4.2整式的加法与减法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025－2026学年人教版七年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 4.2整式的加法与减法（基础练+提升练+拓展练+达标检测） A 夯基础 八大题型提分练 知识点1：同类项 所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的代数式叫做同类项。 【知识要点】 (1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 题型1同类项的识别 例1．下列各对单项式中，不是同类项的是（    ） A．1与2 B．与 C．与 D．与． 【变式1-1】．下列各组式中，不是同类项的为（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【变式1-2】．下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-3】．请写出单项式的一个同类项： ． 题型2根据同类项的概念求字母、代数式的值 例2．若单项式与是同类项，则的值为 ． 【变式2-1】．已知和是同类项，则的值是 ． 【变式2-2】．若单项式和是同类项，则的值为 ． 【变式2-3】．已知单项式与是同类项，则 ． 知识点2：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【知识要点】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 题型3 合并同类项 例3．合并同类项： （1） ；  （2） ；  （3） ． 【变式3-1】．合并同类项：． 【变式3-2】．合并同类项 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】．合并同类项： (1)； (2)． 知识点3：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【知识要点】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 题型4 利用去括号法则化简 例3．先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】．先去括号，再合并同类项：． 【变式4-2】．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【变式4-3】．先去括号，再合并同类项：． 知识点4：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【知识要点】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 题型5 利用添括号法则化简 例5．按下列要求，给多项式3x3﹣5x2﹣3x＋4添括号： （1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号； （2）把多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号； （3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号； （4）把多项式中间的两项括起来．括号前面“﹣”号． 【变式5-1】．按下列要求给多项式﹣a3＋2a2﹣a＋1添括号． （1）使最高次项系数变为正数； （2）使二次项系数变为正数； （3）把奇次项放在前面是“﹣”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里． 【变式5-2】．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )． 【变式5-3】．分别按下列要求把多项式添上括号： (1)把前两项括到前面带有“”号的括号里，后两项括到前面带有“”号的括号里； (2)把后三项括到前面带有“”号的括号里； (3)把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里，把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里． 知识点5：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【知识要点】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 题型6 整式的加减运算 例6．计算： (1)． (2)． (3)． 【变式6-1】．已知．求． 【变式6-2】．已知：，，求的值． 【变式6-3】．已知两个整式A和B，，． (1)请化简； (2)若，时，求的值． 题型7整式的化简求值 例7．化简或先化简后求值 (1)； (2)已知，求代数式的值． 【变式7-1】．先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知，求 【变式7-2】．化简与求值： (1)； (2)； (3)，其中． 【变式7-3】．先化简，再求值：，其中． 题型8整式运算的实际应用 例8．如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 【变式8-1】．下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【变式8-2】．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形． (1)用含m或n的式子表示拼成长方形的周长； (2)当，时，求拼成长方形的周长； (3)通过以上解答可知，拼成长方形的周长与字母___________无关． 【变式8-3】．窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是．（取3） (1)求窗户的面积； (2)求窗户的外框的总长（即图中实线部分的总长）； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米18元，窗框材料每米6元，求制作这样一个窗户需要多少钱？ B 抓核心 六大题型提升练 题型9 整式加减中不含、无关问题 例9．已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 【变式9-1】．若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【变式9-2】．若多项式合并同类项后不含项，求的值． 【变式9-3】．当的值为多少时，代数式中不含项． 题型10整式加减中的遮挡、污染问题 例10．印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【变式10-1】．阅读与思考:阅读下列材料，完成后面任务． 一天，我在某杂志上看到这样一道题：小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： 小红：小英，我想，被墨迹污染的系数是 小英：你猜错啦!我查了一下，这道题的答案是一个常数呀！...... 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“”及该式子的结果． 【变式10-2】．小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： ．．． 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道题中的系数“”及该式子的结果． 【变式10-3】．在数学课上，老师给出了一道题目：“先化简，再求值：，其中．”“□”中的数据被污染，无法解答，只记得“□”中是一个有理数，于是老师即兴出题，请同学们回答． (1)请直接写出化简后整式的常数项是多少？ (2)若嘉嘉把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，求此时“□”表示的有理数； (3)若淇淇把“”看成了“”，化简求值的结果为，求当时，原整式的值． 题型11整式加减中的看错问题 例11．有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【变式11-1】．学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 【变式11-2】．有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【变式11-3】．有这样一道计算题：的值，其中，．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 题型12 整式加减中的定值问题 例12．已知，当为任意数值时，的值为定值，则的值为 ． 【变式12-1】．学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个多项式，，其中，求．某同学把“”误看成“”，结果求出的答案为． (1)请你帮这位同学求出的正确答案； (2)当取任意数值时，的值是一个定值，求的值． 【变式12-2】．化简求值：已知，． (1)求； (2)无论x取任何数时，的结果都为定值，求y的值． 【变式12-3】．某同学做道数学题，已知两个多项式，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为， (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)计算的值； (3)当取任意值时，的值是一个定值，求的值． 题型13 整式加减中的新定义问题 例13．王老师设计了一个计算程序，先输入，如图所示： (1)当时，求输出的结果； (2)嘉嘉发现：对于任意一个数，经过上面的程序运算后，所得的结果与的值无关，请说明理由． 【变式13-1】．嘉淇设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且A；B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是和（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示和（如图2）． (1)从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是______；B区显示的结果是______； (2)从初始状态按3次按键后，张老师让同学们计算“当，时，A区代数式与B区代数式的差的值”．嘉淇说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 【变式13-2】．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？    输入 …… 输出答案 (1)填写表内空格： (2)你发现的规律是． (3)用简要的过程说明你发现的规律的正确性． 【变式13-3】如图，这是一个运算程序示意图，不论输入的x为何值，输出的y总是一个定值（不变的值），则 ． 题型14 整式的大小比较 例14．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．请比较与的大小： ． 【变式14-1】．在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图①所示的边长为a和边长为b的两种正方形纸片（），甲和乙两人将不同纸片剪拼在一起各作出一个长方形的长和宽如图②，比较两个长方形的周长的大小． 【变式14-2】．材料：“作差法比较大小”． 根据不等式和等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若，则；若，则；若，则．反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．根据材料解答下列问题： (1)若，则______（填“＞”，“＝”或“＜”）； (2)若，，试比较，的大小，并说明理由． 【变式14-3】．如图是一个运算程序， (1)当时，求输出结果m； (2)若，输出结果m恰好与b的值相等，求b的值； (3)若输入非零有理数满足，试比较代数式的值与0的大小． C 促拓展 能力提升拓展练 例15．已知a，b，c在数轴上的位置如图，且． (1) _____0，_____0，_____0（请用“”“”填空）； (2)化简：． (3)化简：的值． 【变式15-1】．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【变式15-2】．现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 达标检查 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．一个多项式与的和是，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则的值是（    ） A．12 B． C． D．或4 7．把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 8．测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度，如“”表示“观测点A比观测点C高”，再用这些相对高度计算出山的总高度．如表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得（　　） A． B． C． D． 二、填空题(每小题4分，共20分） 9．已知和是同类项，则 ． 10．已知有理数a，b，c在数轴上的对应的位置如下图：则化简后的结果是 ． 11．若与互为相反数，则的值为 ． 12．若多项式与多项式的和不含二次项，则等于 ． 13．已知；，则的最大值为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．（1）计算：； （2）化简：． 15．已知 ，求： (1) (2) 16．小颖同学化简多项式的过程如下图所示． (1)在化简过程中，开始出现错误的是___________（填序号），请写出正确的化简步骤． (2)小霞说“若与互为倒数，则可求出的值”，小军说“若与互为相反数，则可求出的值”．请直接判断哪位同学的说法正确，并根据其说法求出的值． 17．小明同学平时做题很马虎，一次做作业时把求两个代数式A与B的和时，把看成，得到的结果是．已知代数式．你能求出的正确答案吗? 18．先阅读，后探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．故当点A、B在数轴上分别表示有理数a、b时，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离为． (1)数轴上表示和4的两点A和B之间的距离为______；如果，并且A所表示的数为2，那么B所表示的数为______； (2)若点A表示的有理数为x，则当x满足______时，与的值相等； (3)当x满足______时，有最小值； (4)求出（3）中的最小值． 19．先化简，再求值：，其中，， 20．观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 4.2整式的加法与减法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） A 夯基础 八大题型提分练 知识点1：同类项 所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的代数式叫做同类项。 【知识要点】 (1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 题型1同类项的识别 例1．下列各对单项式中，不是同类项的是（    ） A．1与2 B．与 C．与 D．与． 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同，①所含字母相同，②相同字母的指数相同．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、所有常数项都是同类项，1与2是同类项，故本选项不符合题意； B、与符合同类项的定义，是同类项，故本选项不符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，故本选项符合题意； D、与符合同类项的定义，是同类项，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】．下列各组式中，不是同类项的为（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】考查同类项的概念，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的概念即可求解． 【详解】解：A. 和是同类项，故该选项不符合题意；     B. 和是同类项，故该选项不符合题意；     C. 和是同类项，故该选项不符合题意；     D. 和，所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】．下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的定义逐项分析即可得解，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合同类项的定义，是同类项，符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； C、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； D、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】．请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 题型2根据同类项的概念求字母、代数式的值 例2．若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查同类项的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据单项式与是同类项，得到，求出，再代入，进行计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， ∴． 故答案为：5． 【变式2-1】．已知和是同类项，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项，可得，进而求得． 【详解】解：因为和是同类项， ， 解得：． 故答案为：2． 【变式2-2】．若单项式和是同类项，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项的含义，理解同类项的概念是解答的关键．所含字母相同，相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，根据定义求解即可． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】．已知单项式与是同类项，则 ． 【答案】8 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义及指数的性质，掌握同类项的定义和指数的性质是解题的关键．利用同类项的定义，即相同字母的指数相同，分别求出和的值，然后将其代入表达式中计算． 【详解】解：∵ 与是同类项， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故答案为：8． 知识点2：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【知识要点】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 题型3 合并同类项 例3．合并同类项： （1） ；  （2） ；  （3） ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项、字母部分不变、系数相加减是解题的关键． 根据合并同类项的法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）；   （3）． 故答案为：，，． 【变式3-1】．合并同类项：． 【答案】． 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式3-2】．合并同类项 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则，是解题的关键： （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）直接合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式3-3】．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、合并同类项 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项的法则是解题的关键． （）根据合并同类项的法则合并同类项，先移项，再合并同类项，即可求解； （）根据合并同类项的法则合并同类项，先移项，再合并同类项，即可求解； 【详解】（1）解：； 原式= ． （2） 原式 ． 知识点3：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【知识要点】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 题型4 利用去括号法则化简 例3．先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式4-1】．先去括号，再合并同类项：． 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查了去括号及合并同类项，注意：括号前面有负号的，去括号时，括号里面的每一项都要变号．先去小括号，再去中括号，然后去大括号，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4-2】．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． （1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可； （3）根据乘法分配律先去掉括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式4-3】．先去括号，再合并同类项：． 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查了整式的加减法，去括号及合并同类项，注意括号前面是负号时，去括号时，括号里面的每一项都要变号是解题的关键．先去小括号，再去中括号，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 知识点4：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【知识要点】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 题型5 利用添括号法则化简 例5．按下列要求，给多项式3x3﹣5x2﹣3x＋4添括号： （1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号； （2）把多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号； （3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号； （4）把多项式中间的两项括起来．括号前面“﹣”号． 【答案】（1）3x3＋（﹣5x2﹣3x＋4）；（2）﹣（﹣3x3＋5x2）﹣3x＋4；（3）3x3﹣（＋5x2＋3x﹣4）；（4）3x3﹣（5x2＋3x）＋4 【知识点】添括号 【分析】根据添括号的法则把给出的式子按要求进行变形，即可得出答案． 【详解】解：（1）多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号是3x3＋（﹣5x2﹣3x＋4）； （2）多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号是：﹣（﹣3x3＋5x2）﹣3x＋4； （3）多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号是：3x3﹣（＋5x2＋3x﹣4）； （4）多项式中间的两项括起来，括号前面“﹣”号是3x3﹣（5x2＋3x）＋4． 【点评】本题考查了添括号的法则，添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【变式5-1】．按下列要求给多项式﹣a3＋2a2﹣a＋1添括号． （1）使最高次项系数变为正数； （2）使二次项系数变为正数； （3）把奇次项放在前面是“﹣”号的括号里，其余的项放在前面是“＋”号的括号里． 【答案】（1）﹣（a3﹣2a2＋a﹣1）；（2）﹣a3＋（2a2）﹣a＋1；（3）﹣（a3＋a）＋（2a2＋1） 【知识点】添括号 【分析】（1）直接找出最高项进而利用最高次项系数变为正数得出答案； （2）直接找出二次项进而利用二次项系数变为正数得出答案； （3）首先找出奇次项，进而根据题意得出答案． 【详解】解：（1）根据题意可得：﹣（a3﹣2a2＋a﹣1）； （2）根据题意可得：﹣a3＋（2a2）﹣a＋1； （3）根据题意可得：﹣（a3＋a）＋（2a2＋1）． 【点睛】本题考查了添括号法则，正确找出各项进而利用添括号法则是解题的关键． 【变式5-2】．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )． 【答案】 【知识点】添括号 【分析】本题考查了添括号． （1）（2）（3）添括号时，括号前面为加号，则括号内各项不变号，括号前面是减号，则括号内各项均变为原来的相反数，据此即可依次作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 【变式5-3】．分别按下列要求把多项式添上括号： (1)把前两项括到前面带有“”号的括号里，后两项括到前面带有“”号的括号里； (2)把后三项括到前面带有“”号的括号里； (3)把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里，把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】添括号 【分析】本题考查添括号法则，注意括号前为负号，括号内各项需变号． （1）根据添括号法则：“括号前为正号，括号内各项不用变号，括号前为负号，括号内各项变号”，即可求解； （2）根据添括号法则：“括号前为正号，括号内各项不用变号，括号前为负号，括号内各项变号”，即可求解； （3）利用交换律将同字母的移在一起，再根据添括号法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 知识点5：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【知识要点】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 题型6 整式的加减运算 例6．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题主要考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则． （1）（2）（3）首先去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【变式6-1】．已知．求． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，先理解题意，再整理，然后去括号，合并同类项，即可作答． 【详解】，， ． 【变式6-2】．已知：，，求的值． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的化简．对式子去括号，合并同类项，将整式化为最简形式，然后把A、B代入，继续合并同类项，化简即可． 【详解】解： 【变式6-3】．已知两个整式A和B，，． (1)请化简； (2)若，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了整式的加减运算中的化简求值，熟记去括号、合并同类项的法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可解答； （2）把，代入（1）化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ . （2）解：∵，， ∴． 题型7整式的化简求值 例7．化简或先化简后求值 (1)； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减运算及求值、绝对值及平方的非负性， （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）根据绝对值及平方的非负性求出a、b值，再进行整式加减运算并代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 解得：， ， 当时， ． 【变式7-1】．先化简，再求值： (1)，其中． (2)已知，求 【答案】(1) (2)3 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、已知式子的值，求代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的加减运算． （1）先利用整式的加减进行化简，然后代数求值即可； （2）先进行整式的加减进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ， 将代入上式得， 原式； （2）解： 将代入上式得， 原式． 【变式7-2】．化简与求值： (1)； (2)； (3)，其中． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、合并同类项、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查整式加减运算、整式化简求值，涉及含乘方的有理数混合运算，熟记整式加减运算法则、有理数混合运算法则是解决问题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （3）先去括号，再合并同类项即可化简，将代入化简后的结果，运用有理数混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时， 原式 ． 【变式7-3】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、合并同类项、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查整式的加减，去括号，合并同类项，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 先去括号，再根据整式的加减合并同类项，最后代值求解即可． 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 题型8整式运算的实际应用 例8．如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 【答案】(1)喷泉的长为米，宽为米 (2) 喷泉的周长为米，当时，周长为35.6米 【知识点】列代数式、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式并求值，整式加减运算，列出代数式是解题的关键． （1）列出长为：，宽为：，即可求解； （2）可求周长为，化简代值计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米）， 答：喷泉的长为米，宽为米； （2）由题意得： 喷泉的周长为： 当时，原式． 故当米时，喷泉的周长为米． 【变式8-1】．下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到厘米是解题的关键． 设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为，大长方形的宽为，，再由大长方形的长比宽多6厘米，可得厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为厘米，图（1）中阴影部分的周长为厘米，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图（2）得：大长方形的长为厘米，大长方形的宽为厘米，， ∵大长方形的长比宽多6厘米， ∴，大长方形的宽为厘米， ∴厘米， ∴图（2）中阴影部分的周长为厘米， 图（1）中阴影部分的周长为厘米， ∵厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 【变式8-2】．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形． (1)用含m或n的式子表示拼成长方形的周长； (2)当，时，求拼成长方形的周长； (3)通过以上解答可知，拼成长方形的周长与字母___________无关． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列代数式、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的应用，掌握整式加减的运算法则，数形结合是解题的关键； （1）结合题意，先表示出拼成的长方形的长和宽，再求周长； （2）把，代入（1）中周长的表达式，计算即可； （3）由（1）中周长的表达式可得结果． 【详解】（1）如图，将剩下的三块拼成新的长方形， 拼成的长方形的长为，宽为， 所以拼成的长方形的周长等于 ， ． （2）当，时，， 所以拼成长方形的周长等于28． （3）由（1）知拼成的长方形的周长等于，与字母n无关． 故答案为：n． 【变式8-3】．窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是．（取3） (1)求窗户的面积； (2)求窗户的外框的总长（即图中实线部分的总长）； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米18元，窗框材料每米6元，求制作这样一个窗户需要多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)78.75元 【知识点】列代数式、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系； （1）窗户面积为：4个小正方形的面积半圆的面积，据此列出式子，并化简； （2）窗户的外框的总长等于所有小正方形的边长之和3个半径的长半个圆的弧长，据此列出式子，并化简； （3）总费用为：玻璃钱窗框钱，据此列出算式求解． 【详解】（1）由图知，半圆的半径为， ． 答：窗户的面积等于． （2）． 答：窗户的外框的总长等于． （3）当时，窗户的面积等于，窗户的外框的总长等于， （元）． 答：制作这样一个窗户需要78.75元． B 抓核心 六大题型提升练 题型9 整式加减中不含、无关问题 例9．已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，代数式的值与某个字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将的代数式代入，去括号合并同类项即可； （2）将化简后的的代数式变形为，代数式的值与y无关，即，即可解得题目所求． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵代数式的值与无关， ∴， ． 【变式9-1】．若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的加减： （1）利用代数式的值与的取值无关，求得的值； （2）将的值代入即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝， ∵原代数式的值与的取值无关， ∴，， ∴，； （2）解： ， ． 【变式9-2】．若多项式合并同类项后不含项，求的值． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减不含某项问题，先合并同类项，再根据结果不含项得到含项的系数为，解之即可求解，掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵合并同类项后不含项， ∴， ∴． 【变式9-3】．当的值为多少时，代数式中不含项． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式加减中的无关类型，正确计算是解题的关键． 先根据整式的加减运算法则将原式化简为，再令的系数为0求解即可． 【详解】解： ∵代数式中不含项， ∴， 解得． 题型10整式加减中的遮挡、污染问题 例10．印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式加减中的无关型问题、单项式的系数、次数、整式的加减运算 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式10-1】．阅读与思考:阅读下列材料，完成后面任务． 一天，我在某杂志上看到这样一道题：小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： 小红：小英，我想，被墨迹污染的系数是 小英：你猜错啦!我查了一下，这道题的答案是一个常数呀！...... 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“”及该式子的结果． 【答案】(1) (2)系数“”为；该式子的结果为 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握合并同类项是解题的关键； （1）先去括号，再合并同类项，进而得出答案； （2）先去括号，再合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1）∵系数是， ． （2）原式 ， 计算结果是常数， ∴， ． 【变式10-2】．小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： ．．． 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道题中的系数“”及该式子的结果． 【答案】(1) (2)， 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键； （1）直接去括号、合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号、合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1）解：∵系数“”是， ； （2）解： ， 计算结果是常数， ∴，解得， ∴原式． 【变式10-3】．在数学课上，老师给出了一道题目：“先化简，再求值：，其中．”“□”中的数据被污染，无法解答，只记得“□”中是一个有理数，于是老师即兴出题，请同学们回答． (1)请直接写出化简后整式的常数项是多少？ (2)若嘉嘉把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，求此时“□”表示的有理数； (3)若淇淇把“”看成了“”，化简求值的结果为，求当时，原整式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）设中的数据为a，然后进行计算即可解答； （2）根据化简求值的结果仍不变，可得，然后进行计算即可解答； （3）先把代入进行计算求出a的值，最后再代入数据进行计算即可． 【详解】（1）解：设中的数据为a， ， 化简后的代数式中常数项是：； （2）解：设“□”表示的有理数的值为．原式． 因为把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，即原式的值与的值无关， 所以，解得， 所以“□”表示的有理数为8； （3）解：设“□”表示的有理数的值为．原式． 因为当时，化简求值的结果为， 所以， 解得， 所以原式． 【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型11整式加减中的看错问题 例11．有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先把原式去括号，合并同类项得，根据结果进行说明即可． 【详解】解： ； ∵化简结果中不含x项， ∴小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确； 又∵化简结果中是“”，“1”、“”的平方是一样的， ∴小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的． 【变式11-1】．学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式的项、项数或次数、整式的加减运算 【分析】本题考查了多项式的项和次数，整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，故多项式的次数为，常数项为，即可作答． （2）因为，且，故，再把，，分别代入，进行计算化简，即可作答． （3）先得出，结合当取任意数值时，的值都是一个常数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 多项式的次数为，常数项为； 故答案为： （2）解：∵，且， ， ； （3）解： ． 当取任意数值时，的值都是一个常数， ， ． 【变式11-2】．有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号，合并同类项后，根据结果进行说明即可． 【详解】解： ； 因为化简结果中不含x项，所以小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；又因为化简结果中是“”，“1”、“”的平方是一样的，所以小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的． 【变式11-3】．有这样一道计算题：的值，其中，．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】此题考查了整式的加减﹣化简求值，原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解： ， ∵结果不含x，且为非负数， ∴结果与x的值无关，且或者时，原式， ∴小明与小华错看x与y，结果也是正确的． 题型12 整式加减中的定值问题 例12．已知，当为任意数值时，的值为定值，则的值为 ． 【答案】18 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】根据整式的加减运算法则计算出的值，由题意可知的值与a的值无关，则a的系数为零，由此即可求解． 本题主要考查整式的运算，掌握整式的混合运算方法，以及与某未知数无关则该未知数的系数为零的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∵当为任意数值时，的值为定值， ∴的值与a的值无关， ， ， ． 故答案为：18． 【变式12-1】．学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个多项式，，其中，求．某同学把“”误看成“”，结果求出的答案为． (1)请你帮这位同学求出的正确答案； (2)当取任意数值时，的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值、整式的加减运算 【分析】本题考查了多项式的项和次数，整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题目进行计算化简，即可作答；（2）先得出，结合当取任意数值时，的值是一个定值，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意得：，． ∴， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 因为当取任意数值时，的值是一个定值， 所以， 解得． 【变式12-2】．化简求值：已知，． (1)求； (2)无论x取任何数时，的结果都为定值，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照整式的计算法则计算． （1）将A、B代入到中，去括号、合并同类项计算即可； （2）根据无论x取任何数时，的结果都为定值，得到x项的系数是0，据此求出y． 【详解】（1）解：因为， 所以有： ； （2）解：， 因为无论x取任何数时，的结果都为定值， 所以， 即． 【变式12-3】．某同学做道数学题，已知两个多项式，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为， (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)计算的值； (3)当取任意值时，的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据题意，，把和的值代入计算即可； （2）根据题意，，把和的值代入计算即可； （3）根据的值是一个定值，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵当取任意值时，的值是一个定值， ∴， ∴． 题型13 整式加减中的新定义问题 例13．王老师设计了一个计算程序，先输入，如图所示： (1)当时，求输出的结果； (2)嘉嘉发现：对于任意一个数，经过上面的程序运算后，所得的结果与的值无关，请说明理由． 【答案】(1) (2)理由见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题、程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）将代入题目中的运算程序，计算出结果即可； （2）将题目中的运算程序化简，即可说明理由； 【详解】（1）解：当时， 输出结果为： ； （2）理由： ， ∴对于任意一个数，经过上面的程序运算后，所得的结果与的值无关． 【变式13-1】．嘉淇设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且A；B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是和（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示和（如图2）． (1)从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是______；B区显示的结果是______； (2)从初始状态按3次按键后，张老师让同学们计算“当，时，A区代数式与B区代数式的差的值”．嘉淇说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为他的说法有道理吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)嘉淇说的有道理，理由见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用，以及整式加减中的无关型问题． （1）根据题意，列出代数式，即可； （2）求出按按3次按键A区代数式与B区代数式，作差后，进行判断即可． 读懂题意，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，按一次按键后，A，B两区分别显示和， 再按一次按键后，A，B两区分别显示和， 故答案为：，； （2）嘉淇说的有道理，理由如下： 由（1）知，2次按键后A，B两区分别显示，， ∴3次按键后，A，B两区分别显示，， ∴A区代数式与B区代数式的差为， ∴差与的值无关， 故嘉淇说的有道理． 【变式13-2】．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？    输入 …… 输出答案 (1)填写表内空格： (2)你发现的规律是． (3)用简要的过程说明你发现的规律的正确性． 【答案】(1)，，，； (2)输入任何数的结果都是； (3)见解析． 【知识点】整式加减中的无关型问题、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了 整式的混合运算；探索数与式的规律；含乘方的有理数混合运算及学生探究规律的能力，（）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序；（）根据（）中计算结果总结规律，发现结果都为；（）根据程序，直接用进行计算可得出结果；解题的关键是理解所给程序的计算步骤． 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，，； （2）输入任何数的结果都为； （3）∵，∴无论取任何值，结果都为，即结果与字母x的取值无关． 【变式13-3】如图，这是一个运算程序示意图，不论输入的x为何值，输出的y总是一个定值（不变的值），则 ． 【答案】3 【知识点】整式加减中的无关型问题、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查运算程序图和代数式值的无关问题，首先根据运算程序示意图，得到运算的代数式，再根据输出值为定值，可知代数式的值与x无关，则合并后的代数式中x的系数为0，据此可得a的值． 【详解】解：根据运算程序示意图可知∶， 整理得：， ∵不论输入的x为何值，输出的y总是一个定值， ∴， ∴， 故答案为：3． 题型14 整式的大小比较 例14．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、．请比较与的大小： ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式、用求差法比较代数式的大小，根据矩形的面积公式，可得：，，可知，因为为正整数，所以，从而可得：． 【详解】解：由图可知，，， ， 为正整数， ， ． 故答案为：． 【变式14-1】．在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图①所示的边长为a和边长为b的两种正方形纸片（），甲和乙两人将不同纸片剪拼在一起各作出一个长方形的长和宽如图②，比较两个长方形的周长的大小． 【答案】甲拼出长方形的周长更长 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减法和几何图形的综合题．先求得甲和乙的周长，进而化简，再作差比较与0的大小，即可作出结论． 【详解】解：，， ， ， ，即， 甲拼出长方形的周长更长． 【变式14-2】．材料：“作差法比较大小”． 根据不等式和等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： 若，则；若，则；若，则．反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．根据材料解答下列问题： (1)若，则______（填“＞”，“＝”或“＜”）； (2)若，，试比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减混合运算、整式加减的应用． （1）利用作差法进行判断即可； （2）利用作差法和整式的加减混合运算法则可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：， ∵ ∵，， ∴， ∴． 【变式14-3】．如图是一个运算程序， (1)当时，求输出结果m； (2)若，输出结果m恰好与b的值相等，求b的值； (3)若输入非零有理数满足，试比较代数式的值与0的大小． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，． 【知识点】整式加减的应用、程序流程图与代数式求值 【分析】此题主要考查了代数式求值问题，整式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据题意直接代入求解计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，求解即可； （3）分两种情况分析：当时，则；当时，则；求解即可． 【详解】（1）解：当时，． 答：输出结果m为． （2）当时，即时，， ∴； 当时，即时，， ∴(舍去)； ∴． 答：b的值为． （3）当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，当时，；当时，． C 促拓展 能力提升拓展练 例15．已知a，b，c在数轴上的位置如图，且． (1) _____0，_____0，_____0（请用“”“”填空）； (2)化简：． (3)化简：的值． 【答案】(1)；； (2)0 (3)1 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负以及化简绝对值等知识． （1）根据数轴可知，，进而可判断式子的正负． （2）根据数轴可知，进而可化简绝对值． （3）根据数轴可知，，进而可化简绝对值． 【详解】（1）解：从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：；；． （2）解：∵， （3）解：∵， ∴，，， 【变式15-1】．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190，3500 (2)，，当时, ；当时, 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买,需支付： （元）， 在C店铺5条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）， 故答案为：3200，3190，3500； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买,需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买,需支付： 元， 当时，在C店铺a条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去： （元）， 当时,在C店铺a条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）． 【变式15-2】．现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费55元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）； 当时，小明应付车费：（元）． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元， 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 达标检查 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算．合并同类项时直接系数相加减，字母以及字母的指数不变，不是同类项的加减不能合并，据此作答即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．一个多项式与的和是，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 根据一个多项式与的和是，得到，化简即可． 【详解】解： ． 故选C． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，掌握知识点是解题的关键． 根据整式的加减，逐项计算判断即可． 【详解】解：A． ，该项计算错误，不符合题意； B． ，该项计算错误，不符合题意； C． ，该项计算正确，符合题意； D． ，该项计算错误，不符合题意． 故选：C． 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．按照去括号，合并同类项的顺序化简即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添括号．熟知添括号法则是解本题的关键．添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 根据添括号法则求解判断即可． 【详解】解：A． ，A不正确； B． ，B不正确； C．，C正确； D．，D不正确． 故选：C． 6．若，则的值是（    ） A．12 B． C． D．或4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法运算，含字母的绝对值的化简，根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选C． 7．把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 分别求出两阴影部分的周长，再作差，根据整式的加减化简即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图可得，， 这两个大长方形的长比宽长 ， ， 由图可知：阴影部分的周长， 由图可知：阴影部分的周长， ， 故选：． 8．测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度，如“”表示“观测点A比观测点C高”，再用这些相对高度计算出山的总高度．如表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，将表中有理数相加即可得到的值． 【详解】解： ， 故选：C． 二、填空题(每小题4分，共20分） 9．已知和是同类项，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，因此，两个单项式中对应字母的指数必须相等，由此可求出m、n的值，从而得出的值. 【详解】解：∵和是同类项 ∴，， ∴，， ∴. 故答案为13. 10．已知有理数a，b，c在数轴上的对应的位置如下图：则化简后的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算，数形结合是解题的关键．根据绝对值的性质进行化简，然后根据整式的加减进行计算即可． 【详解】解：由数轴得：， ，，， ∴ ， 故答案为：． 11．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，绝对值的非负性，利用整体法是解题的关键． 先利用整式的加减法进行化简，然后通过绝对值和平方的非负性得到的值，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ∵与互为相反数， ∴， 解得：， ∴，， ∴原式， 故答案为：． 12．若多项式与多项式的和不含二次项，则等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算整式的加减可得两个多项式的和为，再根据二次项的系数等于0求解即可得． 【详解】解： ， ∵多项式与多项式的和不含二次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．已知；，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值．解题的关键是利用分类讨论的思想，化简绝对值． 分三种情况进行讨论，求解即可． 【详解】解：①当时： ， ； ②当时： ， ； ③当时： ， ； ∴当时，有最大值； 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算，掌握以上运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法运算，最后计算减法运算，从而可得答案； （2）先去括号，再合并同类项，从而可得答案． 【详解】解：（1） ； （2） . 15．已知 ，求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再去括号，合并同类项，即可作答． （2）先得出，再去括号，合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．小颖同学化简多项式的过程如下图所示． (1)在化简过程中，开始出现错误的是___________（填序号），请写出正确的化简步骤． (2)小霞说“若与互为倒数，则可求出的值”，小军说“若与互为相反数，则可求出的值”．请直接判断哪位同学的说法正确，并根据其说法求出的值． 【答案】(1)①，化简步骤见解析 (2)小霞同学的说法正确，的值为5 【分析】本题考查的是整式的加减及代数式求值， （1）原式去括号出现错误，先去括号，再合并同类项即可； （2）根据与互为倒数，则，可代入求值，根据与互为相反数，则，无法求代数式的值，据此解决即可． 【详解】（1）解：在化简过程中，开始出现错误的是①， ； （2）解：若与互为倒数，则， ∴； 若与互为相反数，则，此时无法求出的值； 故小霞同学的说法正确，的值为5． 17．小明同学平时做题很马虎，一次做作业时把求两个代数式A与B的和时，把看成，得到的结果是．已知代数式．你能求出的正确答案吗? 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减， 根据整式的加减，结合题意求出A，再根据整式的加减法法则求出答案即可. 【详解】解：∵小明将看成得到的结果是，， ∴， 解得， ∴. 18．先阅读，后探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．故当点A、B在数轴上分别表示有理数a、b时，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离为． (1)数轴上表示和4的两点A和B之间的距离为______；如果，并且A所表示的数为2，那么B所表示的数为______； (2)若点A表示的有理数为x，则当x满足______时，与的值相等； (3)当x满足______时，有最小值； (4)求出（3）中的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3) (4)最小值为1025156 【分析】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间距离）及绝对值求和的最小值问题，解题的关键是理解表示数轴上表示、的两点间距离，利用该几何意义分析距离计算、等式求解及绝对值和的最小值情况． （1）第一空根据两点间距离公式直接计算；第二空设B表示的数为，由距离公式列方程求解； （2）利用绝对值的几何意义（到与到的距离相等）或解方程确定； （3）绝对值和的最小值在取首尾两数的中间数时取得； （4）将取中间数代入，通过两两配对（和相等）计算绝对值和的最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点距离为； 设B表示的数为，由且A表示，得， 则或， 解得或． 故答案为：；或． （2）解：表示到与到的距离相等，数轴上与的中点为，故． 故答案为：． （3）解：绝对值和共2025个绝对值项， 当取中间项对应的数时和最小， 中间项为第项，即． 故答案为：． （4）解：当时， ； 答：（3）中的最小值为1025156． 19．先化简，再求值：，其中，， 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键，先去括号，再合并同类项进行计算即可，化简后将、、的值代入即可 【详解】解：原式                 当，，时， 原式 ∴ 所求代数式的值为10 20．观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了新定义问题、有理数的混合运算、整式加减中的化简求值，解题时要熟练掌握并能读懂新定义是关键． 依据题意，“方和有理数对”的定义逐个判断可以得解； 依据题意，由“方和有理数对”满足，则当时，，则此时，进而可以得解； 依据题意，由是“方和有理数对”，则，又，从而代入计算可以得解． 【详解】（1）由题意，， 数对不是“方和有理数对”． ， 数对是“方和有理数对”． 故答案为：． （2）由题意， “方和有理数对”满足， 当时，，则此时． 故答案为：（答案不唯一）． （3）由题意，是“方和有理数对”， ． ． 又 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 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