专题02 圆与圆的方程16大考点38题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

专题02 圆与圆的方程 考点01 求圆的方程（共3小题） 1 考点02 二元方程表示圆的条件（共2小题）（常考点） 2 考点03 点与圆的位置关系（共2小题） 3 考点04 直线与圆的位置关系（共2小题）（重点） 4 考点05 圆的弦长问题（共2小题） 5 考点06 到直线距离为定值的圆上的点个数（共2小题） 6 考点07 圆的切线问题（共3小题）（重点） 8 考点08 两圆的位置关系（共2小题）（重点） 9 考点09 两圆的公共弦（共2小题）（常考点） 11 考点10 最短弦问题（共2小题） 12 考点11 动点最短距离问题（共3小题）（常考点） 13 考点12 圆与光学知识的交汇（共2小题） 15 考点13 切点弦、切线长问题（共2小题）（难点） 17 考点14 公切线问题（共2小题）（常考点） 18 考点15 圆的实际应用（共3小题） 19 考点16 圆的创新题（共3小题）（难点） 22 考点01 求圆的方程（共3小题） 1．（25-26高二上·河南·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点即所求圆的圆心，两圆半径相同，得到所求圆. 【详解】由，得圆心为，半径， 设圆心关于直线的对称点为， 则 解得 故所求圆的方程为． 故选：C. 2．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 3．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 考点02 二元方程表示圆的条件（共2小题） 4．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 5．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 考点03 点与圆的位置关系（共2小题） 6．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到圆的标准方程为，根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆的方程为， 可得圆的标准方程为，所以，解得， 因为点在圆外，可得， 整理得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 考点04 直线与圆的位置关系（共2小题） 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离小于半径可得； 【详解】圆的标准方程是， 圆心， 由题得， 解得． 故选：D. 9．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 考点05 圆的弦长问题（共2小题） 10．（24-25高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则这样的圆C的面积（   ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】C 【分析】设，根据半径相等建立等量关系可得，则圆C半径为，根据范围可得结果. 【详解】 如图，圆C与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于两点（点在点的上方）， 设，则线段中点坐标为，线段中点坐标为 ∵，∴， 由得，， 整理得，即， 由得，， ∴圆的半径，即圆的半径无最大值，有最小值1， ∴圆C的面积无最大值，有最小值. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用半径相等分析出圆心横、纵坐标之间的关系，结合范围即可得到答案. 11．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的方程为，依题意可得，，再由点在圆上，即可得到，从而得到圆为，求出圆过定点坐标，从而求出定弦长. 【详解】设圆的方程为，因为圆过，两点， 且，两点的横坐标满足方程， 所以，， 所以圆的方程为， 又在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为， 即， 令，解得或， 即圆恒过点和，又，所以该定值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出圆的方程为，从而求出圆过定点坐标. 考点06 到直线距离为定值的圆上的点个数（共2小题） 12．（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【答案】D 【分析】结合题意，利用点到直线的距离公式列式求解，再进行验证即可. 【详解】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动. 圆心到直线的距离，令，则. ①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，， 与圆的三个交点是，，，满足题意. ②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意. 综上，. 故选：D. 13．（22-23高二上·江苏连云港·期末）设为实数,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆上三个点到直线的距离等于1,可得圆心到直线的距离为2-1=1,利用点到直线的距离公式解出即可. 【详解】解:由题知圆的方程为, 所以圆心为,半径为, 因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线的距离为即可, 直线方程为:, 所以圆心到直线的距离为:, 解得, 故当时, 圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1． 故选:D 考点07 圆的切线问题（共3小题） 14．（2024高二·全国·专题练习）过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论；当斜率不存在时，直线与x轴垂直，只需判断圆心到直线的距离是否等于半径即可；当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， ∴所求切线方程为. 综上，切线方程为或. 故选：D. 15．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）过直线所过的定点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题意求出切点，利用线段垂直的性质求出，再利用直线方程的点斜式求解方程即可. 【详解】将直线变形为， 故直线过定点，我们把进行化简， 得到圆的标准方程是，圆心，半径为1， 显然过点的直线是圆的切线，从而求得切点， 根据题意，可知直线与直线垂直，又直线的斜率， 由，解得， 所以直线的方程为，即，故B正确. 故选：B 考点08 两圆的位置关系（共2小题） 17．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若圆与圆相交，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆心距离与两圆半径关系求解． 【详解】由已知，，两圆半径分别为，， 而两圆相交，则，解得． 故选：D． 18．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将表示的坐标重新表示为线段长度从而方便正切公式的计算，是解决本题的关键. 考点09 两圆的公共弦（共2小题） 19．已知圆和圆相交，则圆和圆的公共弦所在的直线恒过的定点为（    ） A．(2，2) B．(2，1) C．(1，2) D．(1，1) 【答案】B 【分析】根据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，圆和圆相交， 则， 则圆和圆的公共弦所在的直线为，变形可得， 则有，则有，即两圆公共弦所在的直线恒过的定点为， 故选：B． 20．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解. 【详解】由圆和圆， 可得圆和的公共弦所在的直线方程为， 联立，解得，即点 又因为点在直线上，即 ， 又由原点到直线的距离为 ， 即的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题. 考点10 最短弦问题（共2小题） 21．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A．5 B．4 C．10 D．2 【答案】C 【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可. 【详解】由， ，即过定点， 由得，半径， 则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小， 最小值为. 故选：C      22．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长即可得解. 【详解】由题意直线可化为，则直线过定点， 点代入圆可得，所以点在圆内， 又圆半径，圆心， 所以当时，直线被圆截得弦长最短，即， 当过圆心时，直线被圆截得弦长最长，即， 所以， 故选：B. 考点11 动点最短距离问题（共3小题） 23．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知圆上的动点和定点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取点，连接，由，可得，推 出，在中，，推出的最小值为的长. 【详解】 如图，取点，连接， ，， ，， ， ， 因为,当且仅当三点共线时等号成立, 的最小值为的长， ， ，故选D. 24．（21-22高二上·江苏无锡·期中）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】作出关于直线的对称圆，把转化到与直线同侧的，数形结合找到取最大值的位置，求出的最大值. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为3，圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，则 ，解得：，故圆B的圆心为，半径为1，由于此时圆心A与圆心B的距离为4，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为 故选：C 25．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点为圆上的一个动点，点为圆上的一个动点，为坐标原点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】取点，则，将的最小值转化为距离，即可得到所求. 【详解】由题意可知：圆A的圆心，半径为，圆B的圆心，半径为， 为圆上一动点，为圆上一动点， 为坐标原点， 取，由，可得，则， 因为，当且仅当在线段上时，等号成立， 可得 ， 当且仅当在线段上时，等号成立， 综上所述：，当且仅当在线段上时，等号成立. 故选：D.    考点12 圆与光学知识的交汇（共2小题） 26．（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是 A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据反射对称性以及圆的性质确定最短路径，再根据两点间距离公式得结果. 【详解】点关于轴对称点为点,则所求最短路径的长度为，选C. 【点睛】本题考查反射对称性以及圆的性质，考查基本分析求解能力，属中档题. 27．（多选）（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C．若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D．存在两条反射光线与圆相切 【答案】ACD 【分析】对A：判断该直线是否过圆心即可得；对B：判断该直线是否过点及圆心关于轴对称的点即可得；对C：借助切线的性质及两点间距离公式计算即可得；对D：借助切线的性质计算即可得. 【详解】对A：由可知圆心为， 直线过点，故圆关于直线对称，故A正确； 对B：若圆关于反射光线对称，则反射光线过圆心， 即入射光线过点及圆心关于轴对称的点， 当时，，故点不在上， 即入射光线所在直线的方程不为，故B错误； 对C：反射光线必过点关于轴对称的点， 且从点到切点所经过的路程与到切点所经过的路程相等， 由切线性质可得该路程为，故C正确； 对D：设反射光线的方程为，即， 则有，即， ，故该方程有两个不同解， 即存在两条反射光线与圆相切，故D正确. 故选：ACD. 考点13 切点弦、切线长问题（共2小题） 28．（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设点，求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线的方程，然后可知直线过定点，最后判断和计算可得结果. 【详解】设，则， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减，得到直线的方程为：， 又，可得，即， 可得，解得，所以直线恒过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离，， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：A. 29．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 30．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（   ） A．8 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的切线长公式以及点到圆的距离的位置关系求解. 【详解】由题，圆，圆， 所以圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下， 因为, 由几何性质可知，当的坐标为时，有最大值为， 此时最大，最大值为， 故选:C. 考点14 公切线问题（共2小题） 31．（18-19高一下·江西上饶·阶段练习）在坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为1的直线共有条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】转化为求圆A（圆心为A，半径为2）与圆B（圆心为B，半径为1）公切线的条数，再根据圆A与圆B位置关系即得结果. 【详解】设， 则所求直线为圆A与圆B的公切线， 因为，所以圆A与圆B外离，所以圆A与圆B的公切线有4条，即满足条件的直线有4条，选A. 32．（16-17高三·北京·强基计划）已知圆均过点，且其半径之积．若x轴是的公切线，且的另一条公切线l通过原点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心连线所在直线的倾斜角为，则两圆的半径满足方程，根据条件可求角的正切值，进而利用二倍角公式求得直线的斜率. 【详解】  设圆心连线所在直线的倾斜角为，则为锐角， 且圆的方程为， 其中r分别取，于是 整理可得， 因此，是， 进而直线l的斜率. 故选:B 考点15 圆的实际应用（共3小题） 33．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 34．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 35．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得. 【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C    考点16 圆的创新题（共3小题） 36．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】由题设，令，则， 所以，则，即， 又，即在圆外，，即在圆外， 由，当且仅当共线上等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 37．（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆，的切线，切点分别为，，若存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆圆心和半径，利用，可求点轨迹方程为圆，又在直线上，结合圆心到直线的距离小于等于半径可求的取值范围. 【详解】由题意，，，，设，若，，则， ，，即， 圆心坐标为，半径为， 动点在直线上，存在点满足， 直线与圆有交点， 圆心到直线的距离，， 即实数的取值范围是. 故选：C． 38．（25-26高二上·全国·单元测试）我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图1为一种证明勾股定理时构造的图形（由一个直角三角形和三个正方形构成），若图中，，，现以点C为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图2所示，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一，满足均可） 【分析】计算点D到三个正方形顶点的距离，再数形结合即可求出半径的范围. 【详解】由题图可得，，，，，， 所以，． 连接DC，DE，DF，DM，DN，DQ，DP， 在中，，则， ，， ，， 则点D到三个正方形顶点的距离分别为，，，，，，，， 因为恰有2个顶点在圆D外部， 所以圆D的方程为． 故圆D的一个标准方程可以为．    故答案为：（答案不唯一，满足均可） 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与圆的方程 考点01 求圆的方程（共3小题） 1 考点02 二元方程表示圆的条件（共2小题）（常考点） 2 考点03 点与圆的位置关系（共2小题） 2 考点04 直线与圆的位置关系（共2小题）（重点） 2 考点05 圆的弦长问题（共2小题） 2 考点06 到直线距离为定值的圆上的点个数（共2小题） 3 考点07 圆的切线问题（共3小题）（重点） 3 考点08 两圆的位置关系（共2小题）（重点） 3 考点09 两圆的公共弦（共2小题）（常考点） 3 考点10 最短弦问题（共2小题） 4 考点11 动点最短距离问题（共3小题）（常考点） 4 考点12 圆与光学知识的交汇（共2小题） 5 考点13 切点弦、切线长问题（共2小题）（难点） 5 考点14 公切线问题（共2小题）（常考点） 5 考点15 圆的实际应用（共3小题） 5 考点16 圆的创新题（共3小题）（难点） 6 考点01 求圆的方程（共3小题） 1．（25-26高二上·河南·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 考点02 二元方程表示圆的条件（共2小题） 4．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点03 点与圆的位置关系（共2小题） 6．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点04 直线与圆的位置关系（共2小题） 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点05 圆的弦长问题（共2小题） 10．（24-25高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1，截y轴所得弦长为2，则这样的圆C的面积（   ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 11．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 考点06 到直线距离为定值的圆上的点个数（共2小题） 12．（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 13．（22-23高二上·江苏连云港·期末）设为实数,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则的值是（    ） A． B． C． D． 考点07 圆的切线问题（共3小题） 14．（2024高二·全国·专题练习）过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 15．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 16．（24-25高二上·全国·课后作业）过直线所过的定点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 考点08 两圆的位置关系（共2小题） 17．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若圆与圆相交，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点09 两圆的公共弦（共2小题） 19．已知圆和圆相交，则圆和圆的公共弦所在的直线恒过的定点为（    ） A．(2，2) B．(2，1) C．(1，2) D．(1，1) 20．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点10 最短弦问题（共2小题） 21．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A．5 B．4 C．10 D．2 22．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 考点11 动点最短距离问题（共3小题） 23．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知圆上的动点和定点，则的最小值为 A． B． C． D． 24．（21-22高二上·江苏无锡·期中）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 25．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点为圆上的一个动点，点为圆上的一个动点，为坐标原点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点12 圆与光学知识的交汇（共2小题） 26．（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是 A．4 B．5 C． D． 27．（多选）（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．若圆关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为 C．若反射光线与圆相切，则这条光线从点到切点所经过的路程为 D．存在两条反射光线与圆相切 考点13 切点弦、切线长问题（共2小题） 28．（24-25高二上·湖北·期中）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线距离的最大值（    ） A． B． C． D． 29．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 30．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（   ） A．8 B．7 C． D． 考点14 公切线问题（共2小题） 31．（18-19高一下·江西上饶·阶段练习）在坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为1的直线共有条 A．4 B．3 C．2 D．1 32．（16-17高三·北京·强基计划）已知圆均过点，且其半径之积．若x轴是的公切线，且的另一条公切线l通过原点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 考点15 圆的实际应用（共3小题） 33．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 34．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 35．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 考点16 圆的创新题（共3小题） 36．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆，的切线，切点分别为，，若存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·全国·单元测试）我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图1为一种证明勾股定理时构造的图形（由一个直角三角形和三个正方形构成），若图中，，，现以点C为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图2所示，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．（写出一个即可）    7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $