精品解析：天津市第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

2025-2026（一）天津二中高二年级第一次月考 数学学科试卷 一、选择题（每题4分，共36分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 5. “”是“直线与直线互相垂直的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 7. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为______． 11. 已知的三个顶点，，，则边上的垂直平分线所在直线的方程为______． 12. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________． 13. 若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值为______． 14. 在平行六面体中，，记向量，，，则用，，表示向量______． 15. 如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.给出下列四个结论； ①三棱锥中，点到面的距离为定值 ②过点且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为 其中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（共40分） 16. 已知. （1）求的值： （2）设向量，求； （3）若，求的值. 17. 在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（一）天津二中高二年级第一次月考 数学学科试卷 一、选择题（每题4分，共36分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率，再由求解倾斜角. 【详解】直线的斜率 ， ∴. 故选：C 【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题. 2. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解. 【详解】由，得， 又，， 则符号相反，符号相反， 所以符号相同， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线不通过第三象限. 故选：C. 3. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可 【详解】设向量与的夹角为， 因为，，且， 所以，得， 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A 4. 已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为. 故选：D 5. “”是“直线与直线互相垂直的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线垂直的判定列方程求参数值，再由充分、必要性定义及推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】由两直线垂直，则，整理得， 所以或，经检验均满足题设， 所以“”是“直线与直线互相垂直的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得. 【详解】因，，共面，可设（）， 即， ，解得． 故选：C. 7. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有 故选：C 8. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 9. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由方向向量和斜率的关系直接计算即可得出结果. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率. 故答案为：. 11. 已知的三个顶点，，，则边上的垂直平分线所在直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出两点的中点坐标，及边上的垂直平分线所在直线的斜率，再由直线的点斜式方程可得答案. 【详解】两点的中点为，即， 边所在直线的斜率为， 则边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 则边上的垂直平分线所在直线的方程为， 即. 故答案为：. 12. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线相互平行， 则，即，解得. 故答案为：. 13. 若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式可得答案. 【详解】因为，，所以； 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故答案为： 14. 在平行六面体中，，记向量，，，则用，，表示向量______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理可得答案. 【详解】点即为，所以 . 故答案为：. 15. 如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.给出下列四个结论； ①三棱锥中，点到面的距离为定值 ②过点且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为 其中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于①③用空间向量求解；对于②可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于④设球心，由求解球心坐标即可. 【详解】 以A为坐标原点，分别以为轴建系如图： ,， ， 设, 则， 所以， 设面的一个法向量为， 则， 令得， 对于①：到平面的距离为，故①正确； 对于②：连接，因为四边形为平行四边形， ，又面，面， 面， 同理可证面， 又，所以面面， 所以过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故②错误； 对于③：设直线与面所成角为，则， ，， 所以直线与面所成角的正弦值的范围为，故③正确； 对于④：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心， ， ， 解得， 所以外接球半径满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故④错误； 故答案为：①③ 【点睛】几何体外接球球心的求法： （1）将几何体置入长方体中找球心； （2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心； （3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标. 三、解答题（共40分） 16. 已知. （1）求的值： （2）设向量，求； （3）若，求的值. 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的数量积坐标运算计算； （2）由向量平行求出，由向量模的坐标运算计算； （3）由向量垂直的坐标运算计算. 【小问1详解】 因为，所以 所以； 【小问2详解】 ，因为，所以，， 所以，所以，所以， 所以，所以. 【小问3详解】 ， 因为，所以， 即，解得. 17. 在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. （1）求证：平面； （2）求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则，， 所以，显然平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，证明即可; （2）求平面的法向量与平面的法向量的夹角可得结论; （3）求在平面的法向量上投影的绝对值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量可以为， 则设两平面所成角为，则, 为锐角，所以两平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）知平面的法向量为， 又，设点到平面的距离为， 则 所以点到平面的距离. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】18. 证明如下： 因为平面，平面，平面，所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得 ，，，，， 所以，，. 因为，.所以， 又，平面，平面. ∴平面. 19. ； 20. . 【解析】 【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证； （2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案； （3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量，由（1）可知， 设平面的法向量 因为，. 所以，即， 不妨设，得. ， 又由图示知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）设，即.所以，即. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即. 【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取. 1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。 2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标. 3、求：求出两个面的法向量. 4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值； 5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $