函数的单调性专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 考点目录 单调性的定义与证明 单调性的应用：利用单调性求最值与值域 单调性的应用：利用单调性解不等式 单调性的应用：复合函数的单调性 单调性的应用：分段函数的单调性 单调性的应用：二次函数的单调性 抽象函数的单调性 考点一 单调性的定义与证明 1.(24-25高一上·广东广州阶段练习)若函数y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，且0<x1<x2,则下列选项错误的是 () A.f(x)>f (x2) B. f(x)-f()<o X1-x2 C.(x-x)[f(x)-fx)]<0 D. f(x)-f()0 x1-x2 2.(25-26高三上江苏南通·开学考试)设函数f(x的定义域为R,则“f1<f(2)”是“f(x不是减函数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2425高一上北京期中)设函数f)=x+4+3 x (1)求函数∫(x)的图象与直线y=2x交点的坐标： (2)当x∈(0，+o),求函数f(x)的最小值： (3)判断f(x)在(2，+∞)上的单调性，并用定义证明. 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 4.(2425商-上：四川德阳期中)设函数八=-x子0) 求f,f,f2: (2)判断函数f(x在(0，+0的单调性并证明. 5.2425高一上新江衡州期)已知函数=+。，且满足了0)=0,0=号 x2+a (1)求a和b的值； (2)判断f(x在-2,2上的单调性，并用定义证明 2 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 6.425商-上圹广素泰莞期抄已如函数到-货投，且训=号·到-日 (I)求f(x)的解析式： (2)判断f(x在(-2，+0)上的单调性，并用定义证明. (3)若对x∈[0,3]，f(x)-m≥0恒成立，求实数m的取值范围. 7.(2425高一上·天津西青期末)已知函数f(x)=ax2-2x-3,不等式f(x>0的解集为{xx<-1或x>3}. (1)求函数f(x)的解析式： ②设gx=国，判断gx在区间(0，+切上的单调性，并用定义法证明 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 考点二 单调性的应用：利用单调性求最值与值域 1.（2425高一上广东汕头期中)已知函数fx=2x-3 x+1 (I)函数单调性的定义证明：函数f(x)在(-1，+∞)上单调递增； (2)求函数∫(x)在区间1,4上的最大值和最小值 2.243府-上广西柳州阶段练习》已知函数-经过12，(（2引两点 ax+b (1)求函数f(x)的解析式： (2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性并用定义进行证明； 11 6)当x32时，m≥f(,求实数m的最小值 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 3.(2425高一上福建厦门-期中)已知函数f9=+1,x∈3,51. 2-x’ (1)判断函数∫(x)在3,5上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； 2)求函数f)=+1,x∈3,5]的最大值和最小值. 2-x 4.(2425高一上海南省直辖县级单位：期中)已知函数fx-)=-2x+a,且了-1=-2. x-1 (1)求函数fx)的解析式： (2)证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减 ©求函数在[日2的最能 5 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 5.(2425高一上宁夏银川期中)已知函数fx)=x+16 (1)判断并证明f(x)在(0,4上的单调性； (2)求函数fx)在(2,4上的值域. 6.2425高一下·安徽滁州：期末)已知函数/y=x-40-1 x-1 (1)用函数单调性的定义证明：f(x)在(1，+o)上单调递增 (2)若a≤0，函数gx=f(x儿 (i)证明：gx)的图象关于直线x=1对称； (i)求gx在[0,1)U(1,2上的值域（用含a的式子表示）· 6 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 7.2425高=下浙江宁波期末)设函数f川纤·函数8-+5-2m (1)若对于任意的x,e(0,+0),总存在x2∈[-1,1，使得g(x,≥f(x,),求实数m的取值范围； (2)若存在x [引 使得gx)(x-1)≥1成立，求实数m的最大值 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 考点三 单调性的应用：利用单调性解不等式 1.2425高一上黑龙江哈尔滨期中)函数f川是定义在0，+)的增函数，则满足/2x-1<付的x取值范 围() AG引 c.2别 n.别 2.2425商三上北京开学考试)已知函数f是定义在0+四)上的塔函数，测满足/2x-</得 的x的取值 范围是() AB c D.B引 3.(2425高一上山西大同阶段练习)己知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2-2)<f(-x),则x的取值范围 是 4.2425高一上浙江杭州期中)已知函数f(=1-5+ 2 (1)试用函数单调性定义证明函数∫(x)在R上单调递增； (2)求不等式fm2-2m<f(m-2)的解集. 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 5.(2425高一上海南海口阶段练习)已知函数f(x)=-2(x>0) 2x (1)用单调性的定义证明函数y=f(x)在区间(0，+o)上是单调递增： (2)求关于x的不等式f(1-x)<f(x)的解集 6.(2425高一上浙江嘉兴期中)已知函数f(x=x+”，且f)=2. (1)求m; (2)根据定义证明函数f(x)在区间(1，+0)上单调递增； (3)在区间(1，+∞)上，若函数f(x)满足f(a+2)>f(2a-1),求实数a的取值范围. 9 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 考点四 单调性的应用：复合函数的单调性 1.(2425高一上广东广州期中)函数y= √x2-2x 的单调递减区间是() A.（-0,1) B.(-0,0) C.(1,+∞) D.(2,+0) 2.(2425高一上江苏苏州期末)函数f(x)=√x2-1的单调递减区间为() A.（-0,-1 B.（-0,0] C.[0,+o D.[1,+0j 3.2425高一上·福建泉州期中)函数y=-4 1 的单调递增区间是() A.（-0,0) B.(-00,2) C.(2,+00) D.(4,+0) 4.(2425高一上·福建厦门期中)函数f(x)=√-x2-2x的单调递减区间是() A.[-1,0] B.[-2,- C.[-1,+o） D.（-0,-1] 5.(2425高一上北京期中)函数f(x)=√x2+2x-8的值域是一；单调递减区间是」 6.(23-24高一上河南新乡·期末)已知函数f(x=√x2+4ax+7在[1,2]上是减函数，则a的取值范围是 7.(2425高一上山东青岛期中)函数f(x)=√3+2x-x2的单调递增区间是 8.(2425高一上广东深圳期巾)）勇数到=-2的华调递诚区间是一 10函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 函数的概念与性质：函数的单调性专项训练 考点目录 单调性的定义与证明 单调性的应用：利用单调性求最值与值域 单调性的应用：利用单调性解不等式 单调性的应用：复合函数的单调性 单调性的应用：分段函数的单调性 单调性的应用：二次函数的单调性 抽象函数的单调性 考点一 单调性的定义与证明 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】首先，若，则函数必定不是减函数，所以“不是减函数”，所以“”是“不是减函数”的充分条件； 其次，若不是减函数，则至少存在一组，使得，但并不一定是，这一组. 比如，在上单调递减，在上单调递增，所以函数不是减函数，但是,所以“不是减函数”不能推出“”，即“”不是“不是减函数”的必要条件. 故“”是“不是减函数”的充分不必要条件. 故选：A 3．（24-25高一上·北京·期中）设函数 (1)求函数的图象与直线交点的坐标； (2)当，求函数的最小值； (3)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)和 (2)7 (3)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）与相交处有， ∴，即，解得或， 因此交点为和. （2）当时，，当且仅当时取等号. 因此函数的最小值为7. （3）在上单调递增. 证明：对任意，若，则 ， 因为，所以，所以， 又因为，所以. 因此在上单调递增. 4．（24-25高一上·四川德阳·期中）设函数. (1)求，，； (2)判断函数在的单调性并证明. 【答案】(1)，，； (2)在单调递增，证明见解析 【详解】（1），，； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，故，即. 所以在上单调递增. 5．（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知函数，且满足，. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）函数满足，， 可得，解之. （2），在上单调递增， 设任意，且， 则， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增. 6．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得，解得， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 令，则， 由，故，，即， 故在上单调递增； （3）由在上单调递增， 则当时，有， 即. 7．（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，证明见解析 【详解】（1）由题意得：是的两根， 故，解得， ； （2）在上单调递增，证明如下： ， 任取，且， ， 又，， ， ， ， 在区间上单调递增. 考点二 单调性的应用：利用单调性求最值与值域 1．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 2．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数m的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，， 所以m的最小值为. 3．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，． (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； (2)求函数，的最大值和最小值． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2)， 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增； （2）由（1）可知在上单调递增， 所以，. 4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：函数在上单调递减. (3)求函数在的最值 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为2，最大为. 【详解】（1）因为，， 令，则，所以，则，解得， 可得，令，则， 则，, 函数的解析式为． （2）任取，且， 则， ，且， ，即， 函数在上单调递减． （3）由（1）任取，且， 则，则， 即函数在上单调递增． 故在上单调递减，在上单调递增， 又，. 故在的最小值为2，最大为. 5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)在上单调递减.证明见详解. (2) 【详解】（1）在上单调递减. 