17.1用提公因式法分解因式讲义2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

17.1 用提公因式法分解因式 学习目标 1. 理解公因式的概念，能准确找出多项式各项的公因式。 2. 掌握提公因式法分解因式的基本方法和步骤。 3. 能够熟练运用提公因式法对多项式进行分解因式。 4. 知道因式分解与整式乘法的区别与联系，培养逆向思维能力。 知识点讲解 一、公因式的概念 一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 确定公因式的方法： 1. 系数：取各项系数的最大公约数。 2. 字母：取各项都含有的相同字母。 3. 指数：取相同字母的最低次幂。 例如，多项式中，各项系数的最大公约数是 3，各项都含有的相同字母是 a 和 b，a 的最低次幂是，b 的最低次幂是，所以公因式是 (3ab)。 二、提公因式法分解因式 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 提公因式法分解因式的一般步骤： 1. 找公因式：确定多项式各项的公因式。 2. 提公因式：将公因式提到括号外面，把多项式写成公因式与另一个因式的乘积形式。即：，其中 (p) 是公因式，((a + b + c)) 是多项式 (pa + pb + pc) 除以 (p) 所得的商。 注意事项： · 提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数相同。 · 提公因式时，要确保括号内的每一项都不能再提取公因式（即分解彻底）。 · 如果多项式的首项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内的首项系数为正，这时括号内各项都要变号。 · 公因式可以是单项式，也可以是多项式。 例题解析 例1分解因式： 解： 系数的最大公约数是 4， 相同字母有 a 和 b， a 的最低次幂是，b 的最低次幂是， 所以公因式是。 例2分解因式： 解： 首项系数为负，先提出“-”号。 各项系数的最大公约数是 6， 相同字母是 x， x 的最低次幂是， 所以公因式是 (-6x)（或先考虑公因式为 (6x)，再提出负号）。 例3分解因式：3a(x - y) - 2b(x - y) 解： 把 (x - y) 看作一个整体，作为公因式。 3a(x - y) - 2b(x - y) 例4分解因式：a(m + n) + b(m + n) + c(m + n) 解： 把 (m + n) 看作一个整体，作为公因式。 a(m + n) + b(m + n) + c(m + n) 例5分解因式： 解： 系数的最大公约数是 4， 相同字母有 x 和 y， x 的最低次幂是，y 的最低次幂是， 所以公因式是。 巩固练习 一、选择题 1. 多项式的公因式是 A. 2a B. 2b C. ab D. 2ab 2. 把多项式分解因式，正确的是 A. B. C. D. 3. 下列各式分解因式正确的是 A. B. C. D. 4. 把多项式 m(a - 3) + 2(3 - a)分解因式，结果正确的是 A. (a - 3)(m + 2) B. (a - 3)(m - 2) C. (3 - a)(m + 2) D. (3 - a)(m - 2) 5. 多项式的公因式是 A. B. 6(m - n)) C. D. 二、填空题 1. 分解因式：。 2. 分解因式：。 3. 分解因式：。 4. 若多项式分解因式的结果是 (x + 3)(x - 5)，则 m 的值为_______________。 5. 分解因式：。 三、解答题 分解下列因式： 1. 2. a(x - 3) + 2b(x - 3) 3. 4. 6a(m - n) - 3b(n - m) 巩固练习答案 一、选择题 1. D 解析：系数 4 和 10 的最大公约数是 2，相同字母 a 和 b，a 的最低次幂，b 的最低次幂，公因式为 (2ab)。 2. B 解析：。 3. C 解析：A 应为 (3x(x - 2))；B 应为 (-a(a - b + c))；；，正确。 4. B 解析：。 5. A 解析：，所以公因式为。 二、填空题 1. 5x(x - 3) 解析：公因式为 (5x)，。 2. -7ab(a - 3b + 2c) 解析：公因式为 (-7ab)，。 3. (a - b)(x - y) 解析：。 4. -2 解析：，与比较，得 。 5. 解析：公因式为 (ab(a - b))，。 三、解答题 1. 解：公因式为 2. a(x - 3) + 2b(x - 3) 解：公因式为 (x - 3) a(x - 3) + 2b(x - 3) 3. 解： 4. 6a(m - n) - 3b(n - m) 解： 6a(m - n) - 3b(n - m) 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1 用提公因式法分解因式 学习目标 1. 理解公因式的概念，能准确找出多项式各项的公因式。 2. 掌握提公因式法分解因式的基本方法和步骤。 3. 能够熟练运用提公因式法对多项式进行分解因式。 4. 知道因式分解与整式乘法的区别与联系，培养逆向思维能力。 知识点讲解 一、公因式的概念 一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 确定公因式的方法： 1. 系数：取各项系数的最大公约数。 2. 字母：取各项都含有的相同字母。 3. 指数：取相同字母的最低次幂。 例如，多项式中，各项系数的最大公约数是 3，各项都含有的相同字母是 a 和 b，a 的最低次幂是，b 的最低次幂是，所以公因式是 (3ab)。 二、提公因式法分解因式 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 提公因式法分解因式的一般步骤： 1. 找公因式：确定多项式各项的公因式。 2. 提公因式：将公因式提到括号外面，把多项式写成公因式与另一个因式的乘积形式。即：，其中 (p) 是公因式，((a + b + c)) 是多项式 (pa + pb + pc) 除以 (p) 所得的商。 注意事项： · 提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数相同。 · 提公因式时，要确保括号内的每一项都不能再提取公因式（即分解彻底）。 · 如果多项式的首项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内的首项系数为正，这时括号内各项都要变号。 · 公因式可以是单项式，也可以是多项式。 例题解析 例1分解因式： 例2分解因式： 例3分解因式：3a(x - y) - 2b(x - y) 例4分解因式：a(m + n) + b(m + n) + c(m + n) 例5分解因式： 巩固练习 一、选择题 1. 多项式的公因式是 A. 2a B. 2b C. ab D. 2ab 2. 把多项式分解因式，正确的是 A. B. C. D. 3. 下列各式分解因式正确的是 A. B. C. D. 4. 把多项式 m(a - 3) + 2(3 - a)分解因式，结果正确的是 A. (a - 3)(m + 2) B. (a - 3)(m - 2) C. (3 - a)(m + 2) D. (3 - a)(m - 2) 5. 多项式的公因式是 A. B. 6(m - n)) C. D. 二、填空题 1. 分解因式：。 2. 分解因式：。 3. 分解因式：。 4. 若多项式分解因式的结果是 (x + 3)(x - 5)，则 m 的值为_______________。 5. 分解因式：。 三、解答题 分解下列因式： 1. 2. a(x - 3) + 2b(x - 3) 3. 4. 6a(m - n) - 3b(n - m) 学科网（北京）股份有限公司 $