规律类问题研究策略 专题训练-2025-2026学年苏科版（2024）数学七年级上册

2025-2026学年苏科版七年级上学期《规律类问题研究策略》 【方法梳理】 1.找规律三步曲 ①找周期 ②找同类 ③找关系 2.图形排列有顺序，形状数量找关联，画图列表求突破，规律一出全搞定 3.符号规律：①＋，－，＋，－，…用（-1）n ②－，＋，－，＋，…用（-1）n+1 4.数字类： ①等差数列5、7、9、11、… kn+b ②等比数列3、6、9、12、… ③平方数列4、9、16、25、… ④立方数列2、9、28、65、… ⑤幂数列2、4、8、16、… ⑥分数裂项：分母是相邻自然数，分母为不相邻自然数 5.数表规律：关注第一行或者第一列 板块一、图形类规律 1．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　） A．40 B．42 C．44 D．46 2．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，记第1个图形中总的点数为S2＝3，第2个图形中总的点数为S3＝6，依次为S4＝9，S5＝12．以下说法错误的是（ ） A．S7＝18 B．S11＝30 C．若Sn＝60，则n＝21 D．若Sn+Sn+1＝57，则n＝11 3．如图所示的图案是由相同大小的圆点按照一定的规律摆放而成的，按此规律，第n个图形中圆点的个数为（　　） A．3n+2 B．n2+n C．3n+1 D．2n+2 4．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2024个图形中五角星的个数为（　　） A．6074 B．6073 C．6072 D．6071 5．第4次时，围成三角形共需“•”　 　 个．第n次时，围成三角形共需“•”　 　 个．第　 　 次时，围成三角形共需“•”120个． 第5题 第6题 6．如图，在1个面积为s的等边三角形中，连接三条边中点得到4个相同的三角形，将中间的三角形涂成白色，记为第1次操作；再对其余3个三角形进行同样的操作，记为第2次操作；按照上述规律继续操作，则经过n次操作后，该等边三角形中白色三角形的面积之和是 　 　 ． 7．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚…若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（　　） A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚 板块二、数字规律 8．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动4个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动6个单位长度至点A3，…按照这种移动方式进行下去，如果点An与原点的距离等于1008，那么n的值是 　 　 ． 第8题 第9题 9．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合），则数轴上表示﹣2018的点与圆周上表示数字　 　 的点重合． 10．将一列自然数按如图所示的规律排列，A1表示的数为1，A2表示的数为10，A11表示的数是 　 　 ． 11．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，﹣2，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，继续操作下去，从数串2，9，7开始操作第2024次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（　　） A．20238 B．10138 C．5028 D．2509 12．计算（n为正整数）的结果可以写成（　　） A．3 B．n C．3n﹣1 D．n•3n 13．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，第2021次输出的结果为 　 　 ． 第13题 第14题 14．有一数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2022次输出的结果是 　 　 ． 15．观察21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测22022﹣1的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．7 D．5 16．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝﹣2，a2＝1，a3＝3，且任意相邻的三个数的和都相等．若前n个数的和等于6，则n＝　 　 ． 17．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝﹣12，经过第2024次操作后得到的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10 18．观察单项式：2a，﹣4a2，8a3，﹣16a4…根据规律，第n个式子是 　 　 ． 19．有一列按照一定规律写出的单项式：﹣2x，4x2，﹣6x3，8x4，﹣10x5，…请写出这列单项式的第2k个和第（2k+1）个（k是正整数）：　 　 ，　 　 ． 20．已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2024的值为 　 　 ． 21．规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 观察下列表格中三个代数式及其相应的值，回答问题： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … ﹣x﹣2 … 0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 a … 2x﹣2 … ﹣6 ﹣4 b 0 2 … 2x+1 … ﹣3 ﹣1 1 3 5 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：a＝ 　 　 ；b＝ 　 　 ； 【归纳规律】 （2）表中﹣x﹣2的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣x﹣2的值就都减少1．类似地，2x+1的值的变化规律是：　 　 ； （3）观察表格，下列说法正确的有 　 　 （填序号）； ①当﹣x﹣2＞2x+1时，x＜﹣1；②当﹣x﹣2＜2x+1时，x＞﹣1；③当x＞1时，﹣x﹣2＜2x﹣2；④当x＜1时，﹣x﹣2＞2x﹣2． 【应用迁移】 （4）已知代数式ax+b与mx+n（a，b，m，n为常数且a≠0，m≠0），若无论x取何值，ax+b始终大于mx+n，试写出a与m，b与n满足的条件． 22．【情景创设】 ，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 　 　 ，是第 　 　 个数； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 23．观察下列算式： ①22﹣12＝2+1； ②32﹣22＝3+2； ③42﹣32＝4+3； ④52﹣42＝5+4； ⑤62﹣52＝6+5； … （1）根据以上规律写出第⑧条算式：　 　 ； （2）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12； （3）计算：182﹣192+202﹣212+222﹣232+…+20162﹣20172． 24．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是，如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，那么a2020的值是（　　） A． B． C．4 D． 25．观察数串的规律：，，，，，，，，，，…，则第100个位置上排的数是　 　 ． 26．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则： 若n＝13，则第2023次“F”运算的结果是 　 　 ． 27．如图是一个简单的数值运算程序，当输入的m的值为﹣2时，输出的结果为　 　 ． 28．有一数值转换机，原理如图所示，若输入的x的值是1，则第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是3，…，请你写出第2022次输出的结果是 　 　 ． 29．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝3，，a3＝9，且任意相邻的三个数的积都相等．若前n个数的积等于81，则n的值为 　 　 ． 30．将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示奇数15，则表示奇数2023的有序实数对是 　 　 ． 31．一只电子蚂蚁沿数轴向左或向右爬行，爬行的单位长度依次是1，2，3，…，2024，2025．最后停下．蚂蚁停的点表示的数的绝对值最小为 　 　 ． 32．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示﹣3的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 　 　 ． 33．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线于射线OA交于A1、A2、A3，若从O点到A1点的回形线为第一圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，依次类推，则第100圈的长为（　　） A．800 B．799 C．700 D．699 34．等边三角形纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为1，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 35．从3开始的连续奇数按如图的规律排列，其余位置数字均为0． （1）第4行第8列的数字是　 　 ． （2）数字2023在图中的第　 　 行，第　 　 列． 参考答案与试题解析 1．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　） A．40 B．42 C．44 D．46 【解答】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2+2； 第5种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：12＝5×2+2； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个， 当n＝20时，2n+2＝42（个）， 即第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为42个． 故选：B． 2．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，记第1个图形中总的点数为S2＝3，第2个图形中总的点数为S3＝6，依次为S4＝9，S5＝12．以下说法错误的是（　　） A．S7＝18 B．S11＝30 C．若Sn＝60，则n＝21 D．若Sn+Sn+1＝57，则n＝11 【解答】解：第1个图形中总的点数为S2＝3＝3×（2﹣1）， 第2个图形中总的点数为S3＝6＝3×（3﹣1）， 第3个图形中总的点数为S4＝9＝3×（4﹣1）， 第4个图形中总的点数为S5＝12＝3×（5﹣1）， ……， 故第n个图形中的点数为Sn+1＝3×（n+1﹣1）＝3n， 所以S7＝3×6＝18，故A正确，不符合题意； S11＝3×10＝30，故B正确，不符合题意； 若Sn＝60，则n＝21，故C正确，不符合题意； 若Sn+Sn+1＝57＝27+30，则n＝10，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．如图所示的图案是由相同大小的圆点按照一定的规律摆放而成的，按此规律，第n个图形中圆点的个数为（　　） A．3n+2 B．n2+n C．3n+1 D．2n+2 【解答】解：由题知，第1个图形圆点个数为4； 第2个图形圆点个数为7； 第3个图形圆点个数为10； 第4个图形圆点个数为13； ……， 第n个图形圆点个数为：3×n+1＝3n+1； 故选：C． 4．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2024个图形中五角星的个数为（　　） A．6074 B．6073 C．6072 D．6071 【解答】解：第1个图形中有4个五角星， 第2个图形中有7个五角星， 第3个图形中有10个五角星， 第4个图形中有13个五角星， ⋯， 第n个图形中有[4+3×（n﹣1）]个五角星， ∴第2024个图形中有4+3×（2024﹣1）＝6073个五角星， 故选：B． 5．第4次时，围成三角形共需“•”　12　 个．第n次时，围成三角形共需“•”　3n　 个．第　40　 次时，围成三角形共需“•”120个． 【解答】解：由所给图形可知， 第1次时，围成三角形所需“•”的个数为3， 第2次时，围成三角形所需“•”的个数为6， 第3次时，围成三角形所需“•”的个数为9， ⋯， ∴第n次时，围成三角形所需“•”的个数为3n个， 当n＝4时，3n＝12（个）， 令3n＝120， 解得：n＝40， ∴第40次时，围成三角形所需“•”的个数为120个． 故答案为：12，3n，40． 6．如图，在1个面积为s的等边三角形中，连接三条边中点得到4个相同的三角形，将中间的三角形涂成白色，记为第1次操作；再对其余3个三角形进行同样的操作，记为第2次操作；按照上述规律继续操作，则经过n次操作后，该等边三角形中白色三角形的面积之和是 　s﹣（）ns　 ． 【解答】解：∵在面积为s的等边三角形中，连接三条边中点得到4个相同的三角形， ∴第一次操作后，黑色三角形的面积是s； 第二次操作后，黑色三角形的面积是（）2s； 第三次操作后，黑色三角形的面积是（）3s， ...， 第n次操作后，黑色三角形的面积是（）ns， ∴经过n次操作后，该等边三角形中白色三角形的面积之和＝s﹣（）ns． 故答案为：s﹣（）ns． 7．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚…若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（　　） A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚 【解答】解：∵第1个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×1＝7枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多1枚， 第2个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×2＝12枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多2枚， 第3个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×3＝17枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多3枚， … ∴第4个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×4＝22枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多4枚， 第n个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5n个，所用正方形卡片比等边三角形卡片多n枚， ∵第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚， ∴n＝10， 当n＝10时，2+5n＝2+5×10＝52， ∴第n个图形所用两种卡片的总数为52． 故选：B． 8．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动4个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动6个单位长度至点A3，…按照这种移动方式进行下去，如果点An与原点的距离等于1008，那么n的值是 　1009或1006　 ． 【解答】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动4个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动6个单位长度至点A3，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是2+（﹣2）， 第偶数次移动的点表示的数是2+2， ∵点An与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时，﹣1008＝2+（﹣2），解得n＝1009， 当n是偶数时，1008＝2+2，解得n＝1006， 故答案为：1009或1006． 9．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合），则数轴上表示﹣2018的点与圆周上表示数字　3　 的点重合． 【解答】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环 ∵2018÷4＝504…2 ∴数轴上表示﹣2018的点与圆周上第505个循环组的第二个点重合， 该点表示的数字为3． 故答案为：3． 10．将一列自然数按如图所示的规律排列，A1表示的数为1，A2表示的数为10，A11表示的数是 　451　 ． 【解答】解：由题知， A1表示的数是：1＝12+0； A2表示的数是：10＝32+1； A3表示的数是：27＝52+2； …， 所以An表示的数是：（2n﹣1）2+n﹣1． 当n＝11时， （2×11﹣1）2+11﹣1＝451． 即A10表示的数是：451． 故答案为：451． 11．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，﹣2，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，继续操作下去，从数串2，9，7开始操作第2024次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（　　） A．20238 B．10138 C．5028 D．2509 【解答】解：∵第一次操作增加数字：﹣2，7， 第二次操作增加数字：5，2，﹣11，9， ∴第一次操作增加7﹣2＝5， 第二次操作增加5+2﹣11+9＝5， 即，每次操作加5， ∴第2024次操作后所有数之和为2+7+9+2024×5＝18+10120＝10138． 故选：B． 12．计算（n为正整数）的结果可以写成（　　） A．3 B．n C．3n﹣1 D．n•3n 【解答】解：原式n． 故选：B． 13．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，第2021次输出的结果为 　4　 ． 【解答】解：由设计的程序知，依次输出的结果是25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1…，发现从第4个数开始，以8，4，2，1循环出现， 则2021﹣3＝2018，2018÷4＝504……2， 故第2021次输出的结果是4． 故答案为：4． 14．有一数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2022次输出的结果是 　2　 ． 【解答】解：由题意可得， 第一次输出的结果是8， 第二次输出的结果是4， 第三次输出的结果是2， 第四次输出的结果是1， 第五次输出的结果是4， …， 由上可得，输出结果依次以4，2，1循环出现，从第二次输出结果开始， ∵（2022﹣1）÷3＝2021÷3＝673……2， ∴第2022次输出的结果是2， 故答案为：2． 15．观察21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测22022﹣1的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．7 D．5 【解答】解：∵21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…， ∴计算结果中的个位数字依次以1，3，7，5循环出现， ∵2022÷4＝505…2， ∴22022﹣1的个位数字是3， 故选：B． 16．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝﹣2，a2＝1，a3＝3，且任意相邻的三个数的和都相等．若前n个数的和等于6，则n＝　9或13　 ． 【解答】解：相邻三个数的和：﹣2+1+3＝2， ∴a4＝2﹣1﹣3＝﹣2， a5＝2﹣（﹣2）﹣3＝1， a6＝2﹣1﹣（﹣2）＝3， a7＝2﹣1﹣3＝﹣2， ∴这列数为：﹣2，1，3，﹣2，1，3，﹣2，1，3，﹣2，1，…， 又∵﹣2+1+3+（﹣2）+1+3+（﹣2）+1+3＝6， ∴前9个数的和等于6； 当数列为：﹣2，1，3，﹣2，1，3，﹣2，1，3，﹣2，1，3，﹣2时， ∴前13个数的和等于6， 故答案为：9或13． 17．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝﹣12，经过第2024次操作后得到的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10 【解答】解：第1次操作，a1＝|﹣12+4|﹣10＝﹣2； 第2次操作，a2＝|﹣2+4|﹣10＝﹣8； 第3次操作，a3＝|﹣8+4|﹣10＝﹣6； 第4次操作，a4＝|﹣6+4|﹣10＝﹣8； 第5次操作，a5＝|﹣8+4|﹣10＝﹣6； 第6次操作，a6＝|﹣6+4|﹣10＝﹣8； …， 从a2开始两个循环，2024﹣1＝2023，2023÷2＝1011...1， 所以第2024次操作，a2023＝﹣8． 故选：C． 18．观察单项式：2a，﹣4a2，8a3，﹣16a4…根据规律，第n个式子是 　（﹣1）n﹣12nan　 ． 【解答】解：由分析得：第n个式子是（﹣1）n﹣12nan． 故答案为：（﹣1）n﹣12nan． 19．有一列按照一定规律写出的单项式：﹣2x，4x2，﹣6x3，8x4，﹣10x5，…请写出这列单项式的第2k个和第（2k+1）个（k是正整数）：　4kx2k　 ，　﹣（4k+2）x2k+1　 ． 【解答】解：根据题意有， 第1个式子：2×（﹣1）1×x1＝2×1×（﹣x）1＝﹣2x 第2个式子：2×2×（﹣1）2×x2＝2×2×（﹣x）2＝4x2， 第3个式子：2×3×（﹣1）2×x3＝2×3×（﹣x）3＝﹣6x2， 第4个式子：2×4×（﹣1）2×x4＝2×4×（﹣x）4＝8x4， ……， 第n个式子：2×n×（﹣1）n×xn＝2×n×（﹣x）n＝2nxn， 当n＝2k时，2×2k×（﹣x）2k＝4kx2k， 当n＝2k+1时，2×（2k+1）×（﹣x）2k+1＝﹣（4k+2）x2k+1， ∴第2k个和第（2k+1）个（k是正整数）分别为：4kx2k，﹣（4k+2）x2k+1． 故答案为：4kx2k，﹣（4k+2）x2k+1． 20．已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2024的值为 　﹣1012　 ． 【解答】解：由题意可得， a1＝0， a2＝﹣|a1+1|＝﹣1， a3＝﹣|a2+2|＝﹣1， a4＝﹣|a3+3|＝﹣2， a5＝﹣|a4+4|＝﹣2， ……， ∴a20231011， a2024＝﹣|﹣1011+2023|＝﹣1012． 故答案为：﹣1012． 21．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 问题提出：计算．（其中n都通正整数，n≥1）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式： 　1　 ． 类比探究：计算．（仿照上述方法，画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程） 拓展思考：计算 　　 ． 【解答】解：探究问题：根据第n次分割图可得等式： 类比探究： 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：， 两边同除以2，得． 拓展思考：原式＝（m﹣1）（）＝（m﹣1）（1） 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后m等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． ∴． 22．规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 观察下列表格中三个代数式及其相应的值，回答问题： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … ﹣x﹣2 … 0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 a … 2x﹣2 … ﹣6 ﹣4 b 0 2 … 2x+1 … ﹣3 ﹣1 1 3 5 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：a＝ 　﹣4　 ；b＝ 　﹣2　 ； 【归纳规律】 （2）表中﹣x﹣2的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣x﹣2的值就都减少1．类似地，2x+1的值的变化规律是：　x的值每增加1，2x+1的值就增加2　 ； （3）观察表格，下列说法正确的有 　①②③　 （填序号）； ①当﹣x﹣2＞2x+1时，x＜﹣1；②当﹣x﹣2＜2x+1时，x＞﹣1；③当x＞1时，﹣x﹣2＜2x﹣2；④当x＜1时，﹣x﹣2＞2x﹣2． 【应用迁移】 （4）已知代数式ax+b与mx+n（a，b，m，n为常数且a≠0，m≠0），若无论x取何值，ax+b始终大于mx+n，试写出a与m，b与n满足的条件． 【解答】解：（1）当x＝2时，﹣x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4， ∴a＝﹣4； 当x＝0时，2x﹣2＝2×0﹣2＝﹣2， ∴b＝﹣2， 故答案为：﹣4；﹣2； （2）规律是：x的值每增加1，2x+1的值就增加2； 故答案为：x的值每增加1，2x+1的值就增加2； （3）①∵﹣x﹣2的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣x﹣2的值就都减少1，2x+1的值的变化规律是x的值每增加1，2x+1的值就增加2，且当x＝﹣1时，﹣x﹣2和2x+1的值相同， ∴当﹣x﹣2＞2x+1时，x＜﹣1，故①正确； ②同理可知当﹣x﹣2＜2x+1时，x＞﹣1，故②正确； ③同理可知，当x＞0时，﹣x﹣2＜2x﹣2，故③正确； ④同理可知当﹣x﹣2＞2x﹣2时，x＜0，故④错误； ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③； （4）由题意可得：mx+n＜ax+b， 整理得（a﹣m）x+b＞n， ∵若无论x取何值，ax+b的值始终大于mx+n的值， ∴a﹣m＝0，b＞n， ∴a＝m，b＞n， 故答案为：a＝m，b＞n． 23．【情景创设】 ，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 　　 ，是第 　11　 个数； 【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【解答】解：（1）由题知， ； ； ； ； …， 所以第n个数为：． 当n＝6时， ． 即第6个数为． 令n（n+1）＝132， 解得n＝11或﹣12， 又因为n为正整数， 所以n＝11． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 （） ...（...） （1）﹣（...） （1）﹣（） ． 24．观察下列算式： ①22﹣12＝2+1； ②32﹣22＝3+2； ③42﹣32＝4+3； ④52﹣42＝5+4； ⑤62﹣52＝6+5； … （1）根据以上规律写出第⑧条算式：　92﹣82＝9+8　 ； （2）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12； （3）计算：182﹣192+202﹣212+222﹣232+…+20162﹣20172． 【解答】解：（1）①22﹣12＝2+1 ②32﹣22＝3+2 ③42﹣32＝4+3 ④52﹣42＝5+4 ⑤62﹣52＝6+5 ……， 以此类推可知，第n条算式为（n+1）2﹣n2＝n+1+n， 则第⑧条算式为92﹣82＝9+8， 故答案为：92﹣82＝9+8． （2）原式＝100+99+98+97+…+2+1 ＝5050； （3）182﹣192+202﹣212+222﹣232+…+20162﹣20172 ＝﹣（20172﹣20162+20152﹣2014+…+212﹣202+192﹣182） ＝﹣（2017+2016+⋯+21+20+19+18） ＝﹣2035000． 25．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得，正方形的面积为1， 图形①面积为：1， 图形②面积为：2， 图形③面积为：为：2， .……， 根据规律可得， 图形④的面积为：， 图形⑤的面积为：， 图形⑥的面积为：， ∵图形⑦面积是图形⑥面积的2倍， ∴图形⑦的面积为：2， ， 的值刚好为图形①②③④⑤⑥的面积之和， 图形①②③④⑤⑥的面积之和为正方形的面积减去图形⑦的面积， 1﹣211， ∴图形①②③④⑤⑥的面积之和为， ∴． 故选：A． 26．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是，如 果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，那么a2020的值是（　　） A． B． C．4 D． 【解答】解：∵a1， ∴a2，a34，a4，……， ∴这个数列以，，4依次循环， ∵2020÷3＝673…1， ∴a2020的值是． 故选：A． 27．观察数串的规律：，，，，，，，，，，…，则第100个位置上排的数是　　 ． 【解答】解：∵14×13÷2＝91，100﹣91＝9， ∴第100个位置上排的数的分母为：14+1＝15，分子为：9． 故第100个位置上排的数是． 故答案为：． 28．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则： 若n＝13，则第2023次“F”运算的结果是 　4　 ． 【解答】解：由题意可得， 当n＝13时， 第1次“F”运算的结果是3×13+1＝40； 第2次“F”运算的结果是40÷23＝5； 第3次“F”运算的结果是3×5+1＝16； 第4次“F”运算的结果是16÷24＝1； 第5次“F”运算的结果是3×1+1＝4； 第6次“F”运算的结果是4÷22＝1； …， 由上可得，从第4次开始，循环出现1，4， ∵（2023﹣3）÷2＝2020÷2＝1010， ∴第2023次“F”运算的结果是4， 故答案为：4． 29．如图是一个简单的数值运算程序，当输入的m的值为﹣2时，输出的结果为　48　 ． 【解答】解：把m＝﹣2代入得：（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝4+4＝8； 把m＝8代入得：82﹣2×8＝64﹣16＝48＞40， 则输出结果为48． 故答案为：48． 30．有一数值转换机，原理如图所示，若输入的x的值是1，则第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是3，…，请你写出第2022次输出的结果是 　1　 ． 【解答】解：把x＝1代入程序中得： 第1次的输出的结果为：1+5＝6； 第2次的输出的结果为：6＝3； 第3次的输出的结果为：3+5＝8； 第4次的输出的结果为：8＝4； 第5次的输出的结果为：2； 第6次的输出的结果为：1； 第7次的输出的结果为：1+5＝6， … 则该数列以6，3，8，4，2，1这6个数循环出现， ∵2022÷6＝337， ∴第2022次输出的结果为1． 故答案为：1． 31．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝3，，a3＝9，且任意相邻的三个数的积都相等．若前n个数的积等于81，则n的值为 　12、10或17　 ． 【解答】解：该列数为：3、、9、3、、9、……，三个数为一个循环， 当n＝3a时，前n个数的积等于3a， 当n＝3a+1时，前n个数的积等于3×3a＝3a+1， 当n＝3a+2时，前n个数的积等于3×3a＝3a﹣1， ∴当3a＝34＝81， 解得：a＝4， ∴n＝12， 当3a+1＝34＝81， 解得：a＝3， ∴n＝10， 当3a﹣1＝34＝81， 解得：a＝5， ∴n＝17， 故答案为：12、10或17． 32．将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示奇数15，则表示奇数2023的有序实数对是 　（45，24）　 ． 【解答】解：观察发现，第n行有n个数，居中的数与n2有关， 当n为奇数时，中间数为n2， 当n为偶数时，中间数为n2﹣1和n2+1， ∵2025＝452， ∴2023在第45行， ∵45行共有45个数，居中奇数是第23个数，且为2025， ∴2023是45行24个数，故2023的有序实数对是（45，24）． 故答案为：（45，24）． 33．一只电子蚂蚁沿数轴向左或向右爬行，爬行的单位长度依次是1，2，3，…，2024，2025．最后停下．蚂蚁停的点表示的数的绝对值最小为 　1013　 ． 【解答】解：记电子蚂蚁沿数轴向左爬行长度为负数，向右爬行长度为负数，即爬行的单位长度依次记为﹣1，+2，﹣3，…，﹣2024，﹣2025， ﹣1+2+（﹣3）+4+（﹣5）+...+2024+（﹣2025）＝1+1+1+...+1﹣2025＝1012﹣2025＝﹣1013， |﹣1013|＝1013， ∴蚂蚁停的点表示的数的绝对值最小为1013． 故答案为：1013． 34．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示﹣3的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 　20或25　 ． 【解答】解：由题知， 第1次跳动后，电子跳蚤在表示﹣3的点的右侧2个单位长度， 第2次跳动后，电子跳蚤在表示﹣3的点的左侧2个单位长度， 第3次跳动后，电子跳蚤在表示﹣3的点的右侧4个单位长度， 第4次跳动后，电子跳蚤在表示﹣3的点的左侧4个单位长度， …， 所以第n次跳动后，当n为奇数时，电子跳蚤在表示﹣3的点的右侧（n+1）个单位长度；当n为偶数时，电子跳蚤在表示﹣3的点的左侧n个单位长度． 因为到原点的距离为23个单位长度的点所表示的数为﹣23和23， 则当电子跳蚤在表示﹣23的点处时， ﹣3﹣（﹣23）＝20， 即第20次跳动后，电子跳蚤在表示﹣23的点处； 当电子跳蚤在表示23的点处时， 23﹣（﹣3）＝26，26﹣1＝25， 即第25次跳动后，电子跳蚤在表示23的点处， 综上所述，n的值为20或25． 故答案为：20或25． 35．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线于射线OA交于A1、A2、A3，若从O点到A1点的回形线为第一圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，依次类推，则第100圈的长为（　　） A．800 B．799 C．700 D．699 【解答】解：观察图形发现： 第一圈的长是2（1+2）+1＝7； 第二圈的长是2（3+4）+1＝15； 第三圈的长是2（5+6）+1＝23； 则第n圈的长是2（2n﹣1+2n）+1＝8n﹣1． 所以，当n＝100时，原式＝8×100﹣1＝799． 故选：B． 36．等边三角形纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为1，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【解答】解：由题意，翻转第1次后，点C落在数轴上，对应的数为1，每经过3次翻转后，A，B两点落在数轴上，点C位于数轴上方， ∵2023÷3＝674……1， ∴点C落在数轴上，对应的数为1+674×3＝2023； 故选：C． 37．观察下面的等式： ①； ②3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3； ③1﹣1＝﹣|1+2|+3； ④； ⑤（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3； … 若满足上面特征的等式最左边的数为3.32，写出此时的等式 　3.32﹣1＝﹣|﹣1.32+2|+3　 ． 【解答】解：通过观察发现规律如下： 1＝（2）﹣1＝﹣|2|+3； 3﹣1＝（1+2）﹣1＝﹣|﹣1+2|+3； 1﹣1＝（﹣1+2）﹣1＝﹣|1+2|+3； （）﹣1＝（2）﹣1＝﹣|2|+3； （﹣2）﹣1＝（﹣4+2）﹣1＝﹣|4+2|+3； 代入3.32，可得： 3.32﹣1＝（1.32+2）﹣1＝﹣|﹣1.32+2|+3． 故答案为：3.32﹣1＝﹣|﹣1.32+2|+3． 38．从3开始的连续奇数按如图的规律排列，其余位置数字均为0． （1）第4行第8列的数字是　0　 ． （2）数字2023在图中的第　45　 行，第　25　 列． 【解答】解：（1）观察数据发现第偶数行第偶数列的数字是都0，可得第4行第8列的数字是0； 故答案为：0． （2）第1行第1个数字为（2×1﹣1）2+2×1， 第3行第1个数字为（2×2﹣1）2+2×2， 第5行第1个数字为（2×3﹣1）2+2×3， ……， ∴第2n﹣1行的第1个数字为（2n﹣1）2+2n， ∵452＝2025， ， ∴数字2023在图中的第45行，第25列． 故答案为：45，25． 第1页（共24页） 学科网（北京）股份有限公司 $