16.3乘法公式讲义 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

16.3乘法公式 学习目标 1.理解平方差公式和完全平方公式的推导过程。 2.掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行熟练计算。 3.能够运用乘法公式解决简单的数学问题，提高运算能力和逻辑思维能力。 4.在学习过程中，体会从一般到特殊的数学思想方法。 知识点讲解 一、平方差公式 1.推导过程： (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 2.文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 3.公式表示： a+b)(a-b)=a2-b2 4.结构特征： 。左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 5.公式中的(a)和(b):可以是具体的数字、单项式、多项式等代数式。例如： o(x+3)(x-3)》中，a=x,b=3 o(2m-nj(2m+n)中，a=2m,b=n o(-p+q(p-q)中，a=-p,b=q 二、完全平方公式 1.推导过程： G G 2.文字语言：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2 倍。 3.公式表示： u 4.结构特征： 。左边是一个二项式的完全平方。 。右边是一个三项式，其中两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二 项式中两项乘积的2倍（当左边是“和”时，中间项为正：当左边是“差”时， 中间项为负)。可简记为：“首平方，尾平方，首尾两倍放中央，中间符号看 前方”。 5.公式中的()和(b):同样可以是具体的数字、单项式、多项式等代数式。例如： oi中，a=m,b=2n o(中，a=3X,b=4y 6.常见错误提醒： 06 。( 例题解析 例1：运用平方差公式计算 计算：(3x+23x-2) 分析：本题符合平方差公式的结构特征，其中a=3x,b=2。 解： [ (3×+23x-2) ii 乙9x2-4 例2：运用完全平方公式计算 计算： 1)i 2)d 分析：两小题均符合完全平方公式的结构特征。第(1)小题是“和”的平方，第(2)小题是 “差”的平方。 解： bB i4m+20mn+25n2 b6 i16a2-24ab+9b2 例3：运用乘法公式计算（公式中(a)或(b)为多项式) 计算：(x+y+1x+y-1) 分析：可以将(x+y)看作一个整体，设a=x+y,b=1,则原式符合平方差公式(a+b(a- b)的结构特征。 解： (x+y+1(x+y-1) =(x+yW+1][(x+y)-1 b8 ix2+2xy+y2-1 例4：综合运用乘法公式计算 计算：102-99×101 分析：（1022)可以写成，利用完全平方公式计算；(99×101)可以写成(100-1)100+1)， 利用平方差公式计算，这样能使计算简便。 解 102-99×101 66 (1002+2×100×2+2)-(1002-12) =(10000+400+4)-(10000-1) =10404-9999 =405 巩固练习 一、选择题 1.下列各式中，能用平方差公式计算的是 A.(a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C.(a+b)(a-c) D.(m-n)(-m-n) 2.计算就的结果是 A.4x+12Xy+9y2 B.4x2-12xy+9y2 C. 4x2-9y2 D. -4x+12xy-9y2 3.若(x+m)(x-m)=x2-16,则m的值为 A.4 B.-4 C.±4 D.±8 4.若a+b=5,ab=3,则(a2+b2)的值是 A.19 B.25 C.8 D.6 5.下列计算正确的是 A.i B.(5x-2y2=25x2-10xy+4y2 C. D.(3p-4q)-3p-4q)=16q2-9p2 二、填空题 1.(x-3)x+3)= 2.i。 3.乙。 4.若(，则a= b= 5.计算：（a+b-c)(a-b+c=( 三、解答题 1.运用乘法公式计算：(3a-2b)(3a+2b)-t。 2.运用乘法公式计算：(x+2y-3)x-2y+3)。 3。先化简，再求值：，其中(x=之)，y=-1。 4.已知a+b=7,ab=12,求下列各式的值： 1ia2+b2: 2660 答案与解析 一、选择题 1.答案：D 解析：选项A:（a+b)(-a-b)=-(,不符合平方差公式；选项B: (a-b)(b-a=-(,不符合平方差公式；选项c:两项中没有完全相同的项和互为相 反数的项，不符合平方差公式；选项D:(m-n)(-m-n)=（-n+m)(-n-m)=i, 符合平方差公式。故选D。 2.答案：B 解析：乙。故选B。 3.答案：C 解析：(x+m)(x-m)=x2-m2,已知其等于(x2-16),所以(m2=16),解得m=±4 故选C。 4.答案：A 解析：因为a+b=5,ab=3,所以元。故选A。 5.答案：D 解析：选项A:乙，原计算错误；选项B:乙，原计算错误；选项C:乙，原计算错误； 选项D:(3p-4q)(-3p-4q)=(-4q+3p)(-4q-3p)=i,计算正确。故选D。 二、填空题 1.答案：x2-9 解析：直接运用平方差公式：(x-3)(x+3)=xX2-3=x-9。 2.答案：4a+12ab+9b2 解析：运用完全平方和公式：心。 3.答案：9m2+12mn+4n2 解析：乙 4.答案：（-5)，(25) 解析：i,与(x2-10x+b)对比，可得2a=-10,a2=b。解得a=-5,b=元。 5.答案：a2-b2+2bc-c2 解析：(a+b-c)(a-b+c)=[a+(b-c][a-(b-c]=a-d。 三、解答题 1.答案：5a2-4ab-5b2 解析 (3a-2b)(3a+2b)-t i8 ∴9a2-4b2-(4a2-4ab+b2) 9a2-4b2-4a+4ab-b2 65a+4ab-5b2 2.答案：x2-4y2+12y-9 解析： (x+2y-3)x-2y+3) =[x+(2y-3][x-(2y-3川 ix2-b ix2-元 x2-(4y-12y+9) x2-4y+12y-9 3.答案：4Xy+2y2,0 解析： 乙 (4x2+4xy+y2)-飞 84x2+4xy+y2-(4x2-y2) 元4x2+4xy+y2-4x2+y2 乙4xy+2y 当(x=》,y=-1时， 4xy+2y2 84×2×(-1+2×8 T=tz-SZ=乙I×乙-SZ? qDz-(9+p)? ZL=qD‘(SZ=,A+,D)囝(z) S7= b乙-67= ZL×Z-2? ?=9+D “ZI=qD‘L=q+DK囝(T) :4越 L(亿)SZ(T)耄最b 0= 乙+乙-= I×乙+乙-？ 16.3 乘法公式 学习目标 1. 理解平方差公式和完全平方公式的推导过程。 2. 掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行熟练计算。 3. 能够运用乘法公式解决简单的数学问题，提高运算能力和逻辑思维能力。 4. 在学习过程中，体会从一般到特殊的数学思想方法。 知识点讲解 一、平方差公式 1. 推导过程： 2. 文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 3. 公式表示： 4. 结构特征： · 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 · 右边是相同项的平方减去相反项的平方。 5. 公式中的 (a) 和 (b)：可以是具体的数字、单项式、多项式等代数式。例如： · ((x + 3)(x - 3)) 中，， · ((2m - n)(2m + n)) 中，， · ((-p + q)(-p - q)) 中，， 二、完全平方公式 1. 推导过程： 2. 文字语言：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。 3. 公式表示： 4. 结构特征： · 左边是一个二项式的完全平方。 · 右边是一个三项式，其中两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍（当左边是“和”时，中间项为正；当左边是“差”时，中间项为负）。可简记为：“首平方，尾平方，首尾两倍放中央，中间符号看前方”。 5. 公式中的 (a) 和 (b)：同样可以是具体的数字、单项式、多项式等代数式。例如： · 中，， · 中，， 6. 常见错误提醒： · · 例题解析 例1：运用平方差公式计算 计算：(3x + 2)(3x - 2) 例2：运用完全平方公式计算 计算： 1) 2) 例3：运用乘法公式计算（公式中 (a) 或 (b) 为多项式） 计算：(x + y + 1)(x + y - 1) 例4：综合运用乘法公式计算 计算： 巩固练习 一、选择题 1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是 A. (a + b)(-a - b) B. (a - b)(b - a) C. (a + b)(a - c) D. (m - n)(-m - n) 2. 计算的结果是 A. B. C. D. 3. 若，则 m的值为 A. 4 B. -4 C. ±4 D. ±8 4. 若 ，，则的值是 A. 19 B. 25 C. 8 D. 6 5. 下列计算正确的是 A. B. ( C. D. 二、填空题 1. _______________。 2. 。 3. 。 4. 若，则 _______________， _______________。 5. 计算： _______________。 三、解答题 1. 运用乘法公式计算：。 2. 运用乘法公式计算：(x + 2y - 3)(x - 2y + 3)。 3. 先化简，再求值：，其中，。 4. 已知 ，，求下列各式的值： ； 。 学科网（北京）股份有限公司 $