专题05 期中真题百练通关（6大压轴题型）（期中专项训练）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题05 期中真题百练通关（6大压轴题型） 题型1 数的整除 题型4 有理数新定义运算 题型2 分数的运算 题型5 规律探索题 题型3 有理数相关概念与运算 题型6 与数轴和绝对值有关解答综合题 题型一 数的整除（共6小题） 1．（2024-2025学年六年级上 上海市闵行区七宝第三中学期中）以下结论中，正确的有（   ） ①因为，所以是的倍数；②所有的偶数都是合数；③正整数中不是素数就是合数；④任意两个数的积一定是这两个数的公倍数；⑤一个合数至少有3个因数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①因为，所以是的3倍，说法错误，由于和是小数； ②不是所有的偶数都是合数，说法正确； ③正整数中不是素数就是合数，说法错误，1不是素数也不是合数； ④任意两个非0自然数的积一定是这两个数的公倍数，原说法错误； ⑤一个合数至少有3个因数，说法正确； 故选：B． 2．（2024-2025学年六年级上上海市杨浦区期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是 ． 【答案】6432 【详解】解：∵可选数字没有0， ∴2和5不能同时出现． 若选了3，则所选数字的和必须为3的倍数， 若选了4，则所组成的数字最后两位是4的倍数， 若同时选择了2和3，则同时被2、3整除的数必为6的倍数， 为了使得所排的数尽可能大，应让6在第一位，同时考虑以上因素，最大值为6432． 故答案为：6432． 3．（2024-2025学年六年级上上海市松江区期中）对于最简真分数A，规定表示分子与分母的最大公因数，表示分子与分母的最小公倍数，若最简真分数满足，那么 ． 【答案】13 【详解】解：由题意可知， ∵最简真分数A，规定表示分子与分母的最大公因数， ∴， 同理， 又∵， ∴， 即9与m的最小公倍数是117，而， ∵是真分数， ∴， 故答案为：13． 4．（2024-2025学年六年级上上海市民办永昌中学期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 ． 【答案】 【详解】解：∵28的正因数有：1，2，4，7，14，28；其中真因数为1，2，4，7，14， ∴28的“完美指标”为． 故答案为：． 5．（2024-2025学年六年级上上海市部分学校期中）阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如，）；我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组；如：对于假分数，则，，，，所生成的自然数组为，请回答： (1)求分数所生成的自然数组？ (2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？ 【详解】（1）解：∵，，，， ∴所生成的自然数组为； （2）解：∵，，，， ∴假分数生成的自然数组为． 6．（2024-2025学年六年级上上海市风华初级中学期中）晓风在学习《数的整除》这一章节后，对于找一个合数的因数进行了研究（如下表所示）： 整数 分解素因数 素因数 所有因数 素因数个数 因数个数 4 2、2 1、2、4 2 3 6 2、3 1、2、3、6 2 4 8 2、2、2 1、2、4、8 3 4 12 2、2、3 1、2、3、4、6、12 3 6 90 2、3、3、5 1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90 4 12 216 2、2、2、3、3、3 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216 6 16 (1)观察表格，晓风发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解质因数， 例如：，它有________个因数，分别是________； （且q是素数），它有________个因数，分别是________； (2)进一步观察因数的个数和素因数个数之间的关系，填空： 若（其中p为素数），则a的因数个数为________； 若 （其中p为素数，m为正整数）．则b的因数个数为________；（用含字母m的式子表示） 若（其中p、q为不同大小的素数），则c的因数个数为________． 【详解】（1）解：因为， 所以的因数为，，，，，， 所以因数个数为个，分别是，，，15，25，75； 因为， 所以的因数为，，，， 所以因数个数为个，分别是，，，； （2）解：因为， 所以a的因数为，p， ，故因数个数为个； 因为， 所以b的因数为，p， ，，，故因数个数为个； 令其中，， 因为， 所以x的因数为，p， ，，，故因数个数为8个； 因为， 所以y的因数为，q， ，，，故因数个数为9个； 所以的因数个数为（个）． 题型二 分数的运算（共7小题） 7．（2024-2025学年六年级上上海市崇明区九校联考（五四制）期中）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助图（1），可以把算式转化为＝36，请你观察图（2），可以把算式转化为 ． 【答案】 【详解】根据图2，可得 故答案为： 8．（2024-—2025学年六年级上上海市民办扬波中学期中）瓶内装满一瓶水，第一次倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，第二次倒出全部溶液的，又用酒精灌满，第三次倒出全部溶液的，再用酒精灌满…依此类推，一直到第九次倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的 ． 【答案】 【详解】解：把一瓶溶液看作单位“1”， 第一次倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，则此时瓶内水占溶液的 第二次倒出全部溶液的，又用酒精灌满，则此时瓶内水占溶液的； 第三次倒出全部溶液的，再用酒精灌满，则此时瓶内水占溶液的； 第九次倒出全部溶液的，再用酒精灌满，则此时瓶内水占溶液的 那么这时的酒精占全部溶液的． 故答案为：． 9．（2024-2025学年六年级上上海市交大附中附属嘉定德富中学期中）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要5小时，单开丙管需要3小时；排一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开，每次开1小时，则 小时后水开始溢出水池． 【答案】 【详解】解：由题意可得， 打开甲水管1小时后池内的水为：， 打开乙水管1小时后池内的水为： 打开丙水管1小时后池内的水为：， 打开丁水管1小时后池内的水为：， 则第二次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第三次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第四次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第五次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第六次按甲、乙、丙的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 设第6次，丙打开小时，水池内的水正好满了， ， 解得， 每次需要4小时， 水开始溢出水池的时间为：（小时）， 故答案为：． 10．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）如图1， 长方形的长是 分米，宽是长的 ． (1)求长方形的周长． (2)如图2，点E在边上，若三角形的面积比三角形的面积多平方分米，求三角形的面积是多少平方分米？ 【知识点】分数的四则混合运算 【详解】（1）解： (分米) ∴长方形的周长是分米． （2）解： (平方分米) (平方分米) ∴三角形的面积是平方分米． 11．（2024-2025学年六年级上上海市崇明区九校联考（五四制）期中）阅读与理解： 我们把形如（n是正整数，）的分数叫做单位分数，如 (1)任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①把写成两个单位分数之和：_______． ②把（n是正整数，）写成两个单位分数之和：_______． (2)某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①在单位分数中，能按上述要求拆分的有________个． ②若在单位分数中，能按上述要求拆分的有30个，则n的最大值为________． 【答案】(1)①；② (2)①9；②991 【详解】（1）解：①； ②由题意可得：； （2）①在单位分数中，可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差的分数，其分母有，，，，，，，，共9个， ∴能按上述要求拆分的有9个； ②∵能按上述要求拆分的有30个， ∴其分母有，，，…，， 又， ∴n的最大值为． 12．（2024-2025学年六年级上上海市宝山区期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 【答案】(1)， (2) (3)+，+ 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2） 故答案为：； （3）， ， 故答案为：，． 13．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）【综合与实践】体重调查 党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写） 来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是 中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校六年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有六年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值， 再参照数值标准分成四组： A.； B.；C.； D. ． 将所得数据进行收集、整理、描述． 六年级10 名男生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 （m） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72 体重 （） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5 21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 266 30.6 六年级 10 名女生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 （m） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62 体重 （） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8 21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8 整理、描述数据 六年级 20 名学生统计分布表（素材1） 组别 男生数 女生数 A 3 2 B 4 6 C t 2 D 1 0 素材2 表一  60分钟各项运动消耗热量表 运动 骑车 快跑 慢跑 爬楼梯 游泳 热量变化（卡） 素材3 表二 常见食物摄入热量表          食物 炸薯片 方便面 猪肉 巧克力 曲奇饼 虾 热量变化（卡/100g） 任务1 （1）______________， ______________． 任务2 已知该校六年级有男生260人，女生240人． ①估计该校六年级男生偏胖的人数； ②估计该校六年级学生的人数 任务3 （3） 针对目前中学生中肥胖率偏高的实际情况，李老师和同学们一同分析了形成这些问题的原因，多数学生喜欢吃一些零食、炸薯条，汉堡等含高糖、高脂和高热量的食品，还有一些学生根本就不正常吃饭， 根据素材2，3提供的信息，请给六年级同学提出一些关于饮食方面的建议，并制订适合他们的体育锻炼方案． 【详解】任务1：解：根据题意：， 由统计表得：内，， 故答案为：22；2； 任务2：解：①男生偏胖的人数为：（人）， ②六年级学生的人数为：（人）； 任务3：解：对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼． 题型三 有理数相关概念与运算（共14小题） 14．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于其本身的有理数只有1；�④平方等于其本身的有理数只有1．其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．大于2个 【答案】B 【详解】①绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故本小题错误； ②相反数等于其本身的有理数只有零，正确； ③倒数等于其本身的有理数是1和-1，故本小题错误； ④平方等于其本身的有理数是0和1，故本小题错误； ∴正确的说法只有②这1个． 故选B． 15．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：当互为相反数时，，但， 故（1）错误； 若，则，故（2）正确； 当a为负数时，若，则， 故（3）错误； 当a为负数，若，则， 故（4）错误； 综上可知，正确的个数有1个， 故选B． 16．（2024-2025学年六年级上上海市建平实验地杰中学期中）下列表述中正确的个数是（    ） ①存在绝对值最小的数；②任何数都有倒数；③若，则；④绝对值是它本身的数一定是正数；⑤数轴上离原点越远的点表示的数越大；⑥到原点距离相等的点所表示的数相等；⑦零没有相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①存在绝对值最小的数，且为0， 故①正确； ②0没有倒数， 故②错误； ③若，则， 故③正确； ④绝对值是它本身的数是非负数， 故④错误； ⑤数轴上，原点的左侧，离原点越远的点表示的数越小， 故⑤错误； ⑥到原点距离相等的点所表示的数相等或相反数， 故⑥错误； ⑦零相反数时零 故⑦错误． 故选：B． 17．（2024—2025学年六年级上上海交通大学附属闵行马桥实验学校 期中）一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处， 第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的处， …… 则跳动n次后，即跳到了离原点即跳到了离原点的处， 则第6次跳动后，则的长度是 故选D 18．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区期中）如图，点、、在数轴上表示的数分别为、、，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由题意可知：， ，故①错误； ∵， ∴． ∵，， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴， ，③正确； ∵， ∴ ，④错误， ∴正确的个数有2个． 故选B． 19．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）已知a，b，c是非零有理数，式子的值为 ． 【答案】±3，±1 【详解】解：当全为正时，a＞0，b＞0，c＞0时，==1+1+1=3； 当全为负时，a＜0，b＜0，c＜0时，==-1-1-1=-3； 当两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0时，=＝1+1-1＝1； 当两负一正时，不放设a＜0，b＜0，c＞0时，=＝-1-1+1＝-1； 综上可知，式子的值为±3，±1． 故答案为：±3，±1． 20．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 【答案】2 【详解】解：， 有理数，，，中负数为奇数个． ①若有理数，，，有一个负三个正， 则； ②若有理数，，，有三个负一个正， 则； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 21．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）下列四个结论：①是负数；②若，则；③一定比大；④一定比小；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的个数是 个． 【答案】1 【详解】解：若 则是正数， 故①是错误的； 若， ∴； 故②是错误的； 若， 则，， 故③④是错误的； ∵， ∴， 则， 故⑤是错误的； ∵， 则， 故⑥是正确的； 故答案为：1． 22．（2024-2025学年六年级上上海市金山区期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为 ． 0 3 1 【答案】9 【详解】解：由题意解答：，即； ∴，即：，解得：； ，即，解得：； ，解得：； ，即，解得：； 所以． 故答案为9． 23．（2024-2025学年六年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得： 第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：；第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..； ∴每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度， ∵， ∴第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为； 故答案为． 24．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区上海五浦汇实验学校 期中）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，称重的记录如下表： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 2 4 6 n 2 (1)求n的值及这20箱樱桃的总重量； (2)若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元； (3)实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元． （3）根据“销售额＝销售单价×总数量×销售比例”，再用销售额减去进货的总钱数计算即可． 【详解】（1）解：（箱）， （千克）． 答：n的值是5，这20箱樱桃的总重量是203千克． （2）解：（元）． 答：全部售出可获利1075元． （3）解：（元）． 答：是盈利的，盈利466元． 25．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区多校期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式． 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的（填序号）： (2)请你根据材料尝试计算：． 【详解】（1）解：除法当中的除式不能进行加减法分解，解法①是错误的， 故答案为：①； （2）解：原式的倒数为 ， 原式． 26．（2024-2025学年六年级上上海市杨浦区期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 27．（2024-2025学年六年级上上海市风华初级中学期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 【详解】解：分析问题：根据题意， ， ， ， 故答案为：； 解决问题：∵， ， 故答案为：12； 拓展问题：， ∴， ， 或， ∴的倒数为或． 题型四 有理数新定义运算（共12小题） 28．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区多校联考期中 ）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：A、的因数有、、、、、，且，故不是完满数，故不符合题意； B、14的因数有1、14、2、7，且，故14是完满数，故符合题意； C、16的因数有1、16、2、8、4，且，故16不是完满数，故不符合题意； D、18的因数有1、18、2、9、3、6，且，故18不是完满数，故不符合题意； 故选：B． 29．（2024-2025学年六年级上上海市建平实验地杰中学期中）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】解：对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是，①正确，故符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； ∴x，、5的“非负差值运算”的最小值是，②错误，故不符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，③正确，故符合要求； 故选：B． 30．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区多校期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 31．（2024-2025学年六年级上上海市普陀区梅陇中学期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 32．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区多校联考期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 33．（2024-2025学年六年级上上海市松江区期中）现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么 ． 【答案】14 【详解】解：， ． 故答案为：14． 34．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区部分学校联考期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为 . 【答案】3 【详解】解：∵时，，时，， ∴． 故答案为：3． 35．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则 ． 【答案】67 【详解】解：，， ， ． 故答案为：67． 36．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区七宝第三中学期中）定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ． 