专题06 数列的综合（期中真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06数列的综合 ☆5大高频考点概览 考点01数列的通项公式 考点02数列的错位相减求和 考点03数列的其他求和方法 考点04数列求和的最值和范围问题 考点05数列的新定义问题 目目 考点01 数列的通项公式 1.(24-25高二上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足 an=2Sn-1(nE N). (1)求a1,a2值： (2)证明数列{an}为等比数列并求其通项公式。 2.(24-25高二上甘肃酒泉肃州中学期中)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10,且 5a3a1=(2a2+2)2 (1)求d,an (2)若d<0,求|a1+|a2+a3++|a15l 3.(24-25高二上甘肃酒泉肃州中学期中)如果数列an}满足：a1十a2十a3十·十an=0且 a+a+a时+…+a=1(n≥3，n∈N,则称an为n阶“归化”数列 (1)若某3阶归化”数列an是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； (2)若某4阶“归化”数列an是等比数列，写出该数列的各项； (3)若某11阶“归化”数列an是等差数列，求该数列的通项公式 4.(24-25高二上甘肃酒泉敦煌中学·期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2十a3=8,Ss=25 (I)求{an}的通项公式： (2)数列{bn}满足b1=1,bH1=an-bn(neN),求数列{ba}的前21项和 5.(24-25高二上甘肃多校期中)已知数列{an}满足：a1=-方，2=，数列{a+1-an}是以4为公 差的等差数列 (1)求数列{an}的通项公式： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)记数列{素}的前n项和为Sn,求S2023的值. 6.(24-25高二上甘肃张掖高台县第一中学期中)已知数列{an}满足： 受+导+器+…+子=n(nEN),数列{bn}满足bn=a本 (1)求数列{an}的通项公式： (2)求bn十b100-n的值； (3)求b1+b2+b3+···+bg的值 目目 考点02 错位相减法求和 1.(2425高二上·甘肃酒泉敦煌中学期中)已知数列{an}的首项为a1=1,且满足na州1=(n+1)an,数 列{bn}满足b1=,且b+1=b. (1)求{an}，{bn}的通项公式； ②设数列苦}的前n项和为Tr求Tr 2.(24-25高二上，甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和 为Sn,S3=15,a3,a6,a13成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式： (2)令bn=an2,求{bn}的前n项和Tn 3.(24-25高二上甘肃金昌永昌县第一高级中学期中)已知数列{a}的首项a1=青，且满足 =(nEN). (I)求数列{an}的通项公式： (2)记bn=景，求(bn}的前n项和Sn 4.(24-25高三上甘肃天水第一中学期中)已知数列{an}中，a1=4,a2=10,aH2=4aH1-3an (1)证明：数列{a叶1-an}和数列{aH1-3an}都为等比数列： (2)求数列{an}的通项公式： (3)求数列{nan}的前n项和Sn 5.(24-25高二上甘肃天水秦安县第二中学期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列 a3+a5=14,S3=9 (1)求数列{an}的通项公式： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设bn=an3,求数列{bn}的前n项和Ta 6.(24-25高二上甘肃庆阳华池县华池县第一中学期中)Sn为数列{an}的前n项和.己知a1=1, Sm+1=3Sn+1 (1)证明{Sn+专}是等比数列，并求数列{an}的通项公式： (2)数列{bn}满足bn=(n+1)·a+1,求数列{bn}的前n项和Tn 目目 考点03 其他求和方法 1.(24-25高二上甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)设数列{an}满足：a1=1,且 2an=am1+ar1（n≥2)，a3+a4=12 (1)求{an}的通项公式： (2)求数列{：}的前n项和 2.(2425高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学期中)已知数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是 公比为3的等比数列，且a2十b3=30,b2=a4+2. (1)求数列{an}和{bm}的通项公式； (2)求数列{an+bn}的前n项和Tn 3.(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学期中)已知等比数列{an}中，a1=2且2a2是a3和4a1的等差中项 (1)求数列{an}的通项公式： (2)若函数{bn},满足bn=2n+a品(n∈N),求{ba}的前n项和Sn 4.(24-25高二上甘肃兰州教育局第四片区期中)已知数列{an}满足a1=1,点(ana+1)在直线 y=3x+1上 (I)设bn=an十寺，证明{bn}为等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn 5.(24-25高二上.甘肃兰州教育局第四片区期中)已知数列{an}满足a叶1=an十3，且a2=4 (1)求数列{aa}的通项公式： (2)设bn=a高，求数列{bn}的前n项和Sn 6.(24-25高二上甘肃白银会宁县第四中学期中)已知数列{an}满足a1=2,a#1=3an+2(aEN) (1)求证：数列{an十1}为等比数列； (2)设bn=n(an+1),求数列{bn}的前n项和Sn 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25高二上甘肃多校期中)在等比数列{an}中，an>0,a1十a2=0,ag-a2=3 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=log42n,求数列{bn}的前n项和Sm (3)在(2)的条件下，当子+号+…+音最小时，求n的值 8.(24-25高二上甘肃白银靖远县第四中学等校期中)设数列{an}的前n项和为Sa,a1=8, St1-4Sn=8. (I)求{an}的通项公式： (2)若bn=log.og.4c,求数列{bn}的前n项和。 9.(24-25高二上甘肃白银靖远县第四中学等校期中)在递增的等差数列{an}中，a3ag=250, a5+a6=35 (I)求{an}的通项公式： (2)求数列{an·2}的前n项和Tn 10.(2425高二上·甘肃张掖高台县第一中学期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sm,a1=1,S4=10, 数列{bm}满足b1=3,b+1=2bn-1. (1)证明：数列{bm-1}是等比数列； (2)i证明：S2t1bn>2Snb+1 (3)若cn=,-守，求数列{cn}的前n项和Tm 11.(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学)已知正项数列{an}前n项和为Sn,且满足 a1=2,6Sn=（an+2)(an+1) (1)求数列{an}的通项公式： (②若数列{b}满足bn=(-1”n十，求数列{bn}的前2n项和T2n 12.(24-25高二上甘肃庆阳宁县第一中学期中)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=1,且a1,a2 ，-3a3成等差数列. (1)求{an}的通项公式： (2)求数列{an-n}的前n项和Sn 13.(24-25高二上甘肃甘南州卓尼县柳林中学)在数列{an},{bm}中，b1=2a1=2,b3十b4=24, ar1=an十bm十n年n且{bn}为正项等比数列. (1)求bn的通项公式： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明： 2g1<2*1-2 目目 考点04 数列求和范围和最值问题 1.(24-25高二上甘肃酒泉敦煌中学期中)已知数列an},a1=1,且am1=an-*,neN (I)求数列{an}的通项公式 (2)记数列{aa}的前n项和为Sa,求证：Sn<器 2.(24-25高二上甘肃天水第一中学期中)已知在等差数列{an}中，a1+a4=8,a2a3=15. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最值 3.(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学期中)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,其中a1a3ag成等比数列， 且数列an为非常数数列 (1)求数列通项an (2)设bn=,bn的前n项和记为Tn求证：Tn<2 4.(24-25高二上甘肃酒泉实验中学期中)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a5=11,S7=98 (I)求{an}的通项公式， (2)求Sn的最大值 5.(2425高二上·甘肃酒泉实验中学·期中)已知数列{an}是公比不为1的等比数列，a1=1,且aa3a2成 等差数列， (I)求数列{an}的通项； (2)若数列{an}的前n项和为Sn,试求Sn的最大值 6.(24-25高二上甘肃环县第一中学期中)在前n项和为Sn的等差数列{an}中，a1十a4=2a2-2S3=48 (I)求数列{an}的首项和公差； (2)当an≥5时，求n的最大值. 7.(24-25高二上甘肃甘南州卓尼县柳林中学)已知数列{an}、(bn}满足a1=1,a2=号， 9a+1=6an-ar-1(n≥2)，an=÷(neN) (I)证明：数列{bn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Sn,求Sn,并证明：Sn≥1. 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点05 数列的创新题 1.(24-25高二上甘肃酒泉金塔县等4地期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S4=10,数 列{bn}满足b1=3,bH1=2bn-1. (1)证明：数列{bn-1}是等比数列； (2)i证明：S2叶1bn>2Snb+1: 2.(2425高二上甘肃西北师范大学附属中学期中)已知Sn为数列(n}的前n项和，且Sn=,数列 {bn}前n项和为Ta,且b1=2,b+1=Tn+2. (1)求{an}和{bn}的通项公式： (2)设cn=（-1)”a弱，设数列{cn}的前n项和为Pa,求Pm: ()诺数列dn}满足：dn=品+÷，证明：1d,<2+1, 专题06 数列的综合 5大高频考点概览 考点01 数列的通项公式 考点02 数列的错位相减求和 考点03 数列的其他求和方法 考点04 数列求和的最值和范围问题 考点05 数列的新定义问题 地 城 考点01 数列的通项公式 1．(24-25高二上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【详解】（1）数列的前n项和为，由得，解得， ，解得， 所以，. （2）当时，，则当时，， 两式相减得，整理得，而， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式. 2．(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学·期中)在公差为的等差数列中，已知，且. (1)求； (2)若，求. 【详解】（1）由，， ，解得或， 当时，， 当时，； （2）由， ， 所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数， 所以==. 3．(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学·期中)如果数列满足：且，则称为n阶“归化”数列. (1)若某3阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； (2)若某4阶“归化”数列是等比数列，写出该数列的各项； (3)若某11阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式. 【详解】（1）设成公差为的等差数列，显然， 则由得，，， ，， 由得，解得， 数列，，为所求3阶“归化”数列. （2）设成公比为的等比数列，显然， 则由，得，解得， 由得，解得， 所以数列或为所求4阶“归化”； （3）设等差数列的公差为， 因为，所以，所以，即. 当时，此时， 与归化数列的条件相矛盾. 当时，由， 故，又， 联立解得， 所以； 当时，由，，同理解得， 所以. 综上，当时，； 当时，. 4．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求数列的前21项和. 【详解】（1）设公差为，由题设有，解得，， 所以. （2）由题设， . 所以数列的前21项和为211. 5．(24-25高二上·甘肃多校·期中)已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求的值． 【详解】（1）根据题意可得，     则 ； 又符合上式，所以； （2）∵，                                 ∴. 6．(24-25高二上·甘肃张掖高台县第一中学·期中)已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则 . （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 地 城 考点02 错位相减法求和 1．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． (1)求，的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴， ∴， 当时，上式成立，∴ 又因为，， 所以， 所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列， 所以， 所以． （2）由（1），， 所以，① ，② 所以①②得， 所以． 2．(24-25高二上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和． 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 由，得， 由成等比数列，得，即， 则，整理得，而，解得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得， 则， 因此， 两式相减得 ， 则， 所以的前n项和. 3．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和． 【详解】（1）由题意知，所以由，得， 所以，又， 所以是首项为3，公差为5的等差数列， 所以，即． （2）由（1）得， 所以①， ②， ①②，得 ， 所以． 4．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)已知数列中，． (1)证明：数列和数列都为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【详解】（1）由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 也符合上式， 所以. （3）， 令， ， 两式相减得 ， 所以. 所以 . 5．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列的通项公式为. （2）由（1），得， ∴数列的前项和 ∴   ∴ 所以 6．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县华池县第一中学·期中)为数列的前项和.已知，. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）证明：依题意，由两边同时加上， 可得， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ， 则当时，， 当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为：. （2）由（1）可得， 则， ， 两式相减， 可得 所以. 地 城 考点03 其他求和方法 1．(24-25高二上·甘肃兰州第六十一中学（兰化一中）·期中)设数列满足：，且（），. （1）求的通项公式： （2）求数列的前项和. 【详解】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为, 因为,所以,解得, 所以的通项公式为:(); (2)由(1)知, 所以数列的前项和: . 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前项和,难度不大. 2．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，因为， 所以，解得， 因此，，. （2） 3．(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学·期中)已知等比数列中，且是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若函数，满足，求的前n项和. 【详解】（1）设等比数列公比为q， 因为， 所以，， 因为，所以，解得， 所以； （2）由（1）可得， 所以 . 4．(24-25高二上·甘肃兰州教育局第四片区·期中)已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）因点在直线，则. 可得， 即，且， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可知：，即 所以. 5．(24-25高二上·甘肃兰州教育局第四片区·期中)已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【详解】（1）解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1），可得， 所以数列的前项和为：. 6．(24-25高二上·甘肃白银会宁县第四中学·期中)已知数列满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又， 所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，即， 所以， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 7．(24-25高二上·甘肃多校·期中)在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和; (3)在（2）的条件下，当最小时，求的值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 化简可得，整理可得， 由，则，由方程解得， 由，则. 由数列是以为首项，以为公比的等比数列，则. （2）由，则，， 由数列是以为首项，以为公差的等差数列，则. （3）由（2）得：，所以， 因为当时，；当时，；当时，. 则当或时，最小. 8．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学等校·期中)设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，得，满足． 所以是首项为8，公比为4的等比数列，，． （2）因为， 所以． 所以 . 故数列的前n项和为，. 9．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学等校·期中)在递增的等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，因为数列是等差数列， 所以，由解得， 所以，所以. （2）由（1）可得， 则①， ②， ①-②得 则. 10．(24-25高二上·甘肃张掖高台县第一中学·期中)已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）由题设，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，得证. （2）令数列的公差为，而， 所以，又， 则 恒成立， 所以，得证. （3）由上知，则， 则，即， 所以，即. 11．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·)已知正项数列前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）因为，则， 两式相减得：， 整理得， 且为正项数列，可知， 可得，即， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 当为奇数，则， 可得 ， 所以. 12．(24-25高二上·甘肃庆阳宁县第一中学·期中)已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知：， 则 ， 所以. 13．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·)在数列，中，，，且为正项等比数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【详解】（1）设的公比为q，因为为正项等比数列，所以， 由，，得， 即 ， 解得， 所以； （2）得， 因为， 所以， 所以当时， ， 即，则，且 故． 地 城 考点04 数列求和范围和最值问题 1．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知数列，，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 【详解】（1）解：因为， 所有， 当时，，，……，， 相加得，所以， 当时，也符合上式， 所以数列的通项公式； （2）证明：由（1）得， 所以， 所以， ． 所以． 2．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，或， 当时，， 当时，， 即，或； （2）当时，， 当时，有最小值，没有最大值； 当时，， 当时，有最大值，没有最小值. 3．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)等差数列的前项和为，，其中成等比数列，且数列为非常数数列. （1）求数列通项； （2）设，的前项和记为，求证：. 【详解】解：（1）因为成等比数列，所以， 即， 解得或（舍去），所以. （2）由（1）知：.则 ，. 【点睛】本题主要考查等比中项、等差数列的通项公式和前项和公式以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．(24-25高二上·甘肃酒泉实验中学·期中)已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 【详解】（1）在等差数列中，由，得，解得， 而，因此数列的公差， 所以. （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此数列的前8项都为正，从第9项起为负，则数列的前8项和最大， 而，所以. 5．(24-25高二上·甘肃酒泉实验中学·期中)已知数列是公比不为的等比数列，，且成等差数列. (1)求数列的通项； (2)若数列的前项和为，试求的最大值. 【详解】（1）设的公比为，成等差数列， ， 又， ，而， ， . （2） ， 当偶数时，， 当奇数时，，当且仅当时等号成立. 综上所述，的最大值为1. 6．(24-25高二上·甘肃环县第一中学·期中)在前项和为的等差数列中，． (1)求数列的首项和公差； (2)当时，求的最大值． 【详解】（1）设数列的公差为，由题意有， 解得， 故数列的首项为18，公差为； （2）由（1）知， 由，得， 又，则的最大值为7． 7．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·)已知数列、满足，，，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求，并证明：. 【详解】（1）因为，，则， 等式两边同时乘以可得， 即，所以，数列是等差数列. 且，，等差数列公差为， 所以，，故. （2）数列的前项和为，且， 则， 所以，， 两式相减可得 ， 所以. 又，即为单调递增数列， 所以，即. 地 城 考点05 数列的创新题 1．(24-25高二上·甘肃酒泉金塔县等4地·期中)已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； 【详解】（1）由题设，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，得证. （2）令数列的公差为，而， 所以，又， 则 恒成立， 所以，得证. （3）由上知，则， 则，即， 所以，即. 2．(24-25高二上·甘肃西北师范大学附属中学·期中)已知为数列的前n项和，且，数列前n项和为，且，． (1)求和的通项公式； (2)设，设数列的前n项和为，求； (3)若数列满足：，证明：． 【详解】（1）由， 当时，， 当时，， 检验时，，所以； 因为，（）， 所以，即（）， 而，故满足上式， 所以数列是以，公比等于的等比数列，即； （2）因为， 所以， 所以 ； （3）由（1）知，则， 设，则， 所以，所以， 所以 ， 即. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $