16.3.1平方差公式 讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.3.1 平方差公式 学习目标 1. 理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式的结构特征。 2. 能够运用平方差公式熟练进行整式乘法运算。 3. 培养观察、分析、归纳和应用能力，体会从特殊到一般的数学思想。 知识点讲解 我们已经学习了多项式与多项式相乘的法则：。 现在考虑一种特殊形式的多项式乘法：两个数的和与这两个数的差的积。 例如：((a + b)(a - b)) 根据多项式乘法法则展开： 可以发现，中间两项 (-ab) 和 (+ab) 相互抵消了，结果只剩下两项： 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 用字母表示为： 公式结构特征分析： 1. 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（即公式中的 (a)），另一项互为相反数（即公式中的 (b) 与 (-b)）。 2. 右边是这两个数的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 3. 公式中的 (a) 和 (b) 可以是具体的数字、字母，也可以是单项式或多项式。 例题解析 例题1：计算 (x + 3)(x - 3) 例题2：计算 (2m + 5n)(2m - 5n) 例题3：计算 (-3a + b)(-3a - b) 例题4：计算 (x + y + z)(x + y - z) 巩固练习 一、选择题 1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. (a + b)(-a - b) B. (a - b)(b - a) C. (a + b)(a - c) D. (m - n)(m + n) 2. 计算 ((x - 2)(x + 2)) 的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 计算 (-2a - 3b)(2a - 3b) 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则 m的值为（ ） A. 4 B. -4 C. ±4 D. ±16 二、填空题 1. 。 2. 。 3. 。 三、解答题 1. 计算：(5a + 3b)(5a - 3b) 2. 计算： 3. 计算：(a + b - c)(a - b + c) 4. 计算： 5. 先化简，再求值：，其中 ，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.1 平方差公式 学习目标 1. 理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式的结构特征。 2. 能够运用平方差公式熟练进行整式乘法运算。 3. 培养观察、分析、归纳和应用能力，体会从特殊到一般的数学思想。 知识点讲解 我们已经学习了多项式与多项式相乘的法则：。 现在考虑一种特殊形式的多项式乘法：两个数的和与这两个数的差的积。 例如：((a + b)(a - b)) 根据多项式乘法法则展开： 可以发现，中间两项 (-ab) 和 (+ab) 相互抵消了，结果只剩下两项： 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 用字母表示为： 公式结构特征分析： 1. 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同（即公式中的 (a)），另一项互为相反数（即公式中的 (b) 与 (-b)）。 2. 右边是这两个数的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 3. 公式中的 (a) 和 (b) 可以是具体的数字、字母，也可以是单项式或多项式。 例题解析 例题1：计算 (x + 3)(x - 3) 解： 解析：这里 (a) 是 (x)，(b) 是 (3)。直接套用平方差公式，相同项 (x) 的平方减去相反项 (3) 的平方，得到结果。 例题2：计算 (2m + 5n)(2m - 5n) 解： 解析：这里 (a) 是 (2m)，(b) 是 (5n)。套用平方差公式，先对 (2m) 和 (5n) 分别平方，再相减。，，所以结果是。 例题3：计算 (-3a + b)(-3a - b) 解： 解析：此式中，相同的项是 (-3a)，互为相反数的项是 (b) 和 (-b)。所以 (a) 代表 (-3a)，(b) 代表 (b)。公式应用后，，，结果为。也可将原式变形为 ，结果一致。 例题4：计算 (x + y + z)(x + y - z) 解： 解析：观察到两个因式中，(x + y) 部分是相同的，(z) 和 (-z) 是互为相反数的部分。因此，可将 (x + y) 看作一个整体，设为 (a)，(z) 设为 (b)。则原式变为 ((a + b)(a - b))，套用平方差公式得，即。再将展开为，最终结果为。 巩固练习 一、选择题 1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. (a + b)(-a - b) B. (a - b)(b - a) C. (a + b)(a - c) D. (m - n)(m + n) 2. 计算 ((x - 2)(x + 2)) 的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 计算 (-2a - 3b)(2a - 3b) 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则 m的值为（ ） A. 4 B. -4 C. ±4 D. ±16 二、填空题 1. 。 2. 。 3. 。 三、解答题 1. 计算：(5a + 3b)(5a - 3b) 2. 计算： 3. 计算：(a + b - c)(a - b + c) 4. 计算： 5. 先化简，再求值：，其中 ，。 巩固练习答案 一、选择题 1. D 解析：选项A可变形为，是完全平方形式；选项B可变形为，也是完全平方形式；选项C中两项没有相同项和相反项；选项D符合 ((m - n)(m + n))，是平方差公式的形式，故选D。 2. B 解析：直接应用平方差公式，，故选B。 3. C 解析：将原式变形为，或者看作 ((-3b) + (-2a)) 与 ((-3b) - (-2a)) 相乘，结果相同，故选C。 4. C 解析：左边，与右边对比，可得，所以 ，故选C。 二、填空题 1. 解析：。 2. 解析：。 3. 解析：。 三、解答题 1. 解： 2. 解： 3. 解： 4. 解： 5. 解： 当 ， 时， 学科网（北京）股份有限公司 $