专题4.4 对数函数学案-2025-2026学年高一数学教学同步知识归纳与分层检测（人教A版必修第一册）

专题4.4 对数函数 高中数学辅导资料 专题 4.4 对数函数 一、知识归纳： 1． 1）对数函数的概念 函数 （，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 常用对数函数 以 为底的对数函数 自然对数函数 以 为底的对数函数 2．对数函数的图象和性质 （，且） 底数 图象 定义域 值域 单调性 在上是 函数 在上是 函数 最值 奇偶性 函数 共点性 图象过定点 ，即时， 函数值特点 时， ； 时， 时， ； 时， 对称性 函数与的图象关于 对称 3．反函数的概念 一般地，指数函数 和对数函数 为反函数．它们的定义域和值域正好互换． 4．对数不等式的解法 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．设函数，则（    ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在单调递增 D．在单调递减 4．已知，，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．对数函数(，且)与二次函数在同一坐标系内的图象可能是(    ) A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，当时， ，则不等式的解集为 A． B． C． D． 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知函数，若，则（    ） A．1 B． C． D． 10．已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的单调递增区间为 . 13．函数是的反函数，则函数的图象恒过定点 ． 14．已知函数的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知函数，则（    ） A． B． C．9 D．27 2．设，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．已知（，且）在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．若函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．时， C．的解集为 D． 10．若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的值域为 D．图象关于点中心对称 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的图像过定点 . 13． ，若上单调递增，则a的取值范围是 . 14．已知函数（且），在上单调递减，则的取值范围是 . 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $专题4.4 对数函数 高中数学辅导资料 专题 4.4 对数函数 一、知识归纳： 1． 1）对数函数的概念 函数 （，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 常用对数函数 以 为底的对数函数 自然对数函数 以 为底的对数函数 2．对数函数的图象和性质 （，且） 底数 图象 定义域 值域 单调性 在上是 函数 在上是 函数 最值 奇偶性 函数 共点性 图象过定点 ，即时， 函数值特点 时， ； 时， 时， ； 时， 对称性 函数与的图象关于 对称 3．反函数的概念 一般地，指数函数 和对数函数 为反函数．它们的定义域和值域正好互换． 4．对数不等式的解法 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 自查自纠： 1． 10 2． 增 减 无最大、最小值 非奇非偶 轴 3． 4． 以为底数的对数式 同底的两个对数值 换元法（令） 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则有解得.所以函数的定义域为. 故选：C 3．设函数，则（    ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】D 【详解】定义域为，所以的递减区间是.故选:D. 4．已知，，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】根据对数函数的单调性及图象平移的知识，知函数的大致图象如图所示，函数图象不经过第四象限．故选：D．   5．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，，，.故选：A. 6．对数函数(，且)与二次函数在同一坐标系内的图象可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则函数在上单调递减，又函数的图象开口向下， 对称轴为直线，则对称轴在轴左侧，故CD错误；若，则函数在上单调递增，又函数的图象开口向上，且对称轴为直线，则对称轴在轴右侧，故B错误，A正确.故选:A. 7．已知是定义在上的偶函数，当时， ，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时， ，∴f(1)=0，又∵当x∈[0,+∞)时,f(x)为增函数，又是定义在R上的偶函数，故f(x)>0时，x>1，或x<−1，故时,>1,或 <−1，解得：x∈， 故选C 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，由于函数的值域为，所以，函数的值域包含.①当时，函数的值域为，合乎题意；②当时，若函数的值域包含，则，解得或.综上所述，实数的取值范围是.故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知函数，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【详解】当时，，解得，满足要求，当时，，解得，满足要求. 故选：BC 10．已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AB 【详解】当时，函数是单调递减的，，，当时，是单调递增的，，，因函数在R上存在最小值，则当且仅当，解得， 所以实数m的可能取值为-1，0.故选：AB 11．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，由对数函数的定义域可得，，，A正确；对于BD，，即，构造函数，因为在都是增函数， 所以函数在是增函数，由可得，，，B错误，D正确，对于C，因为，，C正确，故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】因为，所以函数的定义域为或，令，则， 因为在单调递减，且在单调递减，在单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为，故答案为：. 13．函数是的反函数，则函数的图象恒过定点 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以的反函数是，因为是的反函数，所以，因为恒成立，所以的图象恒过定点，故答案为：． 14．已知函数的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，知，所以.故答案为： B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知函数，则（    ） A． B． C．9 D．27 【答案】C 【详解】函数，，故选：C 2．设，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由不等式，可得，解得，又由不等式，即，可得，解得，因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B. 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，∴. 故选：B 4．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增，则由可得，利用函数的单调性可得；又是定义在R上的奇函数，故；当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且，则由可得，利用单调性可得.综上可得，不等式的解集是.故选：A. 5．已知（，且）在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以在单调递减，而（，且）在上单调递增，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故选：B． 6．函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，     由图可知，两函数的图象的交点个数为4.故选：C. 7．已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，则，即，解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，又函数在上单调递减，所以在上单调递减，则在上单调递减，所以不等式，即，等价于，解得，即实数的取值范围是.故选：D 8．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当马赫数为8时，速度，解得，即，，当马赫数为13时，速度，解得，即，，所以,.故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．若函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．时， C．的解集为 D． 【答案】BD 【详解】由题知，，对于A，函数定义域为，故A错误；对于B，在上单调递减，当时，，故B正确；对于C，在上单调递减，，即，解得，故C错误；对于D，，故D正确.故选：BD 10．若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，在上是增函数，当时，函数值域是，A不是； 对于B，在上单调递增，当时，函数值域是，B是； 对于C，在上单调递减，当时，函数值域是，C不是； 对于D，在上单调递增，当时，函数值域是，D是． 故选：BD 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的值域为 D．图象关于点中心对称 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为，所以A错误；对于B，，令，可得该函数在单调递减，又由于函数在定义域内单调递增，所以复合函数在单调递减，所以B正确；对于C，，令，该函数在单调递减，所以，所以，所以函数的值域为，所以C正确；对于D，因为函数的定义域为，所以图象不可能关于点中心对称，所以D错误；故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的图像过定点 . 【答案】 【详解】令得，，所以函数过定点，故答案为：. 13． ，若上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，设，则，，所以，即，所以在时，是增函数，由题意应是增函数，所以，从而，所以，又，， 综上，．故答案为： 14．已知函数（且），在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数（且），在上单调递减，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：. 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $