图由4个三角形和1个四边形组成，你认为这个立体图形是什么？并简述理由。 巩固练习答案解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：线段、圆、三角形都是平面图形，长方体是立体图形。故选C。 2. 答案：C 解析：正方体、三棱柱、长方体的面都是平面，圆锥的侧面是曲面。故选C。 3. 答案：C 解析：正方体有12条棱，要展开成一个平面图形，必须有5条棱连接（因为展开图有6个面，每两个相邻面共用一条棱，6个面有5条公共棱），所以至少需要剪开条棱。故选C。 4. 答案：B 解析：圆锥的展开图是一个扇形和一个圆形（底面），选项B是圆柱的展开图（两个圆形和一个长方形）。故选B。 5. 答案：D 解析：球从任何方向看都是圆；圆柱从上下底面方向看是圆；圆锥从顶点正上方看是圆（包含圆心）；正方体从任何方向看都不可能是圆。故选D。 6. 答案：C 解析： A选项，例如圆是平面图形，但不能单独围成立体图形，所以错误。 B选项，球没有平面展开图，所以错误。 C选项，三棱锥有4个面，底面是三角形，三个侧面也是三角形，所以正确。 D选项，长方体的表面展开图是由6个长方形组成，但这6个长方形不一定大小完全相同（只有正方体才是），所以错误。 故选C。 二、填空题 1. 答案：线；点 解析：几何基本概念：面与面相交成线，线与线相交成点。 2. 答案：6；12；8 解析：正方体的基本特征：6个正方形的面，12条长度相等的棱，8个顶点。 3. 答案：长方；扇 解析：圆柱侧面沿高剪开是长方形（特殊情况是正方形）；圆锥侧面展开是扇形。 4. 答案：圆锥 解析：从上面看是带圆心的圆，说明底面是圆；从正面和左面看是三角形，符合圆锥的特征（顶点到底面圆周的连线构成三角形视图）。 5. 答案：多面体；棱柱；棱锥（答案不唯一，如正方体、长方体等也可） 解析：由平面图形围成的立体图形称为多面体。常见的多面体有棱柱、棱锥、正方体、长方体等。 6. 答案：线；面；体 解析：几何基本原理：点动成线，线动成面，面动成体。 三、解答题 1. 答案： 平面图形：三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等（写出任意三种即可）。 立体图形：正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等（写出任意三种即可）。 解析：根据平面图形和立体图形的定义进行列举。 2. 答案： （1）圆柱由3个面组成；其中上下两个底面是平面，侧面是曲面。 （2）圆锥由2个面组成；底面是平面，侧面是曲面。 （3）正方体由6个面组成；所有面都是平面。 解析： （1）圆柱有上、下两个圆形底面（平面）和一个侧面（曲面）。 （2）圆锥有一个圆形底面（平面）和一个侧面（曲面）。 （3）正方体有6个正方形的面，都是平面。 3. 答案：这个立体图形可能是四棱锥。 理由：四棱锥有一个底面和四个侧面。如果底面是四边形，那么四个侧面就是三角形，所以它的平面展开图会由4个三角形（侧面）和1个四边形（底面）组成，符合描述。 解析：首先考虑具有多个三角形面的立体图形，棱锥的侧面都是三角形。底面是几边形就是几棱锥，有几个侧面三角形。4个三角形侧面对应底面是四边形，所以是四棱锥。其展开图正好是4个三角形和1个四边形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 从立体图形到平面图形 学习目标 1. 能够区分常见的立体图形和平面图形。 2. 理解立体图形的构成要素（点、线、面）。 3. 掌握将简单立体图形展开成平面图形的方法，并能识别给定平面图形是否为某个立体图形的展开图。 4. 理解从不同方向观察立体图形得到平面图形（三视图初步）的思想。 知识点讲解 1. 立体图形与平面图形 · 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。它们具有占有空间、有体积的特点。 · 平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形，如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等。它们只有面积，没有体积。 2. 立体图形的构成要素 · 点：线与线相交的地方。 · 线：面与面相交的地方。