证明：任取， ∵，∴，，， ∴， ∴在上单调递减. （2）由（1）可知在上单调递减， ∴ ∴在的值域： 6．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明：在上单调递增. (2)若，函数. （i）证明：的图象关于直线对称； （ii）求在上的值域（用含的式子表示）. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）见解析 【详解】（1），任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，即，故在上单调递增. （2）（i）由题意得， ， 故，故的图象关于直线对称. （ii）由于的图象关于直线对称，所以只需研究区间， 由（1）知在上单调递增，令，则，整理得 ，又，解得. 当时，在单调递增，的值域为； 当时，， 所以在单调递减，在单调递增，的值域为； 当时，，在单调递减，又， 的值域为. 7．（24-25高二下·浙江宁波·期末）设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）对于任意的，总存在，使得， 即， 其中，， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. （2）时，可得，， 即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 考点三 单调性的应用：利用单调性解不等式 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 3．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)试用函数单调性定义证明函数在R上单调递增； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 设， 则 ， 因为，所以 又因为，， ， 所以， 所以函数在R上单调递增； （2）由（1）知，函数在R上单调递增， 因为，所以， 可得， 所以，即的解集为. 5．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知函数. (1)用单调性的定义证明函数在区间上是单调递增； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）任取，且， 则 ∵，∴， 则，即， ∴在上是增函数． （2）由题可知，解得. 故不等式的解集为. 6．（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，且． (1)求； (2)根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)在区间上，若函数满足，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）∵，   ∴，   ∴. （2）由于， 证明：，且， 则 ， ∵，    ∴， ∴，即， 故在上单调递增. （3）∵在上单调递增，所以， ∴， ， ∴. 考点四 单调性的应用：复合函数的单调性 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 3．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得或. 令，则. 幂函数在上单调递减， 二次函数对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：A. 4．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 且内层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的递减区间为. 故选：A. 5．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为， 由于在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为. 故答案为：，. 6．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 由解得. 故答案为： 7．（24-25高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】（区间开闭都行） 【详解】令，解得，即函数的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 则在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上为减函数，在上为增函数，且， 外层函数在上为减函数， 所以，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 考点五 单调性的应用：分段函数的单调性 1．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．[0，1] 【答案】B 【详解】由条件可知，在区间上单调递减，则，即， 且在分界点处满足，得， 所以. 故选：B 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知的最小值为，故，即． 当时，，不合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为全局最小值，还需在上， 此时的下确界为3，故需， 解得， 综上，实数的取值范围为 故选：D． 3．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在上单调递减，即在和上单调递减，且， 则，解得.    故选：A. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 5．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由函数在上单调递增， 可得，即，解得， 故答案为： 6．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 7．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意； 若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值； 若，则时，是减函数，， 时，，因此在时是增函数， 由得，所以， 当时，，的最小值是，不是，不合题意， 综上，的取值范围是． 故答案为： 8．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得, 解得． 故答案为： 考点六 单调性的应用：二次函数的单调性 1．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知 (1)若在上单调，求实数的取值范围； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，在上单调递减，符合题意； 当时，的图象对称轴是，注意到， 而在上单调，则，解得； 当时，注意到对称轴，满足在上单调； 综上，. （2）①当时，在上单调递减，， ②当时，的图象开口方向向上，且对称轴为， （ⅰ）当，即时，对称轴， 则在上递减，在上递增， ； （ⅱ）当，即时，在上递减， ； ③当时，的图象开口方向向下，且对称轴，在轴的左侧， 则在上单调递减，故； 综上所述，. 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，且，的最小值为． (1)求a，b的值； (2)记在上的最大值为，求的最小值． 【答案】(1)， (2)0 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 又的最小值为，所以 ，解得． （2）由（1）知，其图象的对称轴为直线， 因在上的最大值为， 则当，即时，； 当，即时，， 所以 当时，； 当时，（仅当时等号成立）， 所以的最小值为0． 3．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知二次函数的两个零点分别是和3. (1)求b、c的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在内的值域. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【详解】（1）由题意得，解得； （2）在上单调递增，证明如下： 由（1）知，令， 所以 ， 而，则，所以， 综上，在上单调递增. （3）由，则在上单调递减，在上单调递增， 且，，故在的值域为. 4．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， 不等式，即，即，解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为在区间上单调递增， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·北京通州·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)2 (3)答案见解析 【详解】（1）因为，不等式为. 对于方程，解得. 所以不等式的解集为. （2）因为，所以开口向上. 因为在区间上单调递增， 所以.解得.所以的最小值为2. （3）因为， 所以，即. 当，即时，解得，或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 6．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知二次函数的值域为. (1)判断此函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； (2)求出在上的最小值，并求的值域. 【答案】(1)函数在上为增函数，证明见解析 (2)，的值域为 【详解】（1）解：因为二次函数的值域为，则，解得， 二次函数在上为增函数，证明如下： 任取、，且，即， 则 ， 因为，则，，则， 所以，，即， 所以，函数在上为增函数. （2）解：因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上为增函数，则， 当时，即当时，函数在上为减函数，在上为减函数， 此时，. 综上所述，， 因为函数在上为增函数，则， 因此，函数的值域为. 考点七 抽象函数的单调性 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）在等式中， 令，可得，解得； （2）因为，则， 任取，则， 由时，，可得， 则，即， 因此，函数在上是增函数． 3．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数对任意的，都有，且当时，. （1）判断并证明的单调性； （2）若，解不等式． 【答案】（1）函数在R上单调递增；（2） 【详解】（1）任取且， ∵， ∴， 即， 因为，∴， ∴， ∴在上单调递增， （2）， ∴， ∴， ∴， 解得：. 所以原不等式的解为. 4．（24-25高一上·新疆·期中）已知定义在上的函数满足对任意的，恒成立.当时，，且. (1)判断的单调性并证明， (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递增. 证明如下： 设，则. 因为当时，，所以. 因为，所以， 则，即， 故在上单调递增； （2）因为，所以，即. 因为，所以，则等价于 ，即， 即， 由（1）可知在上单调递增，则， 解得，即不等式的解集是. 5．（24-25高一上·重庆万州·期中）定义在上的函数，满足，且当时，. (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）将代入可得，解得 （2）设，则，则， ，即， 则在为增函数； （3）由可得， 因为在上是增函数，所以，解得， 故不等式的解集为 6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，，解不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴， ∴是上的增函数； （2）∵， ∴，取，则， ∵， ∴， 于是等价于， 由（1）知是上的增函数， ∴，解得或， ∴原不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $