18.3 分式加法与减法 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.3分式的加法与减法 学习目标 1.理解并掌握分式加减法的运算法则。 2.能够正确运用分式的基本性质进行通分，将异分母分式化为同分母分式。 3.能熟练、准确地进行分式的加法与减法运算，并将结果化为最简分式。 4.培养运算能力和逻辑思维能力，体会转化的数学思想。 知识点讲解 一、同分母分式的加减法 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用字母表示为： 是士名=典 其中，(a以、(b以(c)是整式，且c≠0。 注意： 1.分子相加减时，要把每个分子看成一个整体，如果分子是多项式，需要添上括号，再去 括号进行加减运算。 2.运算结果必须化为最简分式或整式。 二、异分母分式的加减法 法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则 进行计算。 用字母表示为： 号士=器士箭=龄 bd 其中，(a以、(b以、(c、(d)是整式，且b≠0，d≠0，bd≠0。 关键步骤：通分。 通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母 的分式，叫做分式的通分。 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的方法： 1.取各分母系数的最小公倍数； 2.凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式： 3.同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母。 三、分式加减法的一般步骤 1.观察分母是否相同。 2.若分母相同，直接将分子相加减，分母不变。 3.若分母不同，先确定最简公分母，再进行通分，将异分母分式化为同分母分式。 4.按同分母分式加减法法则进行计算。 5.对结果进行约分，化为最简分式或整式。 例题解析 例1计算：多+方 X+V 解：原式=后 例2计算：哥- 3y 解：原式= -==3 x-V X-V 例3计算：会+最 解：原式=影+器=器+畿 13y 22x 3y = 3+4x 6XV 例4计算：6一 a-b a(a-b)8atb b 解：原式=a+ba可一市=a+ba-一a+ba西=+ba而=a+ba而=a+ba可 例5计算：高+ 解 原 式 数-2 1x+2x-2+x+2 2-2x+2+4 (+2或-2 (x+2x-2 (+2x-22 (x+2Xx-21 (x+2或x-22 巩固练习 一、选择题 1.计算+景的结果是() A() B() c() D.() 2.下列计算正确的是() A. 器+=1 B. C. D 十=0 3.分式x与之的最简公分母是（) A.xx-3)x+3) Bxx-3)光x+3) c.x2-3x(x2-9) D.(x-3x+3) 4.计算品。一品的结果是() a2+b2 (a-b° A.(a-bYa+b) B.a-ba+可】 c.（5 D. a+2ab+b2 (a-bXa+b) 5.若x=1,则-的值为（) A.-1 B.0 C.1 D.2 二、填空题 1.计算：品-品 = --------9 2.计算：君- + b 3.计算：2十= ----。(结果化为最简分式) 4. 若分式克与寺的和为1，则x=---。 5.己知a+=3，则a2+ = -------- 三、解答题 1.计算： 一 2.计算： m二十m 3.计算： 4.计算： a a2-1 5.计算： x24x+4一2 6.计算： 7先化简，再求值：（气一）÷签，其中x=2 2 8.先化简，再求值：之+产，其中x=-1。 参考答案 一、选择题 1.A 解：吉+景==，故选A。 2.D 解： A得+景=+， 故A错误； B.(信+言=带≠)，故B错误； c(售-学==景≠)，故c错误： D.(十品=m品一m品=0)，故D正确。 故选D。 3.A 解：x2-3x=x-3),2-9=(x+3(x-3), 最简公分母为x(x-3)x+3)》,故选A。 4.A aa+b) da-b)da+b)-U3-b)&ab-ab+bi_ 解：品6-品。=可西=或*可 、a2+b2 合ba+可=aba+可 故选A。 5.B 解：-器=型-出= +1■ +1 +1 +1 当x=1时， 原式=#=号=0) 故选B。 二、填空题 解：品一品=密=品 解：君-芒==培=卡=-吉 解：由题意得：十之=1 方程两边同乘(×+1(x-1)得： x-1+x+1=(x+1(x-1) 2x=x2-1)(x2-2x-1=0 解得：x=平-5=2生亚=1士万 经检验，x=1±V2是原方程的解。 故x=1+V2或x=1-2。 解：a2+录=(a+)2-2 当a+言=3时， 原式=32-2=9-2=7 三、解答题 1.解：瓷- 2 2 +1 2x-(x+1) _2-8-1 F可奇可装可=向动 -1 2.解：m+m n =m一m=二=m+nm可 mn =m+ 3.解：十 -2+4 =帝十+-习=+十x+习=2=轻习= -2 4 +2■ 4.解：寻- =寻-a+a=*以e一+以a可 3a-1 aa+1) 31=6+1a=斗含8=224=-° (a+1a-1 +1a-1) 5.解：x- -2 =4x2=指 6- 可=-可==净=可 6.解：号-x-1 =器-x+)=器-型---学=点 及-1 -1 -1 7.解：（高-)÷4 2 =(告向)×司（高高）×品=尚×品x品=平× (+1 当x=2时， 原式(=品=) 8.解：己十 =可+高=网+品==高=号 当x=-1时， 原式= -器--副18.3分式的加法与减法 学习目标 1.理解并掌握分式加减法的运算法则。 2.能够正确运用分式的基本性质进行通分，将异分母分式化为同分母分式。 3.能熟练、准确地进行分式的加法与减法运算，并将结果化为最简分式。 4.培养运算能力和逻辑思维能力，体会转化的数学思想。 知识点讲解 一、同分母分式的加减法 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用字母表示为： 是士名=典 其中，(a以、(b以(c)是整式，且c≠0。 注意： 1.分子相加减时，要把每个分子看成一个整体，如果分子是多项式，需要添上括号，再去 括号进行加减运算。 2.运算结果必须化为最简分式或整式。 二、异分母分式的加减法 法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则 进行计算。 用字母表示为： 号士=器士箭=龄 bd 其中，(a以、(b以、(c、(d)是整式，且b≠0，d≠0，bd≠0。 关键步骤：通分。 通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母 的分式，叫做分式的通分。 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的方法： 1.取各分母系数的最小公倍数； 2.凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式： 3.同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母。 三、分式加减法的一般步骤 1.观察分母是否相同。 2.若分母相同，直接将分子相加减，分母不变。 3.若分母不同，先确定最简公分母，再进行通分，将异分母分式化为同分母分式。 4.按同分母分式加减法法则进行计算。 5.对结果进行约分，化为最简分式或整式。 例题解析 例1计算：多+方 X+V 解：原式=后 例2计算：哥- 3y 解：原式= -==3 x-V X-V 例3计算：会+最 解：原式=影+器=器+畿 13y 22x 3y = 3+4x 6XV 例4计算：6一 a-b a(a-b)8atb b 解：原式=a+ba可一市=a+ba-一a+ba西=+ba而=a+ba而=a+ba可 例5计算：高+ 解 原 式 数-2 1x+2x-2+x+2 2-2x+2+4 (+2或-2 (x+2x-2 (+2x-22 (x+2Xx-21 (x+2或x-22 巩固练习 一、选择题 1.计算+景的结果是() A() B() c() D.() 2.下列计算正确的是() A. 器+=1 B. C. D 十=0 3.分式x与之的最简公分母是（) A.xx-3)x+3) Bxx-3)光x+3) c.x2-3x(x2-9) D.(x-3x+3) 4.计算品。一品的结果是() a2+b2 (a-b° A.(a-bYa+b) B.a-ba+可】 c.（5 D. a+2ab+b2 (a-bXa+b) 5.若x=1,则-的值为（) A.-1 B.0 C.1 D.2 二、填空题 1.计算：品-品 = --------9 2.计算：君- + b 3.计算：2十= ----。(结果化为最简分式) 4. 若分式克与寺的和为1，则x=---。 5.己知a+=3，则a2+ = -------- 三、解答题 1.计算： 一 2.计算： m二十m 3.计算： 4.计算： a a2-1 5.计算： x24x+4一2 6.计算： 7先化简，再求值：（气一）÷签，其中x=2 2 8.先化简，再求值：之+产，其中x=-1。 参考答案 一、选择题 1.A 解：吉+景==，故选A。 2.D 解： A得+景=+， 故A错误； B.(信+言=带≠)，故B错误； c(售-学==景≠)，故c错误： D.(十品=m品一m品=0)，故D正确。 故选D。 3.A 解：x2-3x=x-3),2-9=(x+3(x-3), 最简公分母为x(x-3)x+3)》,故选A。 4.A aa+b) da-b)da+b)-U3-b)&ab-ab+bi_ 解：品6-品。=可西=或*可 、a2+b2 合ba+可=aba+可 故选A。 5.B 解：-器=型-出= +1■ +1 +1 +1 当x=1时， 原式=#=号=0) 故选B。 二、填空题 解：品一品=密=品 解：君-芒==培=卡=-吉 解：由题意得：十之=1 方程两边同乘(×+1(x-1)得： x-1+x+1=(x+1(x-1) 2x=x2-1)(x2-2x-1=0 解得：x=平-5=2生亚=1士万 经检验，x=1±V2是原方程的解。 故x=1+V2或x=1-2。 解：a2+录=(a+)2-2 当a+言=3时， 原式=32-2=9-2=7 三、解答题 1.解：瓷- 2 2 +1 2x-(x+1) _2-8-1 F可奇可装可=向动 -1 2.解：m+m n =m一m=二=m+nm可 mn =m+ 3.解：十 -2+4 =帝十+-习=+十x+习=2=轻习= -2 4 +2■ 4.解：寻- =寻-a+a=*以e一+以a可 3a-1 aa+1) 31=6+1a=斗含8=224=-° (a+1a-1 +1a-1) 5.解：x- -2 =4x2=指 6- 可=-可==净=可 6.解：号-x-1 =器-x+)=器-型---学=点 及-1 -1 -1 7.解：（高-)÷4 2 =(告向)×司（高高）×品=尚×品x品=平× (+1 当x=2时， 原式(=品=) 8.解：己十 =可+高=网+品==高=号 当x=-1时， 原式= -器--副