【答案】2 【详解】，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，， ； ； ； 由此得出：这组数是以，2，为1个顺序循环， ， ， 故答案为：2． 37．（2024-2025学年六年级上 上海市松江区期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 【详解】（1）解：③， ． 故答案为：，； （2）解：把负数的圈奇次方转变为乘方形式，根据负数的奇次方表示奇数个负数的乘积，结果是负数． 故答案为：负数； （3）解： ； （4）解： ． 38．（2024-2025学年六年级上上海市部分学校期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 39．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【详解】（1）解：；； 故答案为：2；； （2）解：对于任何正整数n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，故①错误； ∵，， ∴，故②错误； ，故③正确； ∵表示的是个a相除，而， ∴根据除法计算法则可知，多个非零有理数进行除法计算时，负数的个数为偶数个数，最后的结果的符号为正，即，故④错误； 故答案为：③； （3）解： ， 故答案为：． 题型五 规律探索题（共14小题） 40．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区多校期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 【答案】D 【详解】解：第1个图中有正方形1个， 第2个图中有正方形个， 第3个图中有正方形个， 第4个图中有正方形个， 所以第n个图中有正方形个． 当时，图中有个正方形． 故选：D． 41．（2024-2025学年六年级上上海市部分学校期中）把有理数代入得到，称为第一次操作；再将作为的值代入得到，称为第二次操作；；若，经过第次操作后得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：； 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， 第次操作：， …… ∴经过第次操作后得到的是． 故选：A． 42．（2024-2025学年六年级上上海市普陀区梅陇中学期中）如下，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前个格子中所填整数之和是，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题可知， ， ， ， 解得，，． 相邻三个格子的数是，和，三个数的和是， 即连续三个格子的和是． ， 而，说明格子有． 故答案为：． 43．（2024-2025学年六年级上上海市市西初级中学期中）观察下列等式：，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】0 【详解】解：∵，，，，…… ∴的尾数7，9，3，1循环， ∴，每个周期个位数字之和的个位数字为0， ∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同，为0， ∴的结果的个位数字是0， 故答案为：0． 44．（2024-2025学年六年级上上海市风华初级中学期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴可推导一般性规律为：， ∴， ， ， …… ， ， 将等式左右同时相加得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 45．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区期中）观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是 ． 【答案】9 【详解】解：，，，，，，，． 其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ， 的末尾数字与的尾数相同为2， ，，，，，，，，， 其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ， 的末尾数字与的尾数相同为7， 的末位数字是9， 故答案为：9． 46．（2024 -2025学年六年级上上海市普陀区期中）观察下列等式：，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：． (2)计算：． 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，（n为正整数）， ∴， 故答案为：19；21； （2）解： ． 47．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区七宝第三中学期中）；；． (1)请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果） ______________________；_____________________． (2)利用以上所得的规律进行计算：． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，；，； （2）解： ． 48．（2024-2025学年六年级上上海市浦东外国语学校期中）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)根据上述规律写出第6个等式： (2)第n个等式： （用含n的式子表示） (3)计算： 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 所以第n个等式可表示为：（n为正整数）． 当时， 第6个等式为：． （2）解：由（1）知， 第n个等式为：（n为正整数）． 故答案为：（n为正整数）． （3）解： ． 49．（2024—2025学年六年级上上海市虹口区期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 【详解】（1）解：①由题意可知，； 故答案为：99，100； ②， 故答案为：99，101； （2）解：① ． ② ， 故答案为：． 50．（2024—2025学年六年级上上海市实验学校西校期中）观察下列等式． ，，， (1)直接写出计算结果： ___________ (2)探究并计算： (3)计算： ． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2） ； （3）， ， 则 ． 51．（2024-2025学年六年级上上海市金山区期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 即， ∴， ∴； （2）解：， 令①， 等式两边同时乘以，得②， 由①式②式得：， 即， ∴， ∴． 52．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是， 空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以2，得②， 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为______． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为______． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为______． 【详解】（1）解：∵正方形边长为， ∴正方形面积为， ∵①是边长为的正方形纸片面积的一半， ∴①的面积为， 依此论推②的面积为， ③的面积为， 故答案为：； （2）解：由（1）得求 的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为： ， 故答案为：； （3）解：令， 等式两边同时乘以，得， 由②式减去①式，得， ， ； （4）解：令， 等式两边同时乘以，得， ②①得：， ， 即， 故答案为：． 53．（2024—2025学年六年级上上海市虹口区期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  【知识点】有理数四则混合运算 【详解】解：任务1：（1）此“二阶幻圆”的幻和是： ， x处所填的数字是， 故答案为：4，； （2）， 当时，， 当时，， 故答案为：或； 任务2，（1）“此“六角幻星”的幻和是： ， 故答案为：2； （2）“六角幻星”如图： ， ， ， ∵，d，e，f可能取的数为， ∴． 如图， ． 题型六 与数轴和绝对值有关解答综合题（共6小题） 54．（2024-2025学年六年级上上海市金山区期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【详解】解：（）当点向右移动时，；当点向左移动时，， 故答案为：或； （）由题意可知：点到的距离，的距离，到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （）如图， 小明与表姐的年龄差为：（岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 55．（2024-2025学年六年级上上海市嘉定区南翔中学（五四制）期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或5； 故答案为：或5； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：7； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：8；16；． 56．（ 2024—2025学年六年级上上海交通大学附属闵行马桥实验学校期中）已知在数轴上点所对应的数为，点所对应的数为，…，点所对应的数为（为正整数）．请解答下列问题： (1)试写出点和所对应的数并比较它们的大小： _____，______，比较大小：______．（填入“＞”或者“＜”）． (2)如果我们把数轴上的点和点的距离记为且，点和点的距离记为且，…，点和点的距离记为且．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①_____； ②使成立的正整数共有_____个． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①依题意， ； ； ， 依次类推： ． 故答案为：； ②由①得出， ∵ 则， 即， ∵为正整数， ∴当时，则； 当时，则； ∵， ∴， ∵为正整数， ∴使成立的正整数共有个． 故答案为：． 57．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区多校联考期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 58．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区部分学校联考期中）点 A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为 ，则 ，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为，则，点 A 与点B两点之间的距离表示为，请结合数轴，思考并回答以下问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示m和的两点之间的距离是 ； (3)数轴上表示m和的两点之间的距离是4，则有理数m是 ； (4)若x满足，则满足条件的所有整数x的和是 ． 【详解】（1）解：表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：6； （2）解：表示和的两点之间距离是， 故答案为：； （3）解：表示和的两点之间的距离是4，则， 即或， 解得：或 故答案为：3或； （4）解：的所有整数的值为，，，，0，1，2， 满足的所有整数的和为， 故答案为：． 59．（2024 -2025学年六年级上上海市普陀区期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【详解】（1）解：由题意得A，B两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；。 一、填空题 1．两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是72，这两个正整数是 ． 【答案】4，72或8，36 【详解】解：设这两个数分别为，（a，b为正整数，且a与b互质）， 则这两个数的最小公倍数是． 即． 从而． 又， 则，或，（不符合题意舍去）． 当时， ，； 当时， ，． 故这两个数分别为4，72或8，36． 故答案为：4，72或8，36 二、解答题 2．把一块长52厘米，宽40厘米的长方形玻璃，截成边长是整数厘米，面积都相等的正方形，恰无剩余，至少能截成多少块？ 【详解】解：∵， ∴共有的质因数有2，2， ∴52和40的最大公因数是， ∴（块） 故至少能截成130块． 3．如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯，并要求在处各安装一盏路灯，若米，米，问这条街道最少要安装多少盏路灯？ 【详解】解：，， 600和390的最大公因数是：， ， ， 总共需要（盏）， 答：这条街道最少要安装34盏路灯． 4．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务．若由这三人中的一人承担全部打字任务，则甲需要12小时，乙需要8小时，丙需要6小时． (1)若甲乙丙三人同时打字，则需要多少时间完成任务？ (2)如果按甲乙丙，甲乙丙．．．的顺序轮流打字，每一轮中每人各打一小时，需要多少时间完成任务？ (3)能否把（2）中说的顺序作适当调整，其余都不变，使完成这项打字任务的时间比原定方式至少提前半小时？ 【详解】（1）解：小时． 答：需要的时间为小时； （2）解：经过n轮后，三人轮流打字完成的任务为， 由得， 因为n为整数，取最大为2， 2轮后，剩下的任务是 甲做1小时后余打字任务， 乙做1小时后余打字任务， 丙还需做小时， 共需要小时完成任务； （3）解：能， 按照丙、乙、甲的次序轮流打字或按照乙、丙、甲的次序轮流打字． 2轮后，丙做1小时后余打字任务， 乙做1小时后余打字任务，正好完成任务， 共需要小时完成任务． 小时． 5．阅读理解 阅读 以上过程，是逆用异分母分数减法的方法得到：（*） (1)根据以上材料，请你把表示出两个最简分数的差：____________（必须写出推导过程） (2)根据（*）式直接计算 (3)计算 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：∵ ∴， ， ， ， ． 6．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究：除方乘方，直接写出计算结果： ， ； (2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ______； ； ； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ； ③算一算：. 【详解】（1）解：， ， 故答案为，； （2）①解： ； ； ， 故答案为：； ②； 故答案为：； ③ ． 7．先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处？ 问题（2）：有台机床时，应设在何处？ 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）解： ∵∴可以理解为：表示的点到一个1，两个，三个，…，直到2011个的距离之和， 共有： 个点． 设  ． ∵， 现在求 和 的值． 设 ，则 ， 可得 ． 且 ， 故 时， 的值最小．      ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（6大压轴题型） 题型1 数的整除 题型4 有理数新定义运算 题型2 分数的运算 题型5 规律探索题 题型3 有理数相关概念与运算 题型6 与数轴和绝对值有关解答综合题 题型一 数的整除（共6小题） 1．（2024-2025学年六年级上 上海市闵行区七宝第三中学期中）以下结论中，正确的有（   ） ①因为，所以是的倍数；②所有的偶数都是合数；③正整数中不是素数就是合数；④任意两个数的积一定是这两个数的公倍数；⑤一个合数至少有3个因数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024-2025学年六年级上上海市杨浦区期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是 ． 3．（2024-2025学年六年级上上海市松江区期中）对于最简真分数A，规定表示分子与分母的最大公因数，表示分子与分母的最小公倍数，若最简真分数满足，那么 ． 4．（2024-2025学年六年级上上海市民办永昌中学期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 ． 5．（2024-2025学年六年级上上海市部分学校期中）阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如，）；我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组；如：对于假分数，则，，，，所生成的自然数组为，请回答： (1)求分数所生成的自然数组？ (2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？ 6．（2024-2025学年六年级上上海市风华初级中学期中）晓风在学习《数的整除》这一章节后，对于找一个合数的因数进行了研究（如下表所示）： 整数 分解素因数 素因数 所有因数 素因数个数 因数个数 4 2、2 1、2、4 2 3 6 2、3 1、2、3、6 2 4 8 2、2、2 1、2、4、8 3 4 12 2、2、3 1、2、3、4、6、12 3 6 90 2、3、3、5 1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90 4 12 216 2、2、2、3、3、3 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216 6 16 (1)观察表格，晓风发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解质因数， 例如：，它有________个因数，分别是________； （且q是素数），它有________个因数，分别是________； (2)进一步观察因数的个数和素因数个数之间的关系，填空： 若（其中p为素数），则a的因数个数为________； 若 （其中p为素数，m为正整数）．则b的因数个数为________；（用含字母m的式子表示） 若（其中p、q为不同大小的素数），则c的因数个数为________． 题型二 分数的运算（共7小题） 7．（2024-2025学年六年级上上海市崇明区九校联考（五四制）期中）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助图（1），可以把算式转化为＝36，请你观察图（2），可以把算式转化为 ． 8．（2024-—2025学年六年级上上海市民办扬波中学期中）瓶内装满一瓶水，第一次倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，第二次倒出全部溶液的，又用酒精灌满，第三次倒出全部溶液的，再用酒精灌满…依此类推，一直到第九次倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的 ． 9．（2024-2025学年六年级上上海市交大附中附属嘉定德富中学期中）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要5小时，单开丙管需要3小时；排一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开，每次开1小时，则 小时后水开始溢出水池． 10．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）如图1， 长方形的长是 分米，宽是长的 ． (1)求长方形的周长． (2)如图2，点E在边上，若三角形的面积比三角形的面积多平方分米，求三角形的面积是多少平方分米？ 11．（2024-2025学年六年级上上海市崇明区九校联考（五四制）期中）阅读与理解： 我们把形如（n是正整数，）的分数叫做单位分数，如 (1)任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①把写成两个单位分数之和：_______． ②把（n是正整数，）写成两个单位分数之和：_______． (2)某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①在单位分数中，能按上述要求拆分的有________个． ②若在单位分数中，能按上述要求拆分的有30个，则n的最大值为________． 12．（2024-2025学年六年级上上海市宝山区期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 13．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）【综合与实践】体重调查 党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写） 来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是 中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校六年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有六年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值， 再参照数值标准分成四组： A.； B.；C.； D. ． 将所得数据进行收集、整理、描述． 六年级10 名男生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 （m） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72 体重 （） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5 21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 266 30.6 六年级 10 名女生数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 （m） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62 体重 （） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8 21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8 整理、描述数据 六年级 20 名学生统计分布表（素材1） 组别 男生数 女生数 A 3 2 B 4 6 C t 2 D 1 0 素材2 表一  60分钟各项运动消耗热量表 运动 骑车 快跑 慢跑 爬楼梯 游泳 热量变化（卡） 素材3 表二 常见食物摄入热量表          食物 炸薯片 方便面 猪肉 巧克力 曲奇饼 虾 热量变化（卡/100g） 任务1 （1）______________， ______________． 任务2 已知该校六年级有男生260人，女生240人． ①估计该校六年级男生偏胖的人数； ②估计该校六年级学生的人数 任务3 （3） 针对目前中学生中肥胖率偏高的实际情况，李老师和同学们一同分析了形成这些问题的原因，多数学生喜欢吃一些零食、炸薯条，汉堡等含高糖、高脂和高热量的食品，还有一些学生根本就不正常吃饭， 根据素材2，3提供的信息，请给六年级同学提出一些关于饮食方面的建议，并制订适合他们的体育锻炼方案． 题型三 有理数相关概念与运算（共14小题） 14．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于其本身的有理数只有1；�④平方等于其本身的有理数只有1．其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．大于2个 15．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（2024-2025学年六年级上上海市建平实验地杰中学期中）下列表述中正确的个数是（    ） ①存在绝对值最小的数；②任何数都有倒数；③若，则；④绝对值是它本身的数一定是正数；⑤数轴上离原点越远的点表示的数越大；⑥到原点距离相等的点所表示的数相等；⑦零没有相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2024—2025学年六年级上上海交通大学附属闵行马桥实验学校 期中）一点P从距离原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，则的长度是（    ） A． B． C． D． 18．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区期中）如图，点、、在数轴上表示的数分别为、、，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）已知a，b，c是非零有理数，式子的值为 ． 20．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 21．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）下列四个结论：①是负数；②若，则；③一定比大；④一定比小；⑤若，则；⑥若，则．其中正确的个数是 个． 22．（2024-2025学年六年级上上海市金山区期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为 ． 0 3 1 23．（2024-2025学年六年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为 ． 24．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区上海五浦汇实验学校 期中）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，称重的记录如下表： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 2 4 6 n 2 (1)求n的值及这20箱樱桃的总重量； (2)若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元； (3)实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元． 25．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区多校期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式． 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的（填序号）： (2)请你根据材料尝试计算：． 26．（2024-2025学年六年级上上海市杨浦区期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 27．（2024-2025学年六年级上上海市风华初级中学期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 题型四 有理数新定义运算（共12小题） 28．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区多校联考期中 ）对正整数a，表示n个a连乘，如时，，即a的平方，若a的所有因数之积等于a的平方，则称a为完满数，如6的所有因数为1，2，3，6，因为，所以6是一个完满数，则下列数中是完满数的为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 29．（2024-2025学年六年级上上海市建平实验地杰中学期中）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 30．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区多校期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 31．（2024-2025学年六年级上上海市普陀区梅陇中学期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 32．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区多校联考期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 33．（2024-2025学年六年级上上海市松江区期中）现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么 ． 34．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区部分学校联考期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为 . 35．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则 ． 36．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区七宝第三中学期中）定义：是不为1的有理数，我们称为的差倒数．如3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ． 37．（2024-2025学年六年级上 上海市松江区期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 38．（2024-2025学年六年级上上海市部分学校期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 39．（2024-2025学年六年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 题型五 规律探索题（共14小题） 40．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区多校期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 41．（2024-2025学年六年级上上海市部分学校期中）把有理数代入得到，称为第一次操作；再将作为的值代入得到，称为第二次操作；；若，经过第次操作后得到的是（   ） A． B． C． D． 42．（2024-2025学年六年级上上海市普陀区梅陇中学期中）如下，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前个格子中所填整数之和是，则的值为 ． 43．（2024-2025学年六年级上上海市市西初级中学期中）观察下列等式：，，，，……根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 44．（2024-2025学年六年级上上海市风华初级中学期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 45．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区期中）观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是 ． 46．（2024 -2025学年六年级上上海市普陀区期中）观察下列等式：，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：． (2)计算：． 47．（2024-2025学年六年级上上海市闵行区七宝第三中学期中）；；． (1)请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果） ______________________；_____________________． (2)利用以上所得的规律进行计算：． 48．（2024-2025学年六年级上上海市浦东外国语学校期中）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)根据上述规律写出第6个等式： (2)第n个等式： （用含n的式子表示） (3)计算： 49．（2024—2025学年六年级上上海市虹口区期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 50．（2024—2025学年六年级上上海市实验学校西校期中）观察下列等式． ，，， (1)直接写出计算结果： ___________ (2)探究并计算： (3)计算： ． 51．（2024-2025学年六年级上上海市金山区期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 52．（2024-2025学年六年级上上海市青浦区复旦五浦汇实验学校期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是， 空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以2，得②， 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为______． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为______． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为______． 53．（2024—2025学年六年级上上海市虹口区期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  题型六 与数轴和绝对值有关解答综合题（共6小题） 54．（2024-2025学年六年级上上海市金山区期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 55．（2024-2025学年六年级上上海市嘉定区南翔中学（五四制）期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 56．（ 2024—2025学年六年级上上海交通大学附属闵行马桥实验学校期中）已知在数轴上点所对应的数为，点所对应的数为，…，点所对应的数为（为正整数）．请解答下列问题： (1)试写出点和所对应的数并比较它们的大小： _____，______，比较大小：______．（填入“＞”或者“＜”）． (2)如果我们把数轴上的点和点的距离记为且，点和点的距离记为且，…，点和点的距离记为且．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①_____； ②使成立的正整数共有_____个． 57．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区多校联考期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 58．（2024-2025学年六年级上上海市浦东新区部分学校联考期中）点 A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为 ，则 ，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为，则，点 A 与点B两点之间的距离表示为，请结合数轴，思考并回答以下问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示m和的两点之间的距离是 ； (3)数轴上表示m和的两点之间的距离是4，则有理数m是 ； (4)若x满足，则满足条件的所有整数x的和是 ． 59．（2024 -2025学年六年级上上海市普陀区期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 一、填空题 1．两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是72，这两个正整数是 ． 二、解答题 2．把一块长52厘米，宽40厘米的长方形玻璃，截成边长是整数厘米，面积都相等的正方形，恰无剩余，至少能截成多少块？ 3．如图，街道在处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯，并要求在处各安装一盏路灯，若米，米，问这条街道最少要安装多少盏路灯？ 4．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务．若由这三人中的一人承担全部打字任务，则甲需要12小时，乙需要8小时，丙需要6小时． (1)若甲乙丙三人同时打字，则需要多少时间完成任务？ (2)如果按甲乙丙，甲乙丙．．．的顺序轮流打字，每一轮中每人各打一小时，需要多少时间完成任务？ (3)能否把（2）中说的顺序作适当调整，其余都不变，使完成这项打字任务的时间比原定方式至少提前半小时？ 5．阅读理解 阅读 以上过程，是逆用异分母分数减法的方法得到：（*） (1)根据以上材料，请你把表示出两个最简分数的差：____________（必须写出推导过程） (2)根据（*）式直接计算 (3)计算 6．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究：除方乘方，直接写出计算结果： ， ； (2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ______； ； ； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ； ③算一算：. 7．先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处？ 问题（2）：有台机床时，应设在何处？ 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $