专题六 二次函数的综合应用-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

(3)(3,0) -5-43210 13.解：(1)如图，△AB,C,即为所求 (2)如图，△A:B:C即为所求 (3)(2.2) 14.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求 (2)如图，线段A,B。即为所求 (3)如图，线段A:B、正方形A,DBG即为所求. 15.解：(1)如图，△AB,C,即为所求 (2)如图，△A:BC:即为所求. (3)如图，AD即为所求. y 16.解：(1)如图，△DEF即为所求， (2)如图.点P即为所求。（一2.一1） (3)如图，BH即为所求. 78己0已6安徽数学 【解析】(2)连接AA',BB',分别作线段AA',BB的垂直平 分线，相交于点P, 侧△AB'C‘由△ABC绕着点P顺时针旋转90得到的， .这个点的坐标为（一2，一1）. 17.解：(1)如图所示，△A,B,C1即为所求 (2)如图所示，△A,B,C:即为所求 (3)如图所示，点P即为所求 18.解：(1)如图所示，线段AB1即为所求 (2)如图所示，线段A,B,即为所求 (3)如图所示，点Q即为所求 专题六二次函数的综合应用 1.解：(1)①当m=一3时，y=x2+6x一7. 当y=0时.x+6x-7=0, 解得x1=一7.x。=1, ∴.二次函数图象与x轴的交点坐标为（一7.0）和(1.0). 当x=0时，y=一7 .二次函数图象与y轴的交点坐标为(0，一7)。 ②由a+b=一4可得b=一4一a, y:=a°+6a-7,y:=(-1-a)2+6(-4-a)-7=a2+ 2a-15, y,+y2=a2+6a-7+a°+2a-l5 =2(a+2)2-30. 2>0,∴y1十y:=2(a十2)2-30的图象开口向上， .y十y:的最小值为一30. (2)证明：由抛物线解析式可知二次函数对称轴为直线x= -二2 由题意可知a十1<m,即a一m<一1. 点C(a+1,p)和D(2m一ag)在二次函数图象上 ∴.p=(a+1)2-2m(a+1)+2m-1=a3+2a-2m4, 9=(2m-a)3-2m(2m-a）+2m-1 =4m°-4ma+a2-4m3+2ma十2m-1 =a2-2ma+2m-1, .p-q=a°+2a-2ma-(a2-2ma+2m-1) -a2+2a-2ma-a2+2ma-2m+1 =2a一2m十1 =2(a-m)+1. a一m<-l, .2(a-m)+1<-1. .p-g<-1 .p<q-1. 2解：00y=+2©号 (2)在y=ax2+bxr十c中，当z=0时y=c, ∴A(0,c).∴.设直线L的解析式为y=mr+e, “直线L与x轴的交点为（一六0）， ∴.直线【与坐标轴围成三角形的面积为 (- m-士 又”抛物线的顶点在直线L上， 六点（一六）在直线L上 :4ar-6 -m+c=如c-26m 4a .b2=2bm, ∴.b=2m或b=0(不合题意，舍去)， ∴.b=±3c2. 又，b=3c2-2c+1, .3c2-2c+1=±3e 当x-2x+1=3时，解得e=子 当3c2-2c十1=-3c2,即6c2-2c十1=0时，4=(-2)2-4 ×6×1=一20<0，.此方程无解 综上心=2 1 【解析】(1)①设直线L的函数表达式为y=kx十n. 将A0,2B(8,5代入，得。-5，解得- .直线L的函数表达式为y=x+2. ②，A(0,2),B(3,5)在抛物线上， fw+e-5 .b=-3a+1. ∴.w=a+b+ab=a+(-3a+1)+a(-3a+1) =-3a-a+1 =-(+)广+是 ￥，13 一3<0.开口向下， 13 ∴当a=-石时，0=u十b+ab取最大值，最大值为2 3.解：(1)弛物线C1:y=a(x-2)2+4过点(1,3)， .3=a(1一2)2+4，解得a=一1， .地物线的函数表达式为=一(x一2)十4 令r=0.y=-(0-2)2+4=0, .抛物线C,与y轴的交点坐标为(0,0) (2)①由(1)知，a=-1, .C:y=-(x+1)2+1. 设直线AB的表达式为y=kx十b(k≠0). 点A(m,y1),B(m十n,y:)在直线AB上， :/y=m+6,① y:=k(m十n)+b,@ ②一①.得y:一y,=km+km+b-km一b=kn 又y:一y=2 1 “受-细，解得k一之 ·直线AB的表达式为y=乞x+b .联立直线AB与抛物线C的表达式， y=-(x+1)2+1, 整理，得号x+6=一(x+1)+1 即2+之+6=0， 直线AB与抛物线C,只有一个交点， ÷4-(号)广-4x16-0, 华-6=0，解得6-斧 ∴直线AB的表达式为y一宁+器 ②，m=2n, A(2n,y1),B(3m,y2) A(2my1),B(3my:)分别在抛物线C1,C:上， y1=-(2n-2)+4,y,=-(3w+1)+1, 则y-y,=-(3t+1)2+1-[-(2n-2)2+4]=-5n 一142. 令：=一5n一14n,该二次函数的图象开口向下，在对称轴 一14 7 处取得最大值.对称轴为直线”=一2X一-5一 将m=一子代人1=一5m-1n中，得1=-5×(-子）- 14×(-）-9。 y的最大值为号 4.解：(1)C,与C:关于y轴对称. C,与C,的交点一定在y轴上，且C,与C:的形状，大 小、开口方向均相同， .4=1,n=-3, .C:的对称轴为直线x=1. .C:的对称轴为直线x=一1. m=2, .C,的解析式为y=x一2r一3.C的解析式为y=x2+ 2x-3. 在y=x2+2x-3中，令y=0.得x2+2x-3=0, 解得x1=一3，x2=1, A(-3,0),B(1.0) (2)在C:y=x2+2x-3中，令x=0,得y=-3. .C(0.-3). 设直线AC的解析式为y=kx十b 将A(一3,0)，C(0,一3》代入，得 仁。解特伦二 16=-3, .直线AC的解析式为y=一x一3 点E,E关于直线CD对称， ∴.∠ECD=∠ECD,DE=DE.CE=CE :DE平行于y轴 ∴.∠E'CD=∠CDE、 .∠CDE=∠ECD,.DE=CE, ∴.CE=DE=CE'=DE', ∴.四边形CEDE'是菱形，.DE∥AC, 当周边形CEDE是菱形存在时：an∠ACO识-1 ∴.∠AC0=45°. 设D(p.p2+2p-3),E(p.-p一3)，且一3p0, .CE=-2p,DE=-p-3-p-2p+3=-p2-3p: .-p-3p=-Ep, 解得p,=0(不合题意，舍去)，p:=2-3, 参考答案 79 .点D的坐标为(2一3,2一4) (3)P(-2,5).Q(2,5)或P(2,-3),Q(-2,-3)或P(3 -25),Q(-2-5,25)或P(-5,23),Q(-2+5 -25) 【解析】(3)AB的中点为（一1.0），且点P在抛物线C,上 点Q在抛物线C,上， ∴.当AB为平行四边形的一边时，PQ∥AB且PQ=AB. 由(2)可知AB=1一（一3》=4， ∴.PQ=4 设P(1.12-21一3)，则Q(1+4.12一21一3)或(1一4.12一2 一3) ①当Q(1+4.12一21一3)时，则（一21一3=(1+4）+2(1+ 4)一3，解得=一2， .12-21一3=4十4-3=5 ∴.P(-2,5).Q(2.5): ②当Q(1一4.12-21一3)时，则t一21一3=(1一4)+2(1一 4)一3，解得1=2， ∴.12-21-3=4-4-3=-3. .P(2,-3).Q(-2,-3). 当AB为平行四边形的对角线时，设P(:,!2一2t一3).Q(s, x2十2s-3》. 则一3十1-1十s且一12十21十3=s2十2s一3. 解得1=√5，s=一2一5或t=一，x=一2十。 .P(5,-23),Q(一2-5,25)或P(-5,2) Q(-2+5,-25). 综上所述，点P,Q的坐标分别为P(一2,5)，Q(2,5)或 P(2,-3).Q(-2,-3)或P(5.-25).Q(-2-5,25) 或P(-5,2).Q(-2+5,-25). 5.解：(1)，以进价出售.日销量为60瓶，当价格每提高1元 时，日销量则减少2瓶， ∴.销售单价为x时，日销量战少了2(r一10)瓶。 .日销量y关于销售单价x的函数解析式为y=60一2(r一 10)=-2x+80(10≤x≤20) (2)设利润为w元 根据题意.得=(x一10)（一2x+80》=一2(x一25）十 450.,一2<0，.开▣向下 ∴当x<25时.心随x的增大而增大 故当x=20时，e取最大值，最大值是一2(20一25)+450= 400. 即牛奶销售单价定为20元时，所获日销售利润最大，最大利 润是400元. (3)设小礼品成木为m元，利润为‘元 根据题意，得w'=(x一10一m)(一2.x+80)=一2x十(100 +2m)x一800一80m.:一2<0，.开口向下 对称轴为直线r=25+乞m,且m>0, 当<25+宁m时，0随：的增大面蜡大。 .当x=20时，日销售利润最大，此时'=40(10一m). 根据题意，得160≤40(10一m)280,解得3≤m≤6. 故小礼品的成本在3元到6元之间（包括3元和6元）. 6.解：(1)(x-30)(一2x+160) (2)根据题意，得W=(x一30)(-2x十160) =-2x2十220x-4800 =-2(x-55)2+1250 :-2x十160≥>0， ∴.x≤80. 一2<0，开口向下， ∴当x=55时，W最大，最大值为1250， .销售单价为55元时，每天获利最大，最大利润是 80 A。己0己6安徽数学 1250元. (3》方案A的最大利润更高.理由： 方案A:由题意，得30<x≤45. 由(2)可知，当x=45时，W取得最大值，最大值为一2×(45 -55)2+1250=-200+1250=1050(元). 方案B:由题意知厂2r十160≥10， 1x-30≥37， 解得67x≤75. 由(2)知，当x=67时，W最大，最大值为一2×(67一55)+ 1250=-288+1250=962(元). ,1050>962, .方案A的最大利润更高 【解析】(1)，销售单价为x元，进价为每件28元，销售1件 需缴纳网络平台管理费2元， .每件文创用品的利润为x一28一2=(.x一30)元. :每天的销售量y与销售单价x满足一次函数关系， ∴.设y与x的函数关系式为y=kr十b(k≠0) 把(30,100).(50,60)代人关系式，得50k+b=60. 年得传1品： .y与x的关系式为y=一2x十160. 7.解：(1)设y=a(x+1)(x-5).将(4.-5)代入，得-5= -5a, 解得4=1， ∴.抛物线的解析式为y=(x十1)(x一5)=x一4x一5. (2)①SaDr=4S△c.理由如下： 设直线AC的解析式为y=kr十b(k≠0).将A(一1,0)， C(4,-5)代人， 得一5-4h+6, 10=-k十b. 年得信二 ,直线AC的解析式为y=一x一1. D(1y1),F(4,-1-1),G1,0),y1=1产-41-5， .DF=-1-1-(2-41一5)=-1十31十4，FG=1十1. ,E(t十4，y:). ,点E到DF的距离为4. ,C(4,-5),G(1,0), ·点C到DF的距离为4一t, 六Sae=2X(-1+3+4)×4=-21-4)(1+1): S%m=z1+104-)=- 21+10-4). ∴.SaDg=4S△· ②：将D(t,y),E(1十4y:)代入解析式y=x一4x一5可 得y1=2-4t-5,y:=(1+4)2-4(1+4)-5=+41-5. 设直线DE的解析式为y=k,x十b,, 他. 伦-- .直线DE的解析式为y=21x一-41一5， .MN=0-[2(1+1)-12-41-5]=-12+21+5=-(1- 1)2+6. -1<0,∴.开口向下， .当=1时，MN有最大值，最大值为6 8.解：(1)①由题意，得 =2 2a 4a+2b+4=0. 解得8。 .抛物线的表达式为y=x一4r十4. ②存在 如图①，过点P作PQ∥轴交OA于点Q 设P(m,m一4m十4)(2<m<4),直线OA的表达式为y= kx.将A(3,3)代人，得k=1, ∴直线OA的表达式为y=x, ∴Q(mm), ∴.PQ=m一(m一4m十4)=一m2十5m一4， ∴S△m=SaAP阳+SAr0 =z(3-m)(-m2+5m-4)+2m(-m+5m-40 3 3/ ÷△AOP的面积的最大值为号。 图 图② (2)将B(-2,0)代入y=ax+br十4，得4a-2b+4=0, 把b=一6a代人4a一2b+4=0, 解得a=一了b- 2 3 六抛物线的表达式为y=一+受x十4， ∴.C(0,4). 如图②，过点N作NF⊥B'C于点F,过点N作NG⊥BC 交CB的延长线于点G,则∠BGN=∠CFN=90°， ∴.∠FCG+∠GNF=180° 设CB与x轴的交点为K,由旋转可得BV=BN, ,∠BNB'+∠BCB'=180°， ∴.∠BNB'=∠GNF, ∴∠BNG=∠B'NF '∠BGN=∠B'FN=90°. ∴△NGB≌△NFB'(AAS). ∴.NG=NF, ∴.CN平分∠BCB' CO⊥OB. ∴.OK=OB=2. .K(2,0). 设直线CK的表达式为y=cx+d.将C(0.4).K(2.0)代 人得公-部得化二. .直线CK的表达式为y=一2x+4, 3 联立上式和抛物线的表达式，得一2x十4= 十4 解得x1=0(不合题意，舍去)，x,=14, .B(14.-24). N(0.n).BN=B'N. ∴.4+n2=14+(24十n)2. 解得n=一16， 即刀的值为一16. 9.解：(1)(x一60.x+800)(一x+30x)(-x+20.x) (2)由题意可知，200(x2一60.x十800)=300（一x+30x》, 解得x1=32(不合题意，舍去).x2=10. .当育苗区的边长为0m时，A,B两种花齐的总产值 相等. (3)由题意，得x°一60x十800一x2十30x≤560，且20一x> 0,解得8x<20. 设A,B,C三种花卉的总产值之和为y元， ∴y=200(z-60.r+800)+300(-x2+30x)+400(-x +20x)=-500(x-5)2+172500. .当8≤x<20时y随x的增大而减小， ∴.当x=8时，y取得最大值，最大值为一500×(8一5)2+ 172500=168000. 故A,B,C三种花弃的总产值之和的最大值为168000元， 10.解：(1)由题意可知，当0。=10时，h=-51+101=一5(1 -21+1)+5=-5(1-1)2+5. .-5<0, .抛物线的开口向下， .当=1时，h取最大值，最大值为5， 即当1=1s时，石块被抛出的高度最大，最大高度是5m (2)①由h=一5！2+。1知，抛物线的对称轴为直线1 2X(-5)10 解得。=20（负值已舍去）， ,∴，石块被批出时的速度是20m/s。 ②小辉的说法正确」 星由：由①得h=一51°+201. 当4=15时，15=一52+201，解得，=1,11=3. 3-1=2(、). ,小辉的说法正确 11.解：(1)由题意可设抛物线A→B·C的函数解析式为y= (-》 把A(o,)代大得-(0-》. 解得a=方 六抛物线A+BC的函数解析式为y=(x一)， (2)当y=5时5=(-罗) p(尝)c(费 e-号-与-10om :抛物线C一E一F的大小形状与抛物线A→B一C完全 相同， ∴抛物线C→E→F可看作由抛物线A→B→C向右平移 10m得到的， .地物线C·E→F的函数解析式为y (--o)=-) 1 451 当y=0时=号0E号m (3)设OM=MN=bm,所需用料为lm,则M(b.0), N26.o.c(6.(6-))H(2b,（26-)片· -GD+GM+HI+HN+)++ 吉(26-》--16+要--6+受 1>0. 当6=6m时，1取最小值，最小值为号m 参考答案 81 故当OM一MN=6m时，可使得所需用料最少，最少需要 材料空 12.解：(1)根据题意，得y=(x十1)(x-3)=x2-2x一3， ∴.b=-2.c=-3. (2)由题意，得y=(x一x)(x-x:》 =x一(x1十x:)x十t1x =x-(,+)x++ 4 +,-+ 4 =(-4）+41-+, 2 4 =(x-)-- 2 4 当工=十工时，二次雨数y=工+x十c的最小值为 2 -x-x:) (3)证明：由题意，得x,十x2=一b,r1x1=c 当x=1时，m=1十b十c =1一(x1+x)十x1x =(x1-1)(x2-1), 1<x1<r<2, .0<x,-l<x2-1<1. .0(x1一1)(x一1)<1，即0<m<1. 13.解：(1)y=x2+2x十c=(x+1)2+c-1, .顶点坐标为（一1，c一1）， .1-(-1)=4(-2-c+1). 解得6=一子 (2)设这一点为(x,x十3x十1). 根据题意，得x-1=(2+3x+1-2+） 整理，得tx十(3t一1).x十1=0. 只存在一个点与点P互为“，阶点” .△=(31-1)-4t=0, 解得=)=L 故1的值为。或1 (3)11【解析】(3)设点A的坐标为(m,m2一2m一1)，点 B的坐标为(n,n一2n一1) ,N是线段AB的中点， 心点N的坐标为(m十”，m-2m-1+-2二1 2 2 “点A,B都与点(0,2)互为“阶点” 0-m=士(2-m2+2m+0. 0-m=2(2-3+2a+1. 整理得m2一(k十2)m一3=0，n2一(k+2)u一3=0， .m,n是方程x2一(k十2)x一3=0的两根， ,.m十n=k+2,mn=一3. 又y=x-2x-1=(x一1)-2 .顶点M的坐标为(1，一2). 点M与点N互为“s阶点” m-1=(m-2m-1中m二20二1+2）， 2 2 整理，得(m十n)一2-[(m十#)2一2mm一2(m十)+2]， 代人，得k十2一2=s(k2十4k+4十6一2k一4十2)， 即兰=k+2k十8=(k+1)+7.:1>0冬的函数图象 82 。己0已6安徽数学 开口向上. 当k≥1时.冬随太的增大而增大， 当=1时，兰最小，最小值为1+1+7=1. 专题七聚焦几何综合探究问题 1.解：(1)垂直且相等 (2)如图①，延长EB交CF于点G. ,四边形ABFC是平行四边形， ..AB=CF.AB//CF. ,AB=BE,∠ABE=90°， ∴.CF=BE,BG⊥CF. :∠CBF=90°，BC=BF, .BG=CG=FG ∴.EG=2CG+BG=3CG, .在Ri△ECG中，tan∠ECF= EG CG g=3 CG (3)△DMN是等腰直角三角形.证明如下： 如图②，取AC的中点H.连接PH,QH. :P和Q分别是AE和CF的中点， .PH和QH分别是△ACE和△ACF 的中位线， 1 PH∥CE,QH∥AF,PH=ZCE, QH-TAF. Q 由(1)，得AF=CE,AF⊥CE, 图② .PH-QH,∠PHQ=90°，∴，△PQH是等腰直角三角形. ,PHDM,QH∥DN, ∴.△DMN是等腰直角三角形. 【解析】(1)设AF,CE交于点P,AB与 CE交于点O,如图③. 由题意可知，△ABE和△BCF都是等 腰直角三角形， .BA=BE,BC=BF,∠ABE= ∠CBF=90°， .∠ABE+∠ABC=∠CBF+ ∠ABC,即∠ABF-∠EBC, .△ABF≌△EBC(SAS), ∴AF=EC,∠BAF=∠BEC 在△AOP和△BOE中，∠AOP=∠BOE,∠PAO =∠BEO, ∴.∠APO=∠EBO=90°，∴.AF⊥CE 2.解：(1)1.5<AD<6.5 (2)证明：如图①，延长AD至点G.使DG=AD,连接BG, 则AG=2AD. ,D为BC的中点 ∴.CD=BD. 在△ADC和△GDB中， (AD=GD. ∠ADC=∠GDB, CD-BD. ∴.△ADC≌△GDB(SAS). 图① ∴.∠C=∠GBD,AC=GB, .AC∥BG, '.∠ABG+∠BAC=180°. AC=AF. ∴.BG=AF ,∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF+∠BAC=180°，专题六二次函数的 类型1 二次函数图象与性质的综合应用 (2025T23.2024T23.2023T23.2021T22.2020T22, 2019T22) 解题技巧解决此类问题需要熟练掌提二水 函数的图象与性质，理解抛物线的位置特征与 函数解析式的系效之间的对应关系，能将二次 函数与一元二次方程联系起乘解决问题，能将 抛物线与简单的几何变换结合起来理解解析 式的变换并利用其特征解决问题。 典例1已知抛物线C1:y=x2一2m.x+m2+m一1 的顶点为M,抛物线C2:y=(x一n)一n+3的顶 点为N (1)点M是否在直线y=x一1上？请说明理由. (2)已知点V在直线y=x一1上，m=21一1，点 A(s,t)在抛物线C:上，且s≠n,点B在抛物线 C,上 ①若AN∥BM,求直线BM的解析式（用含s的代 数式表示)： ②若点B的坐标为(s十p,l十g),且p=s十1，求q 的最小值， 【规范解答】(1)在.理由如下： y=x2-2m.x十m十m-1=(x-m)+m-1, .点M的坐标为(m,m一1). 把x=m代入y=x一1，得y=m一1， 点M在直线y=x一1上. (2):点N的坐标为(n,一n十3)，点N在直线y= x-1上， ∴.-n十3=n-1, 解得n=2, ∴.m=2n-1=3, .抛物线C1:y=x2一6x十11=(x-3)2十2， .M(3,2). ,抛物线Cg:y=(x-2)2+1, .N(2,1). ,点A(,1)在抛物线C:上， .∴.t=(s一2)2十1. ①设直线AV的解析式为y=kx十b, 250442026安徽数学 1综合应用(10年10考) 2k+b=1, k=s-2. 解得 ks+b=(s-2)2+1, b=5-2x. .AN∥BM, .设直线BM的解析式为y=(s一2)x十c. 将M(3,2)代入，得2=3(s一2)十c .c=8-3s, .直线BM的解析式为y=(s一2).x十8一3s. ②：点B(s十p,t十q)在抛物线C1上，t=(s一2) +1. t+9=(s+p-3)2+2, .(s-2)2+1+9=(s+p-3)+2. p=8十1 .g=(2x-2)2+2-1-(s-2)2=3s2-4s+1= 3(-)-3 :3>0g=3(-号)》广-号的图象开口向上. 9的最小位为一号 针对边练 1.已知二次函数y=x2一2mx+2m一1. (1)当m=一3时， ①求二次函数图象与坐标轴的交点坐标： ②若(ay1),(b,y2)是二次函数图象上的点，且 a+b=一4，求y1十y:的最小值. (2)若点C(a十1，p)和D(2m一a,q)在二次函数图 象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p<g一1. 2.(2025毫州利辛一模)已知抛物线C:y=ax十 bx十c(a,b,c为常数，且a≠0)与直线L相交于 A,B两点，且点A在y轴上 (1)若A,B两点的坐标分别为(0,2)，(3,5). ①直线L的函数表达式为 ②设w=a+b十ab,则e的最大值为 (2)若直线L与x轴、y轴所围成的三角形面积 为3，抛物线C的顶点在直线L上，且b=33- 2c+1,求c的值. 3.已知抛物线C1:y=a(x一2)2+4过点(1,3). (1)求a的值和抛物线C,与y轴的交点坐标. (2)将抛物线C,进行平移得到抛物线C?:y= a(x+1)2+1,点A(m,y1),B(m十n,y2)分别在 抛物线C1,C。上， ①若：一y1=2,且直线AB与抛物线C:只有 一个交点，求直线AB的表达式： ②若m=2n,求y2一y1的最大值. 培优本251 4.(2025合肥二模)如图，抛物线C1:y=a.x2一2x 一3与抛物线C:y=x2+m.x十n关于y轴对 称，抛物线C。与x轴交于A,B两点（点A在点 B左侧)，与y轴交于点C, C 备用图 (1)求A,B两点的坐标 (2)在抛物线C,第三象限的图象上有一点D,作 DF⊥x轴于点F,交AC于点E,连接CD.若点 E关于CD的对称点E'恰好落在y轴上，求点D 的坐标 252 A42026安宽数学 (3)P是拋物线C1上的动点，Q是抛物线C:上 的动点.若以A,B,P,Q为顶点的四边形是平行 四边形，请直接写出P,Q两点的坐标. 类型2 利用二次的数解决最大利润间颧 (2018T22.2017T22) 解题技巧二次函数的实际应用题中求最大 利润的一般思路：1.求最大利润就是求二次函 数在自变量取值范国内的最大值：2.根据题 意，列出关于自变量的二次函数的解析式，并 根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范 国：3.用顶，点式表示出二次函数的解析式.通 常二次西数在顶点处或自变量取值范国内的 两端，点处取最大（小）值，根据函数图象的增减 性进行判断 典例2(2025铜陵三模)春节临近，苹苹果业给顾 客提供A,B两种水果礼盒，A种礼盒每盒利润30 元，每天能卖120盒：B种礼盒每盒利润20元，每 天能卖160盒.若A种礼盒价格每提高1元，则每 天少卖出3盒；B种礼盒价格每提高1元，则每天 少卖出4盒（注：两种水果礼盒的成本不变）。 (1)若礼盒价格提高了x元，销售A,B两种礼盒每 天的利润分别为4元、W元，清求出0A,UB与x 之间的函数关系式. (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为8 元，那么A种礼盒的价格提高多少元时，售出这两 种水果礼盒每天获得的利润之和最大？ 【规范解答】(1)根据利润=每盒利润×盒数即可求 得函数关系式： 0=(30十x)(120-3.x)=-3.x°+30.x+3600, ea=(20+x)(160-4x)=-4.x2+80.x+3200. (2)设A种礼盒的价格提高m元，则B种礼盒的价 格提高(8一m)元. 由题意，得心=a+心#=一3m+30m+3600+ [-4(8-m)+80(8-m)+3200] =-7m2+14m+7184 =-7(m-1)2+7191. :一7<0，.开口向下，.当m=1时，e的值最 大，故当A种礼盒的价格提高1元时，售出这两种 水果礼盒每天获得的利润之和最大， 针对却练 5.(2025阜阳临泉模拟)某专卖店准备代销进价为 10元/瓶的牛奶，根据品牌方要求，销售单价不低 于进价，且不高于进价的2倍.试销期间的数据 显示：若以进价出售，日销量为60瓶，当价格每 提高1元时，日销量则减少2瓶 (1)求日销量y(单位：瓶)关于销售单价x(单位： 元)的函数解析式. (2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利 润最大？最大利润是多少？ (3)为培养客户习惯，该店购人价值不等的四种 小礼品，每日随机选一种随牛奶赠送给顾客，每 瓶牛奶赠送一件.若该款牛奶日最大利润在160 元到280元之间浮动（包括160元和280元），求 小礼品成本的取值范围。 6.(2024一2025合肥期末)某网络经销商购进了一 批以马拉松为主题的文创用品进行销售，该文创 用品的进价为每件28元，每销售1件需缴纳网络 平台管理费2元.销售一段时间发现，每天的销 售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)满足一 次函数关系，部分图象如下图 (1)每件文创用品的利润为 元/件， 每天的销售量为 件.（用含x的 代数式表示) (2)设经销商每天的利润为W元，销售单价为多 少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ (3)营销部结合上述情况，提出了A,B两种营销 方案： 方案A:该文创用品的销售单价高于成本且不超 过45元. 方案B:每天销售量不少于10件，且每件文创用 品的利润至少为37元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由. /件 100 60 3050x/元 培优本 253 类型3利用二次函数解决线段最值问题 解题技⑤求函数图象上两点之问的垂直距 离：1.先求与该两点相关的函数解析式：2.用 一个字母表示出其中一点的横坐标，再结合函 数解析式表示出该两点的纵坐标；3.根据两点 之间的上下位置关系得到垂直距离的函效解 析式：4，根据该两点的运动范回和上述西数解 析式的性质求最值.也可以将该两，点的垂直距 离转化为其他线段求解。 典例3(2025阜阳三模)如右图， 抛物线y=a.r2+br+c与r轴交 于A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴 A 交于点C(0,3),连接BC.D是抛 物线上第一象限内的一个动点，连接OD,交线段 BC于点E. (1)求该抛物线的表达式. (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求OE的长. (3)过点D作y轴的平行线，交BC于点F.求DF 的最大值 【规范解答】(1)抛物线y=ax2十bx十c与x轴交于 A(一2,0)，B(4,0)两点，与y抽交于点C(0,3).将 点A,B,C的坐标分别代入，得 3 4a一2b十c=0, 8 16a+4b+c=0,解得 3 c=3. 1b4 c=3, 3 3 小该抛物线的表达式为y=一8，+十3， (2)设直线BC的表达式为y=kx十3. 将点B的坐标代入，得0=4k十3，解得k= 3 41 ∴直线BC的表达式为y=一 3 x+3. “抛物线的对称轴是直线=一2十 -=1 2 ∴，将x=1代入y=一 +3中得 3 ∴点E的坐标是(1，》 0=+(T=厘 254 4己0己6安徽数学 (3)设Dm-受m+是m+3）,则F(m,-子m十 3)0m<Dp-(-gm+u+3)-(-子nm m+2m=- +3)=-3 3 3 8m-2)+2 3 -8<00<m<4,开口向下， “当m=2时，DF取最大值，求大值是三 针对如练 7.如图，已知点A,B,C的坐标分别为（一1,0），(5， 0),(4,一5)，且抛物线经过这三点 图①D 图2 (1)求抛物线的解析式. (2)若D(t,y),E(1+4,y:)是抛物线上的两个 动点，且点D在直线AC下方 ①如图①，过点D作x轴的垂线DG,垂足为G 交直线AC于点F,连接DE,EF,CG.猜想 SDr与SAG的数量关系，并说明理由； ②如图②，点M在直线DE上，且横坐标为t十 1,过点M作MV⊥x轴于点N.求线段MN长 度的最大值， 类型4利用二次函数解决面积的最值向题 (2016T22) 爵题技巧在解与儿何图形面积有关的二次 函数实际应用题时，先设一边长为x,再根据 题中条件，用含x的式子表示出邻边长.根据 周长、面积公式可列出西数解析式，再根据二 次函数的性质求解.实际问题中的函数的自变 量的取值范围往往受到限制，这时对应的函数 图象应是抛物线的一部分. 典例4某学校为美化校园环境，打造绿色校园，决 定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花 园，用一道篱笆把花园分为A,B两块（如下图所 示)，花园里种满牡丹和芍药.学校已订购120m长 的篱笆. (1)设计一个使花园面积最大的方案， 并求出其最大面积。 (2)在花园面积最大的条件下，A,B内分别种植牡丹 和芍药，每平方米种植2株.已知牡丹每株售价为25 元，芍药每株售价为15元，学校计划购买费用不超过 50000元，最多可以购买多少株牡丹？ 【规范解答】(1)设垂直于墙的边长为xm,围成的矩 形面积为Sm,则平行于墙的边长为(120一3x)m, 120一3x>0, 解得0<x<40. x>0. 根据题意，得S=x(120一3.x)=一3(x一20) +1200. ,一3<0，∴.函数图象开口向下， ∴.当x=20时，S取得最大值，最大值为1200， .120-3x=60. ∴.垂直于墙的边长为20m,平行于培的边长为 60m,花园最大面积为1200m. (2)设购买m袜牡丹，则购买(1200×2一m)株 芍药 :学校计划购买费用不超过50000元， ∴.25m+15×(1200×2-m)≤50000.解得m ≤1400， 最多可以购买1400株牡丹 针对机练 8.(2025毫州二模)已知抛物线y=a.x2十b.x十4(a ≠0). (1)若抛物线的对称轴是直线x=2,抛物线与x 轴的交点坐标为(2,0). ①求抛物线的表达式： ②若点A的坐标为(3,3)，动点P在直线OA下 方的抛物线上，连接PA,PO.试判断△AOP的 面积是否存在最大值.若存在，请求出最大值：若 不存在，请说明理由. 培优本255 (2)若b=一6a,抛物线过点B(一2,0)，与y轴交 于点C.将点B绕点N(0,n)(n<0)顺时针旋转 (旋转角小于180)得到点B',当点B'恰好落在 抛物线上，且满足∠BNB'+∠BCB'=180°时， 求n的值. 9.春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基 地计划将下图所示的一块长40m、宽20m的矩 形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形 空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地 为种植区，分别种植A,B,C三种花弃，活动区一 256420己6安徽数学 边与育苗区等宽，另一边长为10m.A,B,C三种 花卉每平方米的产值分别为200元、300元、400 元，设育苗区的边长为xm. (1)用含x的式子表示下列各量：花卉A的种植 面积是 m,花卉B的 种植面积是 m,花卉C的种植 面积是 m2. (2)当育苗区的边长为多少时，A,B两种花卉的 总产值相等？ (3)若花卉A与B的种植面积之和不超过 560m,求A,B,C三种花卉的总产值之和的最 大值. 40m 有苗 活动 区 花卉B 区 花卉 20m 花卉A 类型5利用二次函数解决抛物线型间膜(202223) 解题坡巧在解答抛物线型问题时，利用函数 解析式是关键.若没有抛物线的函数解析式， 则一般要先正确合理地建立平面直角坐标系， 将题中的特殊位置化为相应点的坐标，往往最 高（低）点为抛物线的顶点.若已知抛物线的函 数解析式，在利用函数解析式来解决高度是否 过警戒线，车能否完全通过，球能否过网等实 际问题时，要根据目标位置的横坐标来确定纵 坐标或根据横坐标来与实物进行对比解决 问题 典例5图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以 看作是抛物线的一部分，如图②，以水平地面为x 轴，以停车棚支柱AO为y轴建立平面直角坐标 系，则棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支 柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足二次函数 关系y=一0.02x+bx十c的图象，其中点A距地 面1.6m,B为车棚最远端上的一点，距离停车棚支 柱AO的水平距离为7m,距地面2.72m (1)求二次函数的解析式. (2)某校数学兴趣小组研究一辆货车能否在图②所 示的停车棚下避雨，他们将货车截面看作长CD为 4.2m、高DE为1.88m的矩形.通过计算，发现货 车能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算 说明理由。 (3)如图②，雨点沿着与地面的夹角为60°的方向直 线落下，若(2)中的货车的货箱底部距地面0.8m (货箱和货物都看作一个矩形)，请通过计算说明在 货箱底部不会淋雨的情况下，货车最多还能装超出 货箱多高的货物（结果精确到0.01m,参考数据：√ ≈1.732). 图①D 围② 【规范解答】(1)由题意可得， c=1.6. c=1.6, 解得 -0.02×7+7b+c=2.72, b=0.3. .二次函数的解析式为y=一0.02x2+0.3.x十 1.6. (2),CD=4.2m,期顶外沿B距车棚支柱AO的 水平距离为7m, .7-4.2=2.8(m) 在y=-0.02x2+0.3.x十1.6中 当x=2.8时，y=-0.02×2.82十0.3×2.8+1.6 =2.2832. .2.2832>1.88. ∴货车能完全停到车糊内. (3)如图，过点B作BM⊥x轴，垂足为M,设G为 货箱底部最外点，过点G作GH⊥BM,垂足为H. H D Mx 在△BHG中，∠BHG=90°，∠BGH=60°， ∴.∠HBG=30°. ∴，BG=2GH」 设GH=am,则BG=2am, ∴.BH=BG-GT=5a=2.72-0.8=1.92. .a≈1.11. 点C的横坐标为7一1.11一4.2=1.69. 当x=1.69时，y=-0.02×1.69+0.3×1.69+ 1.6≈2.05 2.05-1.88=0.17(m), 即货车最多还能装超出货箱0.17m的货物. 甘对地练】 10.(2025阜阳一模)投石车（如图①）是利用杠杆原 理抛射石弹的人力远射兵器，结构很简单，一根 巨大的杠杆，长端用皮套或木筐装载石块，短端 系上几十根绳索.当命令下达时，数十人同时拉 动绳索，利用杠杆原理将石块抛出.图②是某数 学兴趣小组研制的抛石车.兴趣小组研究发现： 竖直向上抛出的石块的高度h(单位：m)满足关 系式h=一5t十ot,其中t(单位：s)是石块运 动的时间，。（单位：m/s)是石块被抛出时的 速度 图① 图② (1)若在调试阶段设定。=10m/s,求石块被抛 出的最大高度. 培优本 A257 (2)①若被抛出的石块能达到的最大高度为 20m,则石块被抛出时的速度是多少？ ②按①中的速度抛出石块，石块被抛出的高度 有两次达到15m,小辉认为两次达到高度为 15m之间的间隔时间为2s.小辉的说法是否正 确？请说明理由， 11.直实情境某大型乐园包含多项主题演出与游乐 项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项目之 一.如下图所示，A·B·C为过山车“冲上云 霄”的部分轨道(B为轨道最低点)，可以近似看 成一段抛物线.其中OA=125 m,0B=2 m(轨 道厚度忽略不计). (1)求抛物线A→B→C的函数解析式. 258A6己0已6安徽数学 (2)在轨道距离地面5m处有两个位置P和C, 当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E (接口处轨道忽略不计).已知轨道抛物线C→E →F的大小形状与抛物线A→B→C完全相同， 求OE的长度 (3)现需要对轨道下坡段A·B进行安全加固， 架设某种材料的水平支架和竖直支架GD,GM, HI,HN,且要求OM=MN.如何设计支架，可 使得所需用料最少？最少需要材料多少米？ 类型6二次函数与新定义问题 解题技巧解决关于二次函数的新定义问题， 关键在于理解新定义的内容与新的运算法则， 并将新定义和新的运算法则迁移，综合二次函 数已有的性质活学活用， 典例6若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相 同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数” (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数. (2)已知关于x的二次函数y=2x -4x+2m2+1和y2=ax2+bx+ 其中为的图象经过点P1,. y2与y:为“同簇二次函数” ①求m的值及y2的解析式： ②如右图，A,C是函数y1的图象上的点，B,D是 函数y:的图象上的点，且都在对称轴右侧.若AB∥ CD:结，BC1AB,求器的值 【规范解答】(1)示例：y=x2和y=2x2. (2)①把P(1,1)代入y1=2x°-4mx+2m2十1， 得1=2-4n十2m2十1，解得m1=m2=1, .y1=2x2一4x十3=2(x一1)2十1，∴.顶点坐标为 (1.1). y:与y为“同簇二次函数”，.yg=a(x一1)产十 1.将(o)代入得u+1=a= --1+1--+ ②设点B的坐标为(n,m-1)+1)(n>1), AB∥x轴， ∴点A的坐标为9a-+1,a-+）。 AB∥CD∥x轴，BC⊥AB. .点C的坐标为(n,2(n一1)+1)，点D的坐标 为(22(n-1)+1,2(n-1)2+1), 5AB=I-[9a-+1]=a-11-) CD=22(n-1)+1-n=(n-1)(22-1). D_m-1)2厄-D_2E-1=2E. …AB m-1(1-) 4-√见 针烟迎练 12.(2025宁国一模)规定：对于二次函数y=a.x2+ bx十c(a≠0)，我们把它的图象与x轴交点的横 坐标称为二次函数y=ax十bx十c的“零点” 已知二次函数y=x2十b.x+c有两个“零点”x1, x2(x1≠x4) (1)当x1=一1，x=3时，求b,c的值. (2)请用含x1,x2的代数式表示二次函数y= x+bx+c的最小值. (3)已知二次函数y=x°十br+c的图象经过点 (1,m)且1<x1<x<2.求证：0<m<1. 13.定义：平面直角坐标系xOy中，若点P(a,b), Q(c,d)满足c一a=k(d一b),其中k为常数 且k≠0，则称点P与点Q互为“k阶点”，例如 点(2,3)与点（一1,4）互为“-3阶点” (1)若抛物线y=x2十2.x十c的顶点与点(1， 一2)互为“4阶点”，求c的值. (2)对于动点P,2-)1≠0)，若抛物线y x”+3x十1上只存在一个点与点P互为“1阶 点”，求1的值. (3)已知A,B是抛物线y=x一2x一1上的两点， 且都与点(0,2)互为“阶点”(k≥1)，M是抛物线 的顶点，N是线段AB的中点.若点M与点N互 为“阶点”，则二的最小值为 培优本259