线有直线和曲线之分。 · 面：包围着立体图形的部分。面有平面和曲面之分。 · 结论：点动成线，线动成面，面动成体。 3. 平面展开图 · 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的平面展开图。 · 注意：同一个立体图形，按不同的方式展开，得到的平面展开图可能不同。 4. 从不同方向看立体图形 · 我们可以从不同方向观察立体图形，得到不同的平面图形。通常从正面、左面（或右面）、上面三个方向观察，所得到的平面图形分别称为主视图（正视图）、左视图（侧视图）、俯视图。 例题解析 例题1：请指出下列几何图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形？ （1）三角形；（2）正方体；（3）圆；（4）圆柱；（5）长方形；（6）圆锥。 解析：平面图形是各部分都在同一平面内的图形，立体图形是各部分不都在同一平面内的图形。 （1）三角形的各部分都在同一平面内，是平面图形。 （2）正方体占有空间，各部分不都在同一平面内，是立体图形。 （3）圆的各部分都在同一平面内，是平面图形。 （4）圆柱占有空间，各部分不都在同一平面内，是立体图形。 （5）长方形的各部分都在同一平面内，是平面图形。 （6）圆锥占有空间，各部分不都在同一平面内，是立体图形。 答案：平面图形：（1）（3）（5）；立体图形：（2）（4）（6）。 例题2：一个立体图形的表面展开图由三个长方形和两个三角形组成，这个立体图形可能是什么？ 解析：我们需要根据平面展开图的构成来推断立体图形。 首先，两个三角形通常可以作为立体图形的底面。 其次，三个长方形通常作为连接两个底面的侧面。 有两个三角形底面和三个长方形侧面的立体图形是三棱柱。 答案：这个立体图形可能是三棱柱。 例题3：下列说法中，正确的是（ ） A. 圆柱的侧面展开图一定是正方形 B. 正方体的所有面都是正方形，所以它的展开图也一定都是由正方形组成的 C. 球没有平面展开图 D. 圆锥的侧面展开图是一个三角形 解析： A选项：圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形，如果圆柱的高与底面圆周长相等），所以“一定是正方形”的说法错误。 B选项：正方体的每个面都是正方形，因此它的平面展开图必然是由6个正方形组成的，该说法正确。 C选项：球是由一个曲面围成的，它没有平面展开图，该说法正确。 D选项：圆锥的侧面展开图是一个扇形，而不是三角形，该说法错误。 答案：B、C 例题4：一个几何体，从正面看得到的图形是一个长方形，从上面看得到的图形也是一个长方形，从左面看得到的图形还是一个长方形。请问这个几何体可能是什么？ 解析：我们需要根据从不同方向观察得到的视图形状来推断几何体。 从正面、上面、左面看都是长方形。 长方体（或正方体，正方体是特殊的长方体）具有这样的特征：当长方体的长、宽、高不都相等时，三视图都是长方形；当长、宽、高都相等即为正方体时，三视图都是正方形，而正方形是特殊的长方形。 因此，这个几何体可能是长方体（包含正方体）。 答案：这个几何体可能是长方体（或正方体）。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 下列图形中，属于立体图形的是（ ） A. 线段 B. 圆 C. 长方体 D. 三角形 2. 下面几何体中，含有曲面的是（ ） A. 正方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 长方体 3. 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，至少需要剪开的棱的条数是（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 4. 下列平面图形中，不可能是圆锥展开图的是（ ） A. 一个圆和一个扇形 B. 两个圆和一个长方形 C. 一个扇形 D. 以上都不对 5. 从某个方向观察一个立体图形，看到的图形是圆，那么这个立体图形不可能是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 正方体 6. 下列说法正确的是（ ） A. 平面图形都能围成立体图形 B. 立体图形都有平面展开图 C. 三棱锥有4个面，都是三角形 D. 长方体的表面展开图一定是由6个大小完全相同的长方形组成 二、填空题 1. 面与面相交成________，线与线相交成________。 2. 正方体有________个面，________条棱，________个顶点。 3. 圆柱的侧面展开图通常是一个________形；圆锥的侧面展开图是一个________形。 4. 一个几何体，从正面看是三角形，从左面看是三角形，从上面看是带圆心的圆，这个几何体是________。 5. 由平面图形围成的立体图形又叫做________，常见的有________、________（至少写出两种）。 6. 点动成________，线动成________，面动成________。 三、解答题 1. 请列举出至少三种你学过的平面图形和至少三种你学过的立体图形。 2. 指出下列几何体分别由几个面组成，这些面中哪些是平面，哪些是曲面？ （1）圆柱 （2）圆锥 （3）正方体 3. 一个立体图形的平面展开图由4个三角形和1个四边形组成，你认为这个立体图形是什么？并简述理由。 巩固练习答案解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：线段、圆、三角形都是平面图形，长方体是立体图形。故选C。 2. 答案：C 解析：正方体、三棱柱、长方体的面都是平面，圆锥的侧面是曲面。故选C。 3. 答案：C 解析：正方体有12条棱，要展开成一个平面图形，必须有5条棱连接（因为展开图有6个面，每两个相邻面共用一条棱，6个面有5条公共棱），所以至少需要剪开条棱。故选C。 4. 答案：B 解析：圆锥的展开图是一个扇形和一个圆形（底面），选项B是圆柱的展开图（两个圆形和一个长方形）。故选B。 5. 答案：D 解析：球从任何方向看都是圆；圆柱从上下底面方向看是圆；圆锥从顶点正上方看是圆（包含圆心）；正方体从任何方向看都不可能是圆。故选D。 6. 答案：C 解析： A选项，例如圆是平面图形，但不能单独围成立体图形，所以错误。 B选项，球没有平面展开图，所以错误。 C选项，三棱锥有4个面，底面是三角形，三个侧面也是三角形，所以正确。 D选项，长方体的表面展开图是由6个长方形组成，但这6个长方形不一定大小完全相同（只有正方体才是），所以错误。 故选C。 二、填空题 1. 答案：线；点 解析：几何基本概念：面与面相交成线，线与线相交成点。 2. 答案：6；12；8 解析：正方体的基本特征：6个正方形的面，12条长度相等的棱，8个顶点。 3. 答案：长方；扇 解析：圆柱侧面沿高剪开是长方形（特殊情况是正方形）；圆锥侧面展开是扇形。 4. 答案：圆锥 解析：从上面看是带圆心的圆，说明底面是圆；从正面和左面看是三角形，符合圆锥的特征（顶点到底面圆周的连线构成三角形视图）。 5. 答案：多面体；棱柱；棱锥（答案不唯一，如正方体、长方体等也可） 解析：由平面图形围成的立体图形称为多面体。常见的多面体有棱柱、棱锥、正方体、长方体等。 6. 答案：线；面；体 解析：几何基本原理：点动成线，线动成面，面动成体。 三、解答题 1. 答案： 平面图形：三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等（写出任意三种即可）。 立体图形：正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等（写出任意三种即可）。 解析：根据平面图形和立体图形的定义进行列举。 2. 答案： （1）圆柱由3个面组成；其中上下两个底面是平面，侧面是曲面。 （2）圆锥由2个面组成；底面是平面，侧面是曲面。 （3）正方体由6个面组成；所有面都是平面。 解析： （1）圆柱有上、下两个圆形底面（平面）和一个侧面（曲面）。 （2）圆锥有一个圆形底面（平面）和一个侧面（曲面）。 （3）正方体有6个正方形的面，都是平面。 3. 答案：这个立体图形可能是四棱锥。 理由：四棱锥有一个底面和四个侧面。如果底面是四边形，那么四个侧面就是三角形，所以它的平面展开图会由4个三角形（侧面）和1个四边形（底面）组成，符合描述。 解析：首先考虑具有多个三角形面的立体图形，棱锥的侧面都是三角形。底面是几边形就是几棱锥，有几个侧面三角形。4个三角形侧面对应底面是四边形，所以是四棱锥。其展开图正好是4个三角形和1个四边形。 学科网（北京）股份有限公司 $