第十八章 分式【章末专题精讲】 课件- 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

小专题(一)　巧用分式方 程的解求字母的值或取值范围 十八 类型一：由特殊解确定字母的取值范围 由特殊解确定字母的取值范围的一般步骤： (1)求出分式方程的根(用含字母的式子表示)； (2)由分式方程的根为特殊解列出关于字母的不等式，并求出解集； (3)由分式方程的解必须使分母不为0，列出关于字母的不等式，并求出解集； (4)求(2)(3)中两个解集的公共部分即可． 返回目录 1．若关于x的分式方程 ＋－＝0有解，则k满足( ) A．k≠3 B．k≠5 C．k≠3且k≠5 D．k≠－3且k≠5 D 返回目录 2．若关于x的分式方程 －＝1的解为负数，则a的取值范围是( ) A．a<1 B．a<1且a≠0 C．a>1 D．a>1且a≠2 D 返回目录 3．已知关于x的分式方程 －＝1的解是正数，则m的取值范围是 ( ) A．m>4 B．m<4 C．m>4且m≠5 D．m<4且m≠1 C 返回目录 4．关于x的分式方程 ＋＝4的解为非负数，求实数m的取值范围． 解：去分母，得x＋m－2m＝4x－12， 解得x＝，由分式方程的解为非负数，得 ≥0，且 ≠3， 解得m≤12且m≠3. 返回目录 类型二：由无解确定字母的取值 分式方程无解可能有两种情况： (1)去分母后化成的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0； (2)去分母后化成的整式方程无解，即ax＝b中，a＝0且b≠0. 返回目录 5．若关于x的方程 ＝＋1无解，则a的值是 . 1或2 返回目录 6．当a为何值时，关于x的方程 ＋＝ 无解？ 解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得(1＋a)(x＋2)＋(x－2)＝3， 整理，得(a＋2)x＝3－2a， ①当a＋2＝0，即a＝－2时，原方程无解； ②当a＋2≠0，原方程有增根x＝2或－2. 当x＝2时，2a＋4＝3－2a，即a＝－； 当x＝－2时，－2a－4＝3－2a，无解． 综上所述，当a＝－2或－ 时，原方程无解． 返回目录 类型三：利用分式方程有增根求字母的值 7．若关于x的分式方程 －＝ 有增根，试求m的值． 解：方程的两边同乘x(x＋1)，得 x2－(m＋1)＝(x＋1)2，解得x＝－. ∵原方程有增根，∴x(x＋1)＝0， ∴x＝0或x＋1＝0， ∴－＝0或－＋1＝0， 解得m＝－2或m＝0. 返回目录 小专题(二)　分式方程的实际应用 十八 类型一：工程问题 题型一：由时间关系列方程 1．某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，则该厂原来每天加工多少个零件？ 返回目录 解：设该厂原来每天加工x个零件，由题意得 ＋＝7， 解得x＝50， 经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意． 答：该厂原来每天加工50个零件． 返回目录 2．某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为6 000 m的污水排放管道．为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加20%，结果提前25天完成铺设任务．则原计划每天铺设管道多少米？ 返回目录 解：设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道(1＋20%)x m，由题意得 －＝25， 解得x＝40， 经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天铺设管道40 m. 返回目录 题型二：由工作量关系列方程 3．某工程需要在规定的时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；若乙工程队单独做，则超过规定时间3天．现在甲、乙两个工程队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好在规定时间完成，求完成此项工程的规定时间． 返回目录 解：设规定日期为x天，则甲的效率为 ，乙的效率为 ，根据题意得 ＋＝1，解得x＝6. 经检验，x＝6是原分式方程的解． 答：完成此项工程的规定时间为6天． 返回目录 4．某工程要求限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期4天，现两队合做3天后，余下的工程再由乙队独做，比限期提前一天完成． (1)该工程限期多少天？ (2)已知甲队每天工费为1 000元，乙队每天施工费为800元，两队合做，要使该项工程的总费用不超过7 000元，乙队最多施工多少天？ 返回目录 解：(1)设该工程限期x天，依题意，得 ＋＝1，解得x＝6， 经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意． 答：该工程限期6天． 返回目录 (2)甲队的效率为 ，乙队的效率为 . 设乙队施工y天，则甲队需要施工的天数为 ，由题意，得 1 000× ＋800y≤7 000，解得y≤5. 答：乙队最多施工5天． 返回目录 类型二：行程问题 题型一：由时间关系找相等关系 1．(扬州中考)甲、乙两名学生到离校2.4 km的人民公园参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车的速度是步行速度的4倍，甲同学出发30 min后乙同学出发，两名同学同时到达．求乙同学骑自行车的速度． 返回目录 解：设甲同学步行的速度为x km/h，则乙同学骑自行车的速度为4x km/h.由题意，得 －＝，解得x＝3.6. 经检验，x＝3.6是原分式方程的解，且符合题意． ∴4x＝4×3.6＝14.4. 答：乙同学骑自行车的速度为14.4 km/h. 返回目录 2．已知焦老师自驾从家到学校需要行驶30 km，而乘坐地铁上班的路程是20 km，且焦老师自驾上班的平均速度是坐地铁上班平均速度的 倍，若焦老师乘坐地铁比自驾节约20 min，则焦老师乘坐地铁上班所用的时间是多少小时？ 返回目录 解：设焦老师乘坐地铁上班所用的时间是x min， 根据题意，得 ×＝，解得x＝16. 经检验，x＝16是原分式方程的解，且符合题意， 16÷60＝ (h)． 答：焦老师乘坐地铁上班所用的时间是 h. 返回目录 3．轮船先顺水航行46 km再逆水航行34 km所用的时间，恰好与它在静水中航行80 km所用的时间相等，水流速度是3 km/h，求轮船在静水中的速度． 解：设轮船在静水中的速度为x km/h，则依据题意得 ＋＝， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意． 答：船在静水中的速度为20 km/h. 返回目录 题型二：由路程关系找相等关系 4．一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，出发后第1 h内按原计划的速度匀速行驶，1 h后加速为原来速度的1.5倍，并比原计划提前40 min　到达目的地，求前1 h的平均行驶速度． 返回目录 解：设前1 h的平均行驶速度为x km/h.由题意得 ( －－1)×1.5x＋x＝180， 整理，得1.5x＝90，解得x＝60， 经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意． 答：前1 h的平均行驶速度为60 km/h. 返回目录 类型三：经济问题 题型一：一般购买问题 1．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分跳绳和实心球，已知每根跳绳的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买跳绳的数量与360元购买实心球的数量相同．则跳绳和实心球的单价各是多少元？ 返回目录 解：设跳绳的单价为x元，则实心球的单价为(x＋23)元，由题意，得 ＝，解得x＝7， 经检验，x＝7是原分式方程的解，且符合题意． ∴x＋23＝30. 答：跳绳的单价为7元，实心球的单价为30元． 返回目录 2．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期．为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多100元，且用22 500元购买A种型号“文房四宝”的数量是用10 000元购买B种“文房四宝”数量的1.5倍．则A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ 返回目录 解：设B种型号“文房四宝”的单价是x元，则A种型号“文房四宝”的单价是(x＋100)元，由题意得 ＝1.5×， 解得x＝200， 经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意， ∴x＋100＝200＋100＝300. 答：A种型号“文房四宝”的单价是300元，B种型号“文房四宝”的单价是 200元． 返回目录 题型二：折扣问题 3．小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．则这种牛奶原价每瓶是多少元？ 返回目录 解：设这种牛奶原价每瓶是x元，由题意得 ＋1＝，解得x＝12， 经检验，x＝12是原分式方程的解． 答：这种牛奶原价每瓶是12元． 返回目录 4．某超市用3 000元购进某种苹果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元资金购进该种苹果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进苹果的数量是第一次的2倍还多300 kg.若超市按每千克9元的价格出售，当大部分苹果售出后，余下的600 kg按售价的8折售完． (1)这种苹果的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种苹果共盈利多少元？ 返回目录 解：(1)设第一次进价为每千克x元，则 2×＋300＝，解得x＝5， 经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意． 答：这种苹果的第一次进价是每千克5元． 返回目录 (2)超市共购进苹果： ＋＝2 100(kg)， 销售额： 9×(2 100－600)＋9×80%×600＝17 820(元)， 17 820－3 000－9 000＝5 820(元)． 答：超市销售这种苹果共盈利5 820元． 返回目录 $