2.2 简谐运动的描述 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

2.2 简谐运动的描述 重难分析 1. 简谐运动的振幅、周期和频率（重点） 2. 简谐运动的相位、表达式（难点） 3. 简谐运动的周期性与对称性 （易错点） 知识点梳理 1.简谐运动的特征 位移特征 受力特征 回复力：F=-kx；F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反。 能量特征 系统的动能和势能相互转化,机械能守恒 对称性特征 质点经过关于平衡位置O对称的两点时,速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置用时相等。 周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 2. 注意： （1）弹簧振子（或单摆）在一个周期内的路程一定是4A，半个周期内路程一定是2A，四分之一周期内的路程不一定是A。 （2）弹簧振子周期和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹簧的劲度系数k ），与振幅无关。 知识点梳理1：简谐运动的振幅，周期和频率 1．对全振动的理解 (1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。 (2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 (3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。 2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系 (1)位移和振幅 ①最大位移的数值等于振幅。 ②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③位移是矢量，振幅是标量。 (2)路程与振幅 ①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4A。 ②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2A。 (3)周期与振幅 一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 一些技巧 1．振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。 2．当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于A。 例题精讲： 【例1】（2025•广安区校级模拟）如图甲所示，一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈细铁丝后竖直悬浮静止在装有盐水的杯子中，木筷下端到水面的距离为h0，现把木筷竖直向上提起一段距离后放手，忽略水的黏滞阻力及水面高度变化，以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，木筷下端的位移y随时间t变化的图像如图乙所示。已知盐水的密度为ρ，木筷的横截面积为S，木筷下端到水面的最小距离为h1。则（　　） A．2t0和6t0时刻木筷速度相同 B．木筷做简谐运动的振幅为 C．木筷（含铁丝）的质量为ρSh0 D．木筷在0～3t0时间内运动的路程为（h0﹣h1） 【例2】（2022春•荔湾区校级期中）振子在a，b间做简谐运动，如图所示，O为平衡位置，从某一时刻开始（t＝0）经过周期，振子具有正方向最大加速度，那么能正确反映振子振动情况的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025•河北区校级开学）如图，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离是10cm，B→C运动时间是1s，则（　　） A．振动周期是1s，振幅是10cm B．从B→O→C振子做了一次全振动 C．经过两次全振动，通过的路程是20cm D．从B开始运动经过3s，振子通过的路程是30cm 【例4】（2025春•合肥校级期末）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是（　　） A．，3t B．，5t C．，t D．，t 【例5】（2025•河南模拟）竖直方向的弹簧一端固定于A点，另一端连一小球，小球穿过固定在y轴上的光滑直杆，一水平弹性长绳与小球相连，沿绳方向建立x轴，沿弹簧轴线方向建立y轴，如图甲所示。现让小球在竖直方向上做周期为T的简谐振动，带动弹性绳形成向右的简谐横波。振动后，某时刻记为t＝0时刻，t时弹性绳状态如图乙所示，则小球的位移y随时间t变化的关系式为（　　） A．y＝Asin（t） B．y＝﹣Asin（t） C．y＝Acos（t） D．y＝﹣Acos（t） 知识点梳理2：简谐运动的相位和表达式 1．相位 (1)概念：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 (2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。 (3)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。 2．简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。 一些技巧 1．相位 相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 2．相位差 频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。 若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相； 若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 3．简谐运动的表达式x＝Asin(t＋φ) (1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 (2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。 例题精讲： 【例6】（2024秋•随州期末）一弹簧振子的位移随时间变化的关系式为，位移的单位为，时间的单位为，则　　 A．弹簧振子的振幅为 B．弹簧振子的周期为 C．在时，振子的运动速度为0 D．若另一弹簧振子的位移随时间变化的关系式为，则的振幅和周期分别是的振幅和周期的2倍 【例7】（2024秋•甘肃期末）如图所示，为一弹簧振子做简谐运动的位移随时间变化的规律，下列说法正确的是　　 A．振子做简谐运动的频率为 B．振子做简谐运动的振幅为 C．时，振子加速度最大，方向沿轴正方向 D．时，振子的加速度为零，速度方向沿轴负方向 【例8】（2023秋•日照期末）如图所示，倾角为的光滑斜面顶端固定一垂直斜面的挡板，劲度系数为的轻弹簧一端固定一个质量为的小球，另一端固定在挡板上。时刻，从点静止释放小球，小球能在、两点间做简谐运动。小球在点时，弹簧正好为原长，第一次运动到点所用的时间为，设沿斜面向下为正方向，则小球的振动方程为　　 A． B． C． D． 【例9】（2024秋•南京校级月考）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置。振子到达点开始计时。以竖直向上为正方向，在一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是　　 A．振子在点受到的弹簧弹力等于零 B．振子做简谐运动的表达式为 C．和时，振子的速度不同，但加速度大小相等 D．在的时间内，振子通过的路程为 【例10】（2024秋•湖南月考）如图所示为一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在水杯中，将木筷竖直向下按一段距离，然后由静止释放并开始计时，经时间木筷第一次上升到最高点，之后在水中上下振动，在一段时间内木筷在竖直方向可近似看作简谐运动，若取竖直向上为正方向，则木筷的振动方程为　　 A． B． C． D． 知识点梳理3：简谐运动的周期性和对称性 1．简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。 (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。 一些技巧 1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。 2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。 例题精讲： 【例11】（2025•涪城区校级开学）扬声器（如图甲所示）是靠其纸盆中心振动产生声音的。图乙是扬声器纸盆中心质点做简谐运动的振动图像，不计质点的重力，下列说法正确的是（　　） A．在0～时间内，纸盆中心质点振动的速度先减小后增大，且方向不变 B．在0～时间内，纸盆中心质点振动的加速度先增大后减小，且方向不变 C．在任意一个的T内，纸盆中心质点振动的路程为A D．在～T时间内和在0～时间内，纸盆中心质点合外力做功不同 【例12】（2025春•吉林期末）图甲所示为以O点为平衡位置、在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在t＝0.2s时，弹簧振子运动到O位置 B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同 【例13】（2025春•雨花区校级期末）如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。则（　　） A．在t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子不在同一位置 C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能 【例14】（2025春•保定月考）如图甲所示，弹簧振子在光滑水平地面上M、N两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，以向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示，下列判断正确的是（　　） A．1.2s～1.6s内，振子向负方向运动 B．t＝0.2s时和t＝0.6s时振子的速度相同 C．t＝0.6s时和t＝1.0s时振子的加速度相同 D．t＝1.0s时振子的动能大于t＝1.3s时振子的动能 【例15】（2025春•道里区校级期中）如图所示，可视为质点的小球以O为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。若从小球经过O点开始计时，在t1＝0.1s时刻小球第一次经过O、B两点间的M点（图中未画出），在t2＝0.5s时刻小球第二次经过M点，则小球第四次通过M点的时刻为（　　） A．1s B．1.3s C．1.6s D．1.7s 课后提优练习 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•武昌区期末）如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．质点的振幅是20cm B．图中L点，质点的位移最小 C．图中K点，质点正在向平衡位置运动 D．质点经4s时间的路程可能小于40cm 2．（2025春•佛山期末）如图甲所示，轻质弹簧与小球组成弹簧振子，在竖直方向上做简谐振动，其中O点为静止时小球的位置，B、C分别为最低点和最高点，取竖直向下为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点时弹簧处于原长状态 B．t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 C．t＝0.2s到t＝0.4s内，弹簧振子做加速度减小的变加速直线运动 D．在t＝0.1s与t＝0.7s时，弹簧振子的速度大小相等、方向相反 3．（2025•德阳模拟）质量为m＝0.5kg的重物和劲度系数为k＝100N/m轻弹簧制作的一个振动装置，如图（a）所示，轻弹簧上端连接在同定的力传感器上。将重物拉离平衡位置，力传感器的示数F随时间t变化的图像如图（b）所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．重物做简谐振动的周期为1.0s B．t＝0.6s时，重物处于最低点 C．0.4s～0.6s，重物的加速度越来越小 D．重物做简谐振动的振幅为5cm 4．（2025春•雨花区校级期末）如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。则（　　） A．在t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子不在同一位置 C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能 5．（2025春•驻马店校级期末）在水平方向上做简谐运动的弹簧振子在某段时间内位移越来越大，则这段时间内（　　） A．小球的动能越来越大 B．小球正在靠近平衡位置 C．小球的加速度越来越小 D．小球的速度方向与位移方向一定相同 6．（2025春•沙河口区校级期中）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．该振子的振幅为16cm B．t＝0.5s时，振子的位移为4cm C．t＝1.5s到t＝1.8s的时间内，振子的加速度逐渐增大 D．t＝0到t＝6.0s的时间内，振子通过的路程为1.8m 7．（2025春•滨海新区期末）如图所示是质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是（　　） A．t＝0.4s时质点速度为零 B．质点在0.2s内完成一次全振动 C．振动图像上A、B两点的速度相同 D．振动图像上A、B两点的加速度相同 8．（2025春•浙江期中）小明将手机系在轻弹簧下方制作了一个振动装置。在一次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，弹簧弹力为0 B．t＝0.1s时，手机位于平衡位置上方且速度在增大 C．从t＝0.4s至t＝0.6s，手机的动能减小 D．从t＝0.4s至t＝0.6s，手机的机械能先增加后减少 9．（2025•临汾模拟）如图甲所示，质量M＝5.0kg的箱子P放在水平地面上，两根相同的轻质弹簧连着质量m＝1.0kg的小球Q，两弹簧另一端与箱子P连接，弹簧均处于竖直状态。取竖直向上为正方向，小球在竖直方向振动过程中相对平衡位置的位移y随时间t的变化如图乙所示，箱子P始终保持静止。已知两弹簧的劲度系数k＝50N/m，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．t1＝0.05πs时，小球的加速度为零 B．t＝0.1πs时．小球的速度为零 C．t2＝0.15πs时，箱子P对地面的压力大小为64N D．t2＝0.15πs时．箱子P对地面的压力大小为56N 10．（2025•武进区校级二模）弹簧振子做简谐运动的周期公式为，其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。小鸟落在树枝上所引起树枝的振动可类比于弹簧振子的简谐运动。如图所示，两只质量不同的小鸟A和B先、后分别落在同一树枝的不同位置时，所引起树枝的振动周期恰好相同，则以下说法中正确的是（　　） A．小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量小于小鸟B的质量 B．小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量大于小鸟B的质量 C．小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量小于小鸟B的质量 D．小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量大于小鸟B的质量 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 简谐运动的描述 重难分析 1. 简谐运动的振幅、周期和频率（重点） 2. 简谐运动的相位、表达式（难点） 3. 简谐运动的周期性与对称性 （易错点） 知识点梳理 1.简谐运动的特征 位移特征 受力特征 回复力：F=-kx；F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反。 能量特征 系统的动能和势能相互转化,机械能守恒 对称性特征 质点经过关于平衡位置O对称的两点时,速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置用时相等。 周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 2. 注意： （1）弹簧振子（或单摆）在一个周期内的路程一定是4A，半个周期内路程一定是2A，四分之一周期内的路程不一定是A。 （2）弹簧振子周期和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹簧的劲度系数k ），与振幅无关。 知识点梳理1：简谐运动的振幅，周期和频率 1．对全振动的理解 (1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A。 (2)完成一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 (3)完成一次全振动历时一个周期，通过的路程是振幅的4倍。 2．简谐运动中位移、路程、周期与振幅的关系 (1)位移和振幅 ①最大位移的数值等于振幅。 ②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③位移是矢量，振幅是标量。 (2)路程与振幅 ①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅，即4A。 ②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅，即2A。 (3)周期与振幅 一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 一些技巧 1．振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。 2．当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于A。 例题精讲： 【例1】（2025•广安区校级模拟）如图甲所示，一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈细铁丝后竖直悬浮静止在装有盐水的杯子中，木筷下端到水面的距离为h0，现把木筷竖直向上提起一段距离后放手，忽略水的黏滞阻力及水面高度变化，以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，木筷下端的位移y随时间t变化的图像如图乙所示。已知盐水的密度为ρ，木筷的横截面积为S，木筷下端到水面的最小距离为h1。则（　　） A．2t0和6t0时刻木筷速度相同 B．木筷做简谐运动的振幅为 C．木筷（含铁丝）的质量为ρSh0 D．木筷在0～3t0时间内运动的路程为（h0﹣h1） 【解答】解：A．由图像可知，木筷振动周期为T＝8t0，2t0～6t0时间差为，两时刻速度的大小相等，但是方向不同，故A错误； B．木筷静止时下端到水面的距离为h0，做简谐振动时木筷下端到水面的最小距离为h1，则振幅A＝h0﹣h1，故B错误； C．木筷静止在平衡位置时，所受重力与浮力相等，即mg＝ρgSh0 解得m＝ρSh0 故C正确； D．木筷振动方程的一般形式为y＝Asin（ωt+φ） 其中； 代入，得y t＝0时，有 结合图乙可知，木筷在0～3t0时间内运动的路程为s＝2A﹣y0 故D错误。 故选：C。 【例2】（2022春•荔湾区校级期中）振子在a，b间做简谐运动，如图所示，O为平衡位置，从某一时刻开始（t＝0）经过周期，振子具有正方向最大加速度，那么能正确反映振子振动情况的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：某一时刻作计时起点（t＝0），经周期振子具有正方向最大加速度，则位移为负方向最大，即在a点，说明t＝0时刻质点经过平衡位置向左，即向﹣x方向运动，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【例3】（2025•河北区校级开学）如图，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离是10cm，B→C运动时间是1s，则（　　） A．振动周期是1s，振幅是10cm B．从B→O→C振子做了一次全振动 C．经过两次全振动，通过的路程是20cm D．从B开始运动经过3s，振子通过的路程是30cm 【解答】解：A、由题意可知，BC间距离为10cm，B→C运动时间为1s，则振幅Acm＝5cm，周期为T＝2tBC＝2×1s＝2s，故A错误； B、从B→O→C振子通过的路程是两个振幅，不是一次全振动，故B错误； C、经过两次全振动，通过的路程为s＝8A＝8×5cm＝40cm，故C错误； D、从B开始经过3s，振子振动了1.5个周期，通过的路程是s＝1.5×4A＝6×5cm＝30cm，故D正确。 故选：D。 【例4】（2025春•合肥校级期末）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是（　　） A．，3t B．，5t C．，t D．，t 【解答】解：AB．若平衡位置在A的左侧，已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，则有， 由于A、B两点相距L，则有xB﹣xA＝L 解得 以平衡位置为起点，以向右运动为正方向，则振动方程为 则有， 由于质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，解得 解得T＝4t，故AB错误； CD．若平衡位置在AB之间，根据题意有， 由于A、B两点相距L，则有xB+xA＝L 解得 以平衡位置为起点，以向右运动为正方向，则振动方程为 则有， 由于质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，解得 解得，故C正确，D错误。 故选：C。 【例5】（2025•河南模拟）竖直方向的弹簧一端固定于A点，另一端连一小球，小球穿过固定在y轴上的光滑直杆，一水平弹性长绳与小球相连，沿绳方向建立x轴，沿弹簧轴线方向建立y轴，如图甲所示。现让小球在竖直方向上做周期为T的简谐振动，带动弹性绳形成向右的简谐横波。振动后，某时刻记为t＝0时刻，t时弹性绳状态如图乙所示，则小球的位移y随时间t变化的关系式为（　　） A．y＝Asin（t） B．y＝﹣Asin（t） C．y＝Acos（t） D．y＝﹣Acos（t） 【解答】解：由图乙可知小球的振幅为A，在t时刻小球在平衡位置，由波的传播方向与质点振动方向的关系可知，小球在向下运动，则t＝0时刻小球正处于负的最大位移处，小球振动的周期为T，则小球的振动方程为x，故ABC错误，D正确。 故选：D。 知识点梳理2：简谐运动的相位和表达式 1．相位 (1)概念：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 (2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。 (3)相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。 2．简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。 一些技巧 1．相位 相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。 2．相位差 频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。 若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相； 若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。 3．简谐运动的表达式x＝Asin(t＋φ) (1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。 (2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。 例题精讲： 【例6】（2024秋•随州期末）一弹簧振子的位移随时间变化的关系式为，位移的单位为，时间的单位为，则　　 A．弹簧振子的振幅为 B．弹簧振子的周期为 C．在时，振子的运动速度为0 D．若另一弹簧振子的位移随时间变化的关系式为，则的振幅和周期分别是的振幅和周期的2倍 【答案】 【分析】由振动方程判断质点的振幅和周期；根据振动方程判断在时质点的位置，进而判断速度大小。 【解答】解：．根据振动方程可知弹簧振子的振幅为，周期为，则错误； ．在时，振子的位移为，可知此时振子处于最大位移位置，振子的运动速度为0，故正确； ．若另一弹簧振子的位移随时间变化的关系式为，则的振幅为，周期为，则的振幅是的振幅的2倍，的周期等于的周期，故错误。 故选：。 【例7】（2024秋•甘肃期末）如图所示，为一弹簧振子做简谐运动的位移随时间变化的规律，下列说法正确的是　　 A．振子做简谐运动的频率为 B．振子做简谐运动的振幅为 C．时，振子加速度最大，方向沿轴正方向 D．时，振子的加速度为零，速度方向沿轴负方向 【答案】 【分析】振子的振幅等于振子位移的最大值，由图直接读出振幅和周期，频率等于周期倒数，最大位移处加速度最大，加速度为零处，速度最大，结合振动图像分析。 【解答】解：由弹簧振子做简谐运动的位移随时间变化的规律图像可知，质点做简谐运动的周期为，频率为，故错误； 由弹簧振子做简谐运动的位移随时间变化的规律图像可知，质点做简谐运动的振幅为，故错误； 时，质点在负向最大位移处，加速度最大，方向沿轴正方向，故正确； 时，速度方向沿轴正方向，故错误。 故选：。 【例8】（2023秋•日照期末）如图所示，倾角为的光滑斜面顶端固定一垂直斜面的挡板，劲度系数为的轻弹簧一端固定一个质量为的小球，另一端固定在挡板上。时刻，从点静止释放小球，小球能在、两点间做简谐运动。小球在点时，弹簧正好为原长，第一次运动到点所用的时间为，设沿斜面向下为正方向，则小球的振动方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据小球在平衡位置处计算振幅，然后根据运动时间计算周期，即可写出振动方程。 【解答】解：小球在平衡位置处，回复力为零，则，则小球的振幅为，小球从点第一次运动到点的时间为，则小球的周期为，设沿斜面向下为正方向，则小球的振动方程为，故正确，错误。 故选：。 【例9】（2024秋•南京校级月考）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置。振子到达点开始计时。以竖直向上为正方向，在一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是　　 A．振子在点受到的弹簧弹力等于零 B．振子做简谐运动的表达式为 C．和时，振子的速度不同，但加速度大小相等 D．在的时间内，振子通过的路程为 【答案】 【分析】根据回复力的特点判断在平衡位置和最远点回复力变化，由图读出振子的周期、振幅和初相位，根据简谐运动的位移表达式写出其振动方程，结合振动方程计算路程；根据图像，结合其特点判断速度与加速度。 【解答】解：．悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，弹簧振子在平衡位置时回复力为0，此时弹簧弹力等于弹簧振子自身重力，故错误； ．由一个周期内的振动图像可知振子振幅，周期，故圆频率 由一个周期内的振动图像可知振子初相位 故振子做简谐运动的表达式 故错误； ．根据简谐运动可知，和时，振子的速度相同，加速度大小相等，故错误； ．在代入上面的简谐运动的表达式，即 在代入上面的简谐运动的表达式，即 故在的时间内，振子通过的路程 故正确。 故选：。 【例10】（2024秋•湖南月考）如图所示为一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在水杯中，将木筷竖直向下按一段距离，然后由静止释放并开始计时，经时间木筷第一次上升到最高点，之后在水中上下振动，在一段时间内木筷在竖直方向可近似看作简谐运动，若取竖直向上为正方向，则木筷的振动方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据木筷向下偏离平衡位置的距离求得振幅，根据木筷最低点到最高点的时间间隔求得周期，最后确定振动方程。 【解答】解：由题意知木筷在水中做简谐运动，振幅为，木筷从最低点运动到最高点的时间为 则周期为 时位移为 所以其振动方程为 故错误，正确。 故选：。 知识点梳理3：简谐运动的周期性和对称性 1．简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。 ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。 (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。 一些技巧 1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。 2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。 例题精讲： 【例11】（2025•涪城区校级开学）扬声器（如图甲所示）是靠其纸盆中心振动产生声音的。图乙是扬声器纸盆中心质点做简谐运动的振动图像，不计质点的重力，下列说法正确的是（　　） A．在0～时间内，纸盆中心质点振动的速度先减小后增大，且方向不变 B．在0～时间内，纸盆中心质点振动的加速度先增大后减小，且方向不变 C．在任意一个的T内，纸盆中心质点振动的路程为A D．在～T时间内和在0～时间内，纸盆中心质点合外力做功不同 【解答】解：A．在时间内，由图乙可知，纸盆中心质点振动的速度先减小后增大，且速度方向改变，故A错误； B．加速度大小与位移大小成正比，在时间内，由图乙可知，纸盆中心质点振动的加速度先增大后减小，加速度方向与位移方向相反，根据图像可知加速度方向不变，故B正确； C．只有质点从平衡位置和端点开始振动时，时间内纸盆中心质点振动的路程为A，故C错误； D．由动能定理可知，在时间内和在时间内，纸盆中心质点合外力做功均为0，故D错误。 故选：B。 【例12】（2025春•吉林期末）图甲所示为以O点为平衡位置、在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在t＝0.2s时，弹簧振子运动到O位置 B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小 D．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同 【解答】解：A、由图知，若从平衡位置计时，则在t＝0.2s时，弹簧振子运动到B位置，故A错误； B、在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反。故B错误； C、从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，回复力做负功，弹簧的弹性势能越来越大，其动能越来越小，故C正确。 D、在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等，方向相反。故D错误。 故选：C。 【例13】（2025春•雨花区校级期末）如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。则（　　） A．在t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子不在同一位置 C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能 【解答】解：A．在t＝0.2s时，弹簧振子的位移为正的最大，则加速度为负向最大，故A错误； B．根据振动图像可知，在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子在同一位置，故B错误； C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子位移增大，速度减小，则弹簧振子做加速度增大的减速运动，故C正确； D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最大的弹性势能，故D错误。 故选：C。 【例14】（2025春•保定月考）如图甲所示，弹簧振子在光滑水平地面上M、N两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，以向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示，下列判断正确的是（　　） A．1.2s～1.6s内，振子向负方向运动 B．t＝0.2s时和t＝0.6s时振子的速度相同 C．t＝0.6s时和t＝1.0s时振子的加速度相同 D．t＝1.0s时振子的动能大于t＝1.3s时振子的动能 【解答】解：A．由振子的位移x随时间t的变化图像可知1.2s～1.6s内，振子位移为负，但向正方向运动，故A错误； B．t＝0.2s时和t＝0.6s时振子的速度大小相等但方向相反，速度不同，故B错误； C．t＝0.6s时和t＝1.0s时振子的加速度大小相等但方向相反，加速度不同，故C错误； D．振子在t＝1.0s时比t＝1.3s时更靠近平衡位置，速度更大，所以t＝1.0s时振子的动能大于t＝1.3s时振子的动能，故D正确。 故选：D。 【例15】（2025春•道里区校级期中）如图所示，可视为质点的小球以O为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。若从小球经过O点开始计时，在t1＝0.1s时刻小球第一次经过O、B两点间的M点（图中未画出），在t2＝0.5s时刻小球第二次经过M点，则小球第四次通过M点的时刻为（　　） A．1s B．1.3s C．1.6s D．1.7s 【解答】解：根据简谐运动的对称性有： 解得简谐运动的周期为T＝1.2s 则小球第四次通过M点的时刻为t3＝T+t2 解得：t3＝1.7s 故ABC错误，D正确。 故选：D。 课后提优练习 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•武昌区期末）如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．质点的振幅是20cm B．图中L点，质点的位移最小 C．图中K点，质点正在向平衡位置运动 D．质点经4s时间的路程可能小于40cm 【解答】解：A、根据图像可知，质点的振幅是10cm，故A错误； B、图中L点处于波谷，质点的位移最大，故B错误； C、有图可知，图中K点，质点正在向平衡位置运动，故C正确； D、质点经4s时间（即一个周期）通过的路程为：s＝4A＝4×10cm＝40cm，故D错误。 故选：C。 2．（2025春•佛山期末）如图甲所示，轻质弹簧与小球组成弹簧振子，在竖直方向上做简谐振动，其中O点为静止时小球的位置，B、C分别为最低点和最高点，取竖直向下为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点时弹簧处于原长状态 B．t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 C．t＝0.2s到t＝0.4s内，弹簧振子做加速度减小的变加速直线运动 D．在t＝0.1s与t＝0.7s时，弹簧振子的速度大小相等、方向相反 【解答】解：A、O点为静止时小球的位置，小球在O点时弹簧处于伸长状态，故A错误； B、t＝0.2s时，弹簧振子处于下方振幅处，根据a可知，加速度为负向最大，故B错误； C、t＝0.2s到t＝0.4s内，弹簧振子的位移减小、速度最大、加速度减小，所以，振子做加速度减小的变加速直线运动，故C正确； D、根据图乙可知，在t＝0.1s与t＝0.7s时，弹簧振子的速度大小相等、方向相同，故D错误。 故选：C。 3．（2025•德阳模拟）质量为m＝0.5kg的重物和劲度系数为k＝100N/m轻弹簧制作的一个振动装置，如图（a）所示，轻弹簧上端连接在同定的力传感器上。将重物拉离平衡位置，力传感器的示数F随时间t变化的图像如图（b）所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．重物做简谐振动的周期为1.0s B．t＝0.6s时，重物处于最低点 C．0.4s～0.6s，重物的加速度越来越小 D．重物做简谐振动的振幅为5cm 【解答】解：A.由题可知，重物做简谐振动的周期等于力传感器的示数F随时间变化的周期，为T＝0.8s，故A错误； B.由图（b）可知，t＝0.6s时，力传感器的示数最小，即合力为向下的最大，此时重物处于最高点，故B错误； C.由图（b）可知，t＝0.2s时，力传感器的示数最大，即合力为向上的最大，此时重物处于最低点，则0.4s～0.6s，在由平衡位置向上运动，所以重物的加速度越来越大，故C错误； D.由图（b）可知，重物在平衡位置时，弹力为F弹＝kx1＝5N，解得x1＝5cm，重物在最低点时，弹力为F弹'＝kx2＝10N，解得x2＝10cm所以， 振幅为A＝x2﹣x1，解得A＝5cm，故D正确。 故选：D。 4．（2025春•雨花区校级期末）如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。则（　　） A．在t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子不在同一位置 C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能 【解答】解：A．在t＝0.2s时，弹簧振子的位移为正的最大，则加速度为负向最大，故A错误； B．根据振动图像可知，在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子在同一位置，故B错误； C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子位移增大，速度减小，则弹簧振子做加速度增大的减速运动，故C正确； D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最大的弹性势能，故D错误。 故选：C。 5．（2025春•驻马店校级期末）在水平方向上做简谐运动的弹簧振子在某段时间内位移越来越大，则这段时间内（　　） A．小球的动能越来越大 B．小球正在靠近平衡位置 C．小球的加速度越来越小 D．小球的速度方向与位移方向一定相同 【解答】解：ABC、做简谐运动的弹簧振子位移越来越大，可知振子正在远离平衡位置，速度越来越小，动能越来越小，位移越来越大，加速度越来越大，故ABC错误； D、弹簧振子位移越来越大，振子正在远离平衡位置，而位移从平衡位置指向振子所在位置，所以这段时间内速度方向和位移方向一定相同，故D正确。 故选：D。 6．（2025春•沙河口区校级期中）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．该振子的振幅为16cm B．t＝0.5s时，振子的位移为4cm C．t＝1.5s到t＝1.8s的时间内，振子的加速度逐渐增大 D．t＝0到t＝6.0s的时间内，振子通过的路程为1.8m 【解答】A．根据振子的位移x随时间t变化的图像，该弹簧振子的振幅为8cm，故A错误； B．根据振子的位移x随时间t变化的图像，该弹簧振子的周期T＝1.2s 振子振动方程为 将t＝0.5s代入解得x＝4cm 故B正确； C．t＝1.5s到t＝1.8s的时间内，振子从最大位移处向平衡位置运动，回复力逐渐变小，加速度逐渐变小，故C错误； D．t＝0到t＝6.0s的时间内，经过了5个周期，经过的路程为s＝5×4A＝1.6m 故D错误。 故选：B。 7．（2025春•滨海新区期末）如图所示是质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是（　　） A．t＝0.4s时质点速度为零 B．质点在0.2s内完成一次全振动 C．振动图像上A、B两点的速度相同 D．振动图像上A、B两点的加速度相同 【解答】解：AB.结合图像可知质点在t＝0.4s时在平衡位置，速度最大，质点在0.4s内完成一次全振动，故AB错误； CD.简谐振动的x﹣t图像中，振动图像上A、B两点的位移相同，根据公式可知加速度相同，由于图像的斜率表示速度，则振动图像上的A、B两点振动物体的速度大小相等，方向相反，故C错误，D正确。 故选：D。 8．（2025春•浙江期中）小明将手机系在轻弹簧下方制作了一个振动装置。在一次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，弹簧弹力为0 B．t＝0.1s时，手机位于平衡位置上方且速度在增大 C．从t＝0.4s至t＝0.6s，手机的动能减小 D．从t＝0.4s至t＝0.6s，手机的机械能先增加后减少 【解答】解：A．由a，可知加速度为零时，手机相对于平衡位置的位移为零，即手机正通过平衡位置，所以此时弹簧的弹力等于手机的重力，故A错误； B、t＝0.1s时，手机的加速度为正，加速度方向与位移方向相反，可知t＝0.1s时，手机的位移为负，在平衡位置的下方，故B错误； C．从t＝0.4s至t＝0.6s，加速度为负且逐渐增大，位移逐渐增大，手机的动能减小，故C正确； D．从t＝0.4s至t＝0.6s，加速度负向变大，回复力变大，位移正向变大，在平衡位置之上，平衡位置是重力等于弹力的位置，所以弹簧形变量减小，弹性势能变小。由于不知道手机的振幅与手机在平衡位置时弹簧的形变量的关系，若手机的振幅小于手机在平衡位置时弹簧的形变量，则手机的机械能一直增大，故D错误； 故选：C。 9．（2025•临汾模拟）如图甲所示，质量M＝5.0kg的箱子P放在水平地面上，两根相同的轻质弹簧连着质量m＝1.0kg的小球Q，两弹簧另一端与箱子P连接，弹簧均处于竖直状态。取竖直向上为正方向，小球在竖直方向振动过程中相对平衡位置的位移y随时间t的变化如图乙所示，箱子P始终保持静止。已知两弹簧的劲度系数k＝50N/m，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．t1＝0.05πs时，小球的加速度为零 B．t＝0.1πs时．小球的速度为零 C．t2＝0.15πs时，箱子P对地面的压力大小为64N D．t2＝0.15πs时．箱子P对地面的压力大小为56N 【解答】解：A．t1＝0.05πs时刻小球在正向最大位移处，回复力最大，由牛顿第二定律，加速度为最大，故A错误； B．t＝0.1πs时刻小球在平衡位置处，速度为最大，故B错误； CD．两弹簧相同，Q静止时，上方弹簧伸长，下方弹簧压缩，设弹簧形变量为x，根据平衡条件有2kx＝m2g 解得x＝0.1m 由图乙知t2＝0.15πs时刻小球在最低点，偏离平衡位置的位移为A，此时上方弹簧拉伸到更长，下方弹簧压缩到更短，根据平衡条件，对箱子有FN＝Mg+2k（A+x），代入数据解得FN＝64N 由牛顿第三定律知箱子对地面的压力为64N，故C正确，D错误。 故选：C。 10．（2025•武进区校级二模）弹簧振子做简谐运动的周期公式为，其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。小鸟落在树枝上所引起树枝的振动可类比于弹簧振子的简谐运动。如图所示，两只质量不同的小鸟A和B先、后分别落在同一树枝的不同位置时，所引起树枝的振动周期恰好相同，则以下说法中正确的是（　　） A．小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量小于小鸟B的质量 B．小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量大于小鸟B的质量 C．小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量小于小鸟B的质量 D．小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量大于小鸟B的质量 【解答】解：两小鸟引起振动的周期相同，但枝头处的k相对较小，根据简谐运动的周期公式可知，枝头处小鸟的质量较小，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2 学科网（北京）股份有限公司 $