江苏省南京市建邺区致远初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷

江苏省南京市建邺区致远初级中学九年级（上）第一次月考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 3.如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.用配方法解方程时，原方程应变形为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.关于的方程为常数的根的情况，下列结论中正确的是(    ) A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 7.如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为，则的长等于(    ) A. B. C. D. 8.如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 9.已知是方程的一个根则 ______． 10.已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是______． 11.在圆内接四边形中，、的度数之比为：，则 ______ 12.已知，是方程的实数根，则 ______． 13.如图，与的边、、分别相切于点、、，如果，，，那么的长为______． 14.某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为，污水水面至管道顶部的距离为，则圆形管道的直径为______． 15.如图，由个边长为的小正方形组成的图形，若经过其顶点、、，则圆心到的距离为______． 16.若关于的一元二次方程的两个根为，，则关于的一元二次方程的解为______． 三、解答题：本题共10小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； ． 18.本小题分 如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点、． 求证：； 若，大圆和小圆的半径分别为和，则的长度是______． 19.本小题分 已知关于的方程． 若方程有一个根是，求的值； 求证：不论取为何值，方程总有实数根． 20.本小题分 如图，、是的直径，弦求证：是弧的中点． 21.本小题分 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． 求证：是的切线； 若，当，时，求的长． 22.本小题分 如果关于的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． 下列方程是“美好方程”的是______； 求证：“美好方程”总有两个实数根； 若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 23.本小题分 如图，四边形是的内接四边形，，，垂足分别是、． 直接写出与的数量关系______，并证明你的结论． 若，求的半径． 24.本小题分 如图，是的直径，弦，垂足为，为弧上一动点，，的延长线相交于点，连接，． 求证：； 已知，，求的大小． 25.本小题分 证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图，四边形内接于求证：． 逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的个顶点共圆图， 可以用反证法证明如下： 在图中，经过点，，画． 假设点落在外，交于点，连接， 四边形内接于， 可得______， ， ______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ，，，共圆． 结论运用：如图，线段，点，分别在射线和线段上运动，以为边在内部作等边，则的最小值为______． 26.本小题分 【问题提出】如图，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则______，半径的长为______； 如图，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心． 求的度数； 连接，若正方形的边长为，求的最小值． 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $答案与解析 1.【答案】C 【解析】解：A、x+2y=1,是二元一次方程，故此选项错误： B、x+y=2,是二元二次方程，故此选项错误； C、2x一x2=3,是一元二次方程，故此选项正确： D、X+=4,是分式方程，故此选项错误： y 故选：C. 2.【答案】C 【解析】解：连接BC,如图： D B ,AB是直径， ∴.∠ACB=90°， .∠BAC=40°， ∴.∠B=180°-∠ACB-∠BAC=50°， 四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴.∠ADC=180°-∠B=180°-50°=130°； 故选：C. 3.【答案】B 第1页，共18页 【解析】解：连接OB、OC,如图， 0 o 的 OA=OB,OC=OD, ∴.∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°， .∠A0B=180°-2×65°=50°，∠C0D=180°-2×60°=60°， ∴.∠B0C=∠AOD-∠AOB-∠COD=150°-50°-60°=40°， .BC的度数为40°. 故选：B 4.【答案】B 【解析】解：x2-2x-5=0, x2-2X=5, x2-2x+1=6, 乙， 故选：B. 5.【答案】D 第2页，共18页 【解析】解：连接OE,OF,ON,OG, B G 在矩形ABCD中， .∠A=∠B=90°，CD=AB=4, ,'AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点， ∴.∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°， .四边形AFOE,FBGO是正方形， ∴.AF=BF=AE=BG=2, .DE=3, ,DM是⊙O的切线， .DN=DE=3.MN=MG. ∴.CM=5-2-MN=3-MN, 在Rt△DMC中，DM2=CD+CM2, .i, M=号 ·DM=3+4=13 33 故选D 6.【答案】C 解：：关于x的方程(x-1(x+2)=p2为常数。 .x+X-2-p2=0, 第3页， 共18页 ∴.△=b2-4ac=1+8+4p2=9+4p>0, .方程有两个不相等的实数根， ,两个根的积为-2-p<0, .一个正根，一个负根， 故选C. 7.【答案】B 【解析】解：连接OC,过O作OF⊥AB,垂足为F .OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC, .'AC平分∠PAE, ∴.∠DAC=∠CAO .∠DAC=∠OCA, ∴.PB/iOC, ,CD⊥PA, ∴.∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°， .四边形DCOF为矩形， .'OC=FD,OF=CD. .DC+DA=12 设AD=x,则OF=CD=12-X, .⊙O的直径为20， ∴.DF=OC=10, ∴.AF=10-x, 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2. 即就， 解得X1=4,X2=18. ,CD=12-x大于0，故x=18舍去， ∴.X=4, ∴.AD=4,AF=10-4=6, ,OF⊥AB,由垂径定理知，F为AB的中点， 第4页， B 共18页 ∴.AB=2AF=12, 故选：B. 8.【答案】D 【解析】解：如图，·△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC,∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°， .BD=CE ∴.△ABD≌△BCE(SAS), ∴.∠BAD=∠CBE, 又.'∠AFE=∠BAD+∠ABE, ∴.∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC, B D .∠AFE=60°， ∴.∠AFB=120°， ∴.点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB=120°，OA=2V3), 连接OC交⊙O于N,当点F与N重合时，CF的值最小，最小值乙OC-ON=4V3-23=2V3. 故选：D. 9.【答案】2026 【解析】解：.m是方程x2-5x-1=0的一个根， .m2-5m-1=0, .2m2-10m=2, ∴.2m2-10m+2024=2+2024=2026, 故答案为：2026 10.【答案】相离 【解析】解：：⊙O的半径为2，点O到直线的距离为3， '.d>r, ∴.与⊙O的位置关系是相离， 第5页，共18页 故答案为：相离. 11.【答案】120 【解析】解：设∠A的度数为x,则∠C的度数为2x, ,四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠A+∠C=180°，即x+2x=180°， 解得，x=60, ∴.∠C=2x=120°， 故答案为：120 12.【答案】5 【解析】解：，X1,X2是方程x2-3x+2=0的两个实数根， .X1+X2=3,X1X2=-2, ∴.X1+x2-x1x2=3-（-2)=5. 故答案为：5. 13.【答案】7 【解析】解：，·AB、AC、BC都是⊙O的切线， .'AD=AE,BD=BF,CE=CF, .AB=4,AC=5,AD=1, .AE=1,BD=3,CE=CF=4, .BC=BF+CF=3+4=7. 14.【答案】100 【解析】解：如图，过O作OC⊥AB于C,连接AO, AC=AB=3×60=30,c0=A0-10. 在Rt△AOC中，AO2=AC2+0C2, A02=302+, 第6页，共18页 60cm C ◆10cm B 解得：AO=50cm. ∴.直径为2×50=100cm. 故答案为：100 15.【答案】6 【解析】解：如图，取AB的中点，过点D作DE⊥AB交AB于点D,交CF 取DE上取圆心O,连接OB,OC, A D B 根据惠应：DE⊥CP,BD=号，CE=1+号多DE=3,OB=0C, .OB2=OD2+BD2,OC2=OE2+CE2, ..OD2+BD2=OE2+CE2, .'.OD2+, 解得：OD= 6 11 即圆心O到AB的距离为 6 故答案为： 11 6 16.【答案】X3=0,x4=4 【解析】解：把方程a乙看作关于(x-1)的一元二次方程， ,关于x的一元二次方程a乙的解是x1=-1,X2=3, 第7页，共18页 于点E,则圆心O在DE上，在 .x-1=-1或x-1=3, 解得：X3=0,X4=4, 即关于x的一元二次方程a忒的解是X3=0,X4=4. 故答案为：X3=0,x4=4. 17.【答案】解：（1)x2-2x-1=0, x2-2x=1, x2-2x+1=2,即i, .X-1=±W2, ∴.x1=1+W2,X2=1-V2: (2), b, b, (x-3)(x-3-2)=0, ∴.x-3=0或x-5=0, .X1=3,X2=5 18.【答案】见解析； 3 第8页，共18页 【解析】(1)证明：过点O作OE⊥CD于点E, 0。 E ∴.CE=DE,AE=BE, ∴.AE-CE=BE-DE, 即AC=BD: (2)解：连接OC, B 设CE=x, 在Rt△COE中，由勾股定理得：OE=82-x2, 在Rt△AOE中，由勾股定理得：0E2=122-乙， .122-元， 解： ·CD=2CE=22 第9页， 共18页 故答案为： 22 19.【答案】解：（1)将x=2代入原方程，得：4m-2(m+2)+2=0, 解得：m=1. 故m的值为1： (2)证明：当m=0时，原方程为一次方程，此时x=1; 当m≠0时，△=i, .当m≠0时，方程有实数根。 综上所述：不论为何值，方程总有实数根. 20.【答案】证明：如图，连接BC, B CE//AB, ∴.∠BCE=∠CBO, .OB=OC, ∴.∠CBO=∠BCO, ∴.∠BCO=∠BCE, 即∠BCD=∠BCE, .'DB=BE .B是弧DE的中点. 第10页，共18页