双曲线的渐近线问题、中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：双曲线的渐近线问题、中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练 圆锥曲线：双曲线的渐近线问题、中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练 考点目录 双曲线的渐近线问题 以双曲线为背景的中点弦问题 以双曲线为背景的向量问题 以双曲线为背景的斜率问题 考点一 双曲线的渐近线问题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）若双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．-2 C． D．-4 3．（2025·河北·一模）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京·开学考试）若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（    ） A．12 B．8 C． D． 6．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·上海宝山·阶段练习）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 9．（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）双曲线的渐近线方程为 . 10．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 11．（25-26高三上·浙江杭州·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 12．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 考点二 以双曲线为背景的中点弦问题 1．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东梅州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 6．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 7．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 8．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 9．（2025·湖南娄底·二模）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 10．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 11．（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 12．（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 13．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 14．（2025·辽宁·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. (1)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (2)当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 考点三 以双曲线为背景的向量问题 1．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 4．（2025·宁夏·一模·多选）双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 5．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 6．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 8．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 9．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 10．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，且它的一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是双曲线上异于顶点的一个动点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与直线（为坐标原点）分别交于点，证明：． 11．（2025·河南·一模）已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 12．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 13．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 考点四 以双曲线为背景的斜率问题 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 2．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 4．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 5．（2025·广西·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求的标准方程. (2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点，与交于另一点，证明： （i），的斜率之积为定值； （ii）存在定点，使得关于点对称. 6．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 7．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为，过焦点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，的面积分别为. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：双曲线的渐近线问题、中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练 圆锥曲线：双曲线的渐近线问题、中点弦问题、向量问题、斜率问题专项训练 考点目录 双曲线的渐近线问题 以双曲线为背景的中点弦问题 以双曲线为背景的向量问题 以双曲线为背景的斜率问题 考点一 双曲线的渐近线问题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 2．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）若双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．-2 C． D．-4 【答案】D 【详解】令，所以. 故选：D 3．（2025·河北·一模）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 4．（25-26高三上·北京·开学考试）若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4， 则有，得， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：C 5．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，所以， 所以一条渐近线的方程为， 所以，解得，则，所以实轴长. 故选：C 6．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，所以， 所以的渐近线方程为，即为， 故选：A． 7．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 8．（25-26高三上·上海宝山·阶段练习）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为 【答案】 【详解】由双曲线方程可得，渐近线方程为， 设一条渐近线与x轴所成夹角为，则， 则， 所以两条渐近线夹角余弦值为， 故答案为：. 9．（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】由双曲线中，， 则其渐近线方程为. 故答案为：. 10．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形， 所以． 由双曲线的定义，得，即， 又因为，所以． 由，得，解得， 所以，故C的渐近线方程为． 11．（25-26高三上·浙江杭州·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】作出示意图如图所示： 根据双曲线的定义得， 在三角形中，由余弦定理可得， 又直线与圆相切，所以， 所以，解得， 所以，解得或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 12．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 考点二 以双曲线为背景的中点弦问题 1．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 2．（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 3．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 4．（24-25高二上·广东梅州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 5．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【详解】设，则的中点 在双曲线上，，两式相减得， 则，则． 此时，即，联立方程，消去y得， 此时，故直线与双曲线有两个交点. 故答案为：1 6．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设，则，， 将两点坐标代入双曲线方程得：，， 将上述两式相减可得： ， 即，可得， 所以，即. 故答案为：. 7．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【答案】（写也可以） 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. 故答案为： 8．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 9．（2025·湖南娄底·二模）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 当时，点的横坐标为， 代入C的方程，得，故，即 因，所以，故，解得， 故C的离心率为． （2）由（1）知，设，， 因为P，Q是C上的两点，故， 两式相减得：， 若，则直线的斜率不存在， 由双曲线的对称性可知，此时线段的中点位于轴，故不符合题意； 若，则， 因为是线段的中点，所以，， 则， 所以直线的方程为，即， 经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意， 则直线的一般式方程为， 10．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 11．（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. （2）解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.    12．（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 13．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 14．（2025·辽宁·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. (1)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (2)当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为. （2）由题意可得：， 显然直线的斜率不为0，设直线：， 联立方程，消去x整理得， 则，且， 因为，可得， 因为直线的方程为， 令，得， 因为，可得， 所以直线过定点， 由对称性可知直线过定点，即直线与的交点为， 则， 令，则， 则， 因为函数在区间内单调递减， 所以当时，的面积取得最小值，最小值为. 考点三 以双曲线为背景的向量问题 1．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知为双曲线上的一点，由向两渐近线作垂线，垂足分别为、，则的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为，即，    设点，则， 设点在直线、的射影点分别为、， 则，，所以，， 设直线的倾斜角为，则为锐角，且， 则，所以，， 因为，故， 所以，， 由平面向量数量积的定义可得. 故选：A. 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中·多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】AB 【详解】双曲线中，，实轴长， 不妨设点在第一象限，，则， 所以，，则， 又点在双曲线上，所以，即， 则，由，可知，即， 则的最大值为16，所以的取值可以是，. 故选：. 4．（2025·宁夏·一模·多选）双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 【答案】AD 【详解】由题设，且渐近线为，若垂直于，则， ，可得，同理得， 由，则，整理得，可得，B错， 所以，故渐近线方程为，A对， 在双曲线上，则，则， 所以，则，C错； 点P处的切线为，联立，得， 所以，则， 所以，则，故切线为， 令，则，故，D对. 故选：AD 5．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，为双曲线上一点，分别为双曲线的左，右顶点，且直线与直线的斜率之积为，则 . 【答案】30 【详解】由题意，，，为双曲线上一点， 则， 解得，又点在双曲线上，则，解得， ，，则，， 所以. 故答案为：30. 6．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设为坐标原点，则， 从而.    设的左焦点为，连接， 由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得， 解得. 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则 ． 【答案】 【详解】由双曲线的离心率为， 设，（其中），则，可得， 再设为双曲线的左焦点，且， 因为，可得，根据双曲线的定义，可得， 又由双曲线的对称性，可得四边形为矩形，所以， 即，解得， 连接，设，则，由于 即，解得， 因为，解得． 故答案为：. 8．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为， 又点在双曲线上，所以， 故双曲线标准方程为； （2）由（1）知，，所以左顶点为，右焦点为， 为双曲线右支上任意一点，设，，则，即， 则 ， 因为，故当时，取得最小值． 9．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由，解得， 即轨迹的方程为：； （2）∵为双曲线E:上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积.    （3）设，则，所以，. 所以的取值范围是. 10．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，且它的一条渐近线的方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是双曲线上异于顶点的一个动点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与直线（为坐标原点）分别交于点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意知解得 故双曲线的方程为． （2）证明：设，，，直线的方程分别为，． 因为，，所以，， 所以，． 所以，． 故． 因为，所以． 11．（2025·河南·一模）已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3）由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 12．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． (1)求双曲线C的方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）由双曲线的左、右顶点 分别为可知， 又由离心率为2，即，可得， 又在双曲线中，可得， 所以双曲线C的方程为. （2） 因为直线过点且斜率不为0， 且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限）， 所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数）， （由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为， 所以直线的斜率，解得）. 设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以， 所以， ， 联立，可得， 所以由韦达定理可得， 所以 ， 所以. 13．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）： 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 因为， 所以，代入，解得， 故直线AB的方程为， （或者直线AB的方程为或）． 法2（定比点差法）： 因为A、B在C上，于是，即， 两式相减得， 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 故， 联立解得，或，． 第一种情况，得； 第二种情况，同理得． 故直线AB的方程为或． （2）设，则，，， ，所以，即， 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 又，故， 故， 当，即时，，无解，舍去； 当，即时，整理得， 解得或． 综上所述，的取值范围是； （3）不存在，理由如下： 假设存在，等价于． 由（2）知，A、P、B三点共线，又T在直线AB上，所以T、A、P、B四点共线， 则直线，又，故， 从水平方向上看，有，整理得． 从竖直方向上看，有，整理得． 所以， 又由（2）得，， ，， 所以，，代入整理得． 而，所以，整理得， 所以，解得，与矛盾． 故不存在这样的． 考点四 以双曲线为背景的斜率问题 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意，且，所以， 故曲线的方程为. （2）如图， ①若，设， 因为，所以. 因为在双曲线上，所以. 以上三个方程联立，解得或. 当时，则，由，得， 再由，可解得. 此时. 当时，因为在同一支上，则不满足条件，舍， 所以. ②根据条件均存在知均不为零， 设点，三角形外心， 则有， 两两相减可得：， 则的中垂线为， 将代入则：，整理得， 又点在直线上，所以有① 同理有的中垂线为， 又点在直线上，所以有② 由①②得，， 整理得：，即， 则有. 2．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AB的斜率k为定值； (3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）双曲线（）右焦点的坐标为， 不妨取C的一条渐近线的方程为 即，所以 又，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设，，则, 两式相减并整理得，, 因为线段AB的中点为，则， 所以，因为，所以， 所以直线的斜率k为定值2． （3）设直线，联立，消去得， 因为，所以， 则， 故， 点O到直线AB的距离为 所以， 整理得，解得（舍去），则，    又因为，所以直线AB的方程为 3．（2025·辽宁沈阳·二模）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)（ⅰ）；（ⅱ）， 【详解】（1）由，得， 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 则，则， 所以当，且时，曲线为双曲线； （2）方法一：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，，设点，由， 即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为，即， 联立，得， 由直线BG与双曲线有2个交点，则， 又因为满足， 由韦达定得，解得， 因为，且， 得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为，所以， 所以，可得，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以， 因为，则，则， ； 方法二：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，， 设点，由．即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为， 设点（，），因为， 所以，所以，， 同理，由， 两式作差得， 将直线BG方程代入并化简得（*） 所以，所以， 可得，即的取值范围为； （ⅱ）由（*）式可得， 所以， 由（ⅰ）得， 所以． 4．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）（1）由题意知，因为， 得，， 所以双曲线的方程为. （2）（i）依题意，设直线的方程为，. 由消去x并整理得. 由直线与双曲线的右支交于两点，可得 . 解得. 则，. 即，而. 所以为定值. （ii）由（2）知，直线：，直线：. 则点的横坐标为. 于是. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 5．（2025·广西·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求的标准方程. (2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线，（斜率都存在），与交于另一点，与交于另一点，证明： （i），的斜率之积为定值； （ii）存在定点，使得关于点对称. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则由题意可知，， 结合得，，， 故的标准方程为. （2）（i）设，如下图所示： 设过点的切线方程为，即， 所以圆心到切线的距离为，即， 因此的斜率是上式中方程的两根，即， 又因为，所以. 所以的斜率之积为定值，且定值为2. （ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，得. 因为， 所以， 则，同理可得， 所以， 因为，所以，所以，得， 又因为，，得或（舍去）， 所以存在定点，使得关于点对称. 6．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)①②证明见解析 【详解】（1）由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. （2）如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 7．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为，过焦点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，的面积分别为. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点， 所以 解得， 故双曲线的标准方程为； （2）（i）易知，， 由题可设直线的方程为， 由，得， ， 直线与的右支交于两点， ， ， . ， 故为定值. （ii）由题意可得， 直线的方程为，则， 同理可得， ， ， ， ，当且仅当时等号成立， 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $