6.2.2 排列与排列数学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第二节 排列与排列数 ▶▷ 核心基础导学 ◁◀ 1 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:排列 （1）定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做个不同元素中取出个元素的一个排列. 排列定义的两个要素:一是“取出元素”,二是“将元素按一定顺序排列” （2）相同排列:两个排列相同,当且仅当排列的元素相同,且元素的排列顺序也相同. （3）对排列概念的两个关注点: ①顺序性:每一个排列不仅与选取的元素有关,而且还与元素的排列顺序有关,选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列,只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列. ②选排列与全排列:在定义中规定,如果,一般称为选排列;如果,则称为全排列. ▍知识点2:排列数 定义:从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. ［对应练习:基础1、基础2］ ▍知识点3:排列数公式 （1）乘积形式:. ,并且. （2）全排列:个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列, 即 （3）阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示.于是有（且）;规定: （4）排列数的阶乘形式:（, 且） （5）排列数公式的重要变形 ① ② ③ ［对应练习:基础3］ ▍知识点4:有限制条件排列问题常见类型 （1）解有“相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素必须相邻的排列,通常采用“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列,再考虑这个整体内部各元素间的顺序. （2）解有“不相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素不相邻的排列,通常采用“插空法”,即先排不受限制的元素,使每两个元素之间形成“空”,然后将不相邻的元素进行“插空”. 注意:根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”. （3）解有特殊元素（位置）的排列问题的方法 解有特殊元素或特殊位置的排列问题,一般先安排特殊元素或特殊位置,再考虑其他元素或位置,当以元素为主或以位置为主. （4）定序问题的方法 定序问题采用分类法.个不同元素的全排列有种排法,个元素的全排列有种排法.因此种排法中,关于个元素的不同分法有类.而且每一类的排列法是一样的,当个元素顺序确定时,共有种排法. ［对应练习:题型1—题型3］ ▶练基础 排列的概念 1 【典例▪1】判断正误（正确的写正确,错误的写错误） （1）顺序是判断是否为排列问题的关键点,也是唯一的判断依据.（ ） （2）在排列的问题中,总体中的元素可以有重复.（ ） （3）用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列.（ ） （4）圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题.（ ） 【典例▪2】下列问题是排列问题吗？ （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）; （2）某班40名学生在假期相互写信; （3）会场有50个座位,要求选出3个座位,有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人,又有多少种方法？ （4）平面上有5个点,其中任意3个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 【练习▪3】下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地; ②从10个人中选2人去扫地; ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队; ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算. A.①④ B.①② C.③④ D.①③④ 【练习▪4】（多选）下列问题是排列问题的是（    ） A.把5本不同的书分给5个学生,每人一本 B.从7本不同的书中取出5本给某个同学 C.10个人相互发一微信,共发几次微信 D.10个人互相通一次电话,共通了几次电话 【练习▪5】（多选）从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,下列四个问题属于排列问题的是（ ）. A.相加可得多少个不同的和 B.相除可得多少个不同的商 C.作为椭圆中的a,b,可以得到多少个焦点为x轴上的椭圆方程 D.作为双曲线中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程 ▶练基础 排列的列举表示 2 【典例▪6】从0,1,2,3这四个数字中,每次取出三个不同的数字排成一个三位数,能组成多少个不同的三位数？试用树状图列出所有的三位数. 【典例▪7】由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试用树状图全部列出. ▶练基础 排列数的计算问题 3 1.排列公式的连乘形式常用于计算具体的排列数. 2.排列公式的阶乘形式主要作用是对含有字母的排列数的式子进行变形.注意常用变形: ;; 3.计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时,要注意先提取公因式化简然后计算,这样做可以减少运算量.中隐含了3个条件:,,且的运算结果为正整数,在解与排列数有关的方程或不等式时,要注意未知数的取值范围. ▷角度1:排列数的化简与计算 【典例▪8】计算: （1）; （2）; 【练习▪9】（2024·高二全国）计算______. 【练习▪10】（2024·全国）计算:______. 【练习▪11】（2024·山西大同·高二校考）若,且,则等于（ ） A. B. C. D. 【练习▪12】（多选）下列各式中,等于的是（ ） A. B. C. D. 【练习▪13】（多选）（ ） A. B. C. D. 【练习▪14】（23-24·全国）化简______. 【练习▪15】的值为_________. 【练习▪16】化简:. 【练习▪17】化简＝_____. ▷角度2:证明排列数恒等式 【典例▪18】（23-24·江苏）证明,并利用这一结果化简: （1）; （2）. 【典例▪19】求证:. 【典例▪20】（2024·全国）求证:. 【典例▪21】证明:. 【练习▪22】（2024·高二课时练习）求证: （1）; （2）. 【练习▪23】（2024·高二课时练习）求证: （1）; （2）. ▷角度3:解排列数方程或不等式 【典例▪24】解下列方程:（为自然数） （1） （2） 【典例▪25】解不等式. 【练习▪26】若,求x. 【练习▪27】解方程:.（为自然数） 【练习▪28】解不等式:. 【练习▪29】（1）解不等式:; （2）解方程: 【练习▪30】（2024·全国）设,,则等式中 ______ . 【练习▪31】（2024·高三专题）若不等式成立,则___________. ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 排队问题 1 【典例▪32】（24-25高二·全国）三个女生和五个男生排成一排.根据下列不同的要求,求不同的排列方法种数.（对于所涉及的方法可看知识导学） （1）女生必须全排在一起; （2）女生必须全分开; （3）女生必须全分开,且都不能在两端; （4）男生甲和男生乙不相邻,女生甲和女生乙相邻; （5）男生甲只能在两端位置; （6）两端都不能排女生,可有多少种不同的排法？ （7）两端不能都排女生,可有多少种不同的排法？ （8）男生甲不在最左边,男生乙不在最右边 （9）排成前后二排,前排3人,后排5人; （10）全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变; （11）男生甲、乙之间必须排两个女生,可有多少种不同的排法？ 【练习▪33】6个人排成一排,按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） （1）其中甲、乙必须相邻; （2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻; （3）其中甲不站排头,乙不站排尾; （4）其中甲、乙中间有且只有1人; （5）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）. 【练习▪34】（23-24高二下·全国·课后作业）（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相,则说法正确的是（ ） A.A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有120种站法 B.A与同学不相邻,共有种站法 C.A、C、D三位同学必须站在一起,且A只能在C与D的中间,共有144种站法 D.A不在排头,B不在排尾,共有504种站法 ▍练题型 排数问题 2 【典例▪35】（2024·高二课时）用0、1、2、3、4五个数字. （1）可组成多少个五位数？ （2）可组成多少个无重复数字的五位数？ （3）可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？ （4）可组成多少个无重复数字的五位奇数？ （5）组成没有重复数字的五位数,将这些数字由小到大排列,42130是第几个数？ 【练习▪36】（2022·北京·高二）用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有（ ） A.60个 B.106个 C.156个 D.216个 【练习▪37】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且大于201345的六位数的个数为（ ） A.478 B.479 C.480 D.481 【练习▪38】用数字组成______个没有重复数字并且是的倍数的五位数. 【练习▪39】定义:“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”,比如“1006,2023”,则所有“幸运数”的个数为（ ） A.20 B.56 C.84 D.120 【练习▪40】（多选）用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301、423等都是“凹数”,则下列结论中正确的是（ ） A.组成的三位数的个数为60 B.在组成的三位数中,偶数的个数为30 C.在组成的三位数中,“凹数”的个数为20 D.在组成的三位数中,“凹数”的个数为24 ▍练题型 排列数的应用 3 【练习▪41】某校高一学生进行演讲比赛,原有5名同学参加比赛,后又增加两名同学参赛,如果保持原来5名同学比赛顺序不变,那么不同的比赛顺序有（    ） A.12种 B.30种 C.36种 D.42种 【练习▪42】旅游体验师小李受某网站邀请,决定在甲､乙､丙､丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则他可选的旅游路线的条数为（    ） A.24 B.18 C.16 D.10 【练习▪43】（2023·全国·高三专题）现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位,其中3家商户开特色小吃店,2家商户开文创产品店,一家商户开新奇玩具店,夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻,且文创产品店不相邻,则不同的排法总数为（ ） A.48 B.72 C.144 D.96 【练习▪44】根据新课改要求,某中学对学校的课程进行重新编排,其中对高二理科班的课程科目:语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程,其中每一节课是一个科目）,编排课程要求如下:数学与物理不能相邻,语文与生物要相邻,则针对这六个课程不同的排课顺序共有（ ） A.144种 B.72种 C.36种 D.18种 【练习▪45】（2023·全国·高三专题）“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化,某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座,每部名著安排次讲座,若要求《大学》《论语》相邻,但都不与《周易》相邻,则排法种数为（ ） A. B. C. D. 【练习▪46】一个长椅上共有10个座位,现有4人去坐,其中恰有5个连续空位的坐法共有（   ） A.240种 B.600种 C.408种 D.480种 【练习▪47】（多选）现有一公司面向社会公开招聘,有3名男生和3名女生进入到了最后的面试环节,每人都单独参加面试,下列说法正确的是（    ） A.若三个女生的面试顺序是连续的,则有144种不同的安排方法 B.若男生和女生交替面试,则有36种不同的安排方法 C.若3名女生的面试顺序不同时相邻,则有576种不同的安排方法 D.若男生甲不在第一个面试,男生乙不在最后一个面试,则有504种不同的安排方法 【练习▪48】编号为、、、、的个小球放在如图所示的个盒子里,要求每个盒子只能放个小球,且球不能放在、号盒子里,球必须放在与球相邻的盒子中,则不同的放法有 种. 【练习▪49】（23-24高二·全国·单元）分配5人完成5种不同的工作,如果甲不能完成第一种工作,乙不能完成第二种工作,那么共有多少种分配方法？ 【练习▪50】某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的排节目单的方法种数. （1）一个唱歌节目开头,另一个压台; （2）两个唱歌节目不相邻; （3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻. 【练习▪51】某校举行文艺总汇演.已知初中、高一、高二分别选送了7,5,3个节目.现回答以下问题（用排列数表示,不需要合并化简）： （1）若初中的节目彼此都不相邻,则共有多少种出场顺序？ （2）由于一些特殊原因,高一5个节目（分别为,,,,）中的必须在其余4个节目前面演出,高二3个节目（分别为,,）中的必须在其余2个节目前面演出,则共有多少种出场顺序？ ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且恰有三个相同数字的四位数的个数为（　　） A.9 B.12 C.15 D.18 2.把15人分成前、中、后三排,每排5人,则共有不同的排法种数为（　　） A. B. C. D. 3.一个长椅上共有10个座位,现有4人去坐,其中恰有5个连续空位的坐法共有（   ） A.240种 B.600种 C.408种 D.480种 4.某校高一学生进行演讲比赛,原有5名同学参加比赛,后又增加两名同学参赛,如果保持原来5名同学比赛顺序不变,那么不同的比赛顺序有（    ） A.12种 B.30种 C.36种 D.42种 5.旅游体验师小李受某网站邀请,决定在甲､乙､丙､丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则他可选的旅游路线的条数为（    ） A.24 B.18 C.16 D.10 二、多选题 6.现有一公司面向社会公开招聘,有3名男生和3名女生进入到了最后的面试环节,每人都单独参加面试,下列说法正确的是（    ） A.若三个女生的面试顺序是连续的,则有144种不同的安排方法 B.若男生和女生交替面试,则有36种不同的安排方法 C.若3名女生的面试顺序不同时相邻,则有576种不同的安排方法 D.若男生甲不在第一个面试,男生乙不在最后一个面试,则有504种不同的安排方法 三、填空题 7.某运动会上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有 种. 四、解答题 8.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号？ 9.在和之间由个不同数字组成、且个位数字与千位数字之差的绝对值是的整数个数有多少个？ 10.用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数:按下述要求各有多少个？ （1）偶数不相邻; （2）偶数一定在奇数位上; （3）1和2之间恰夹有一个奇数,没有偶数; （4）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列. $第二节排列与排列数 核心基础导学 【1】(1)正确(2)错误(3)正确(4)错误 解析：(1)判断是否为排列问题就是看是否与顺序有关，正确 (2)根据排列的定义可知，在排列问题中总体内元素不能重复，故错误 (3)根据排列的定义可以判断123与321中数字顺序不同，是不同的排 列，正确. (4)在圆上任取两点作弦与顺序无关，所以不是排列问题，故错误， 故答案为：正确：错误：正确：错误： 【2】(1)不是排列问题 (2)是排列问题. (3)选3个座位不是排列问题：选3个座位安排三位客人是排列问题 (4)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题 解析：(1)来回的票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题 (2)A给B写信与B给A写信是不同的两件事，所以存在着顺序，属于 排列问题. (3)任选3个座位，与顺序无关，不是排列问题：选3个座位安排三位客 人，与顺序有关，故是排列问题 (4)直线与两点的顺序无关，故确定直线不是排列问题，射线与两点的 顺序有关，故确定射线是排列问题 【3】A 解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，①属于排列问 题： ②选出的2人劳动内容相同，无顺序，②不属于排列问题， ③选出5人组成一个篮球队，无顺序，③不属于排列问题， ④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，④属于排列问题 所以属于排列问题的为①④.故选：A 【4】AC 解析：对于A,学生与书都不相同，故与顺序有关，是排列问题，A正确： 对于B,取出5本书后，即确定了取法，与顺序无关，故是组合问题，故E 错误： 对于C,因为是相互发一微信，因此与顺序有关，故是排列问题，C正确： 对于D,因为是互相通一次电话，与顺序无关故是组合问题，D错误 故选：AC 【5】BD 解析：对于A:因为加法满足交换律，所以A不是排列问题：故A错误： 对于B:因为除法不满足交换律，如产，所以B是排列问愿： 对于C:若方程+ =1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b,a,b 的大小关系一定.所以C不是排列问题： 对于D:在双曲线三子1中不管a>6还是a<6方程均表示焦点在 x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故D是排列问题.故选：BD 【6】18个，答案见解析. 解析：画出树形图，如图： 0 由树形图知，符合条件的三位数共有18个， 它们是102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301， 302,310,312,320,321 【7】24个，答案见解析 解析：画出树状图，如图： 由树状图知，所有的四位数 为：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413， 2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312 4321,共24个没有重复数字的四位数. 【8】(1)64:(2)348: 解析：(1)A1+A+A+A4=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64 (2)4A+5A=4×4×3+5×5×4×3=348 【9】 27 A+A4A+A=5A=5A 5 解折：入-元4A-元流97：故答米为： 【10】1 解折：2A+7A A3-A 7g5651 【11】D 解析：因n∈N°且n<20,(20-n)(21-)(22-n)100-n)表示81个连续 正整数的乘积，其中最大因数为100-n,最小因数为20-2， 由排列数公式的意义得结果为4：， 所以(20-n)(21-n)(22-n).100-n)=4。.故选：D 【12】CD ml n! 解析：对选项A,A= (n-m)! n!,故A错误. 对选项B,Aa+≠，故B错误 2! 对选项C,Aa-+可，故C正确 对选项D,nA=n(n-1=n!,故D正确.故选：CD 【13】ABD 解析：A-15A,+14A=15A4-15A4+14A=14A,B正确，C不正确， 4A,二A=14即A,15A4+14A=A=0,A正确，D正确 选：ABD 【14】1 解析： A AF A 合e （2-1 故答案为：1 【15】696 n+3≤2n,解得n=3 解折：由已知可得以+1≤4 所以A-A=A-A=720-24=696 【16】2024!-2 解析：因为nA=(n+1)A:-A=A-Ag(即nnl=(n+1)上n!) 所以原式=3引-2+4！-3+…+2024：2023！=20242. 【17】AH-1 解析：因为A=(k+1)A-A=AH-A 所以A+2A+3A+…+nA=A;-A+A-A++AH-A=AH-1 故答案为：A-1 【18】)证明见详解110：2)1(a+ 解析：(1)解：证明：由l=n×(n-1)×(n-2)××2×1可得 (n+1)1=(n+1)×n!, n(a+1)-1n+1111 则(+a+1a+a++ n(n+1)-1n+1 (2)解：因为a+a+a+++ 所以 言品+士培中 12,3 1 【19】证明见解析 解析：左边=A=n×(n-1)×(n-2)×…3×2×1=n! 右边=AAm=n×(n-1)×(n-2)×.(n-m+1)×(n-m)x…2×1=n!, 所以A”=AA二，即证 【20】证明见解析 n! mxn!(n-m+1)×n+m×nl 解折：证明：A+mAa一ma-m+ (-m+1 (+1y a-m+少A 【21】见解析 解折：石品品 (+1 n! n! (a-m):m)+m=mA ∴.A-A=mA 【22】(1)证明见解析：(2)证明见解析 解析：(1) (n-1月 n×(a-1 [a--m-明-m“-m4=左式， 2! 右式=n4=n× 故等式成立： (2)左式=81-8×747×6！=8-8+7！=7！=A=右式，故等式成立. 【23】详见解析 解析：(1)左边=4#-A=na+1)4-n4=(2+n-n）41=n2A 右边， 结论成立，即AH-A=n2A: (2)当k≤n时， 左边 =a+业！l-a+1mtm: -a+m_a-+m=右 !(k-1 ！(化-1) 色 结论成立即--+四≤】 ！(化-1)1 【24】详见解析 解析：(1)由A2=56,则x(-1)=56,解得x=8。 (2)由A=7A2,,则x(x-1)=7(x-4)(x-5)且x-4≥2，解得x=7或 【25】n=6或n=7 71 7 解折：因为A<12A6a≥3)，所以7-网<12×-8-”- 因为3≤n≤7，所以(9-n)8-n)<12 即n2-17m+60<0,解得5<n<12, 所以5<n≤7，又neN,所以n=6或n=7. 【26】x=5 解析：列方程求解即可. 题取公2+6“则习片， x! x 2(+1) .2(x+1)+6x-1)=3G-1(x-2),则3x2-17x+10=(3x-2(x-5)=0 又xeN,故x=5 【27】x=3 解析：由A1=60A可得2x(2x-1)(2x-2)(2x-3)=60x(x-1)-2) 由于x为大于不小于3的自然数，所以(2x-)(2x-3)=15(-2) 化简得4x2-23x+33=0,解得x=3 【28】{3,4,5} 解析：因为3A≤2A1+6A x! +6× x! x23,x∈N x 23xEN' 解得xe3,4,5},所以不等式解集为{3,4,5} 【29】(1){3,4,5}:(2)x=3 解析：(1)由题意可知，x∈N且x≥3， 因为A=x(x-1)x-2),A,=(x+1)x,A=x(x-1),所以原不等式可 化为3x(x-1)(x-2)≤2x(+1)+6x(x-1),整理得(3x-2)(x-5)≤0，所 以，3≤x≤5，所以原不等式的解集为3,4,5}： 2x+1≥4 (2)易得x23,所以x23,x∈N, x∈V 由A21=1404得(2x+1)2x:(2x-1(2x-2)=140x(-1)(-2), 整理得42-35x+69=0,即(4x-2)0-)=0,解得x=3或x=公（金 去).所以，原方程的解为x=3 【30】8 解析：A。=(35-a)34-a)(33-a)…(36-a-m),28-a=36-a-m, 解得：m=8.故答案为：8 【31】6 解折：46-m,雪8-m 81 8! 8 8: 6-m6×8-m 6 “(7-m)8-m>1,解得：5<m<10 又m+2≤8，即m≤6 5<m≤6 meW产 .m=6 重点题型专练 【32】(1)4320(2)14400(3)2880(4)7200(5)10080(6)14400 (7)36000(8)30960(9)40320(10)6720(11)1440 解析：(1)（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看 成一个整体， 这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A。种不同的排法， 对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A:种不同的排法， 因此共有AA=4320(种)不同的排法. (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好， 每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位， 加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六 个位置中， 只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相 邻 由于五个男生排成一排有A:种不同排法， 对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都 有A种排法， 因此共有A,A=14400(种)不同的排法. (3)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好， 每两个相邻的男生之间留出一个空位，由于两端不能拍女生，所以不算 两端的空位，这样共有四个空位， 再把三个女生插入这六个位置中， 只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相 邻， 由于五个男生排成一排有A:种不同排法， 对于其中任意一种排法，从上述四个位置中选出三个让三个女生插入都 有A种排法， 因此共有A;,A=2880(种)不同的排法 (4)分三步： ①捆绑法，现将女生甲与女生乙摑绑在一起，有A;=2(种)： ②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人（除去男生甲和男生乙）排列， 有A=120(种)： ③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空（共有6个空位 置)，有A2=30(种)， 所以根据分步乘法原理可知共有2×120×30=7200（种）. (5)(位置分析法)先安排甲，左、右两个位置可供甲选择，有A,种排 法， 其余7人全排列，有A,种排法，由乘法原理得共有AA,=10080(种) 排法： (6)方法一（位置分析法），因为两端都不能排女生，所以两端只能挑 选五个男生中的两个， 有A?种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都 有A。种不同的排法， 所以共有A:,A=14400(种)不同的排法. 方法二（元素分析法），从中间六个位置挑选三个让三个生排入，有A: 种不同的排法， 对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A:种不同的排法， 所以共有A:A=14400(种)不同的排法. (7)方法一（位置分析法），因为只要求两端不都排女生，所以如果首 位排了男生， 那么末位就不再受条件限制了，这样可有A;·A?种不同的排法： 如果首位排女生，有A;种排法，那么末位就只能排男生，这样可有 A:·A·A。种不同的排法， 因此共有A;,A+AA;A=36000(种)不同的排法. 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法 从中扣除两端都是女生的排法A:,A。种，就得到两端不都是女生的排 法种数. 因此共有A-A:·A=36000(种)不同的排法 (8)方法一（元素分析法）当甲在右端时，乙可以随意站，则有A?=5040 种站法： 当甲不在左端也不在右端时，有A种，乙不能在右端，故有A:种，剩下 同学随意站有A种， 共有A5×A6×A=25920种， 故甲不在最左边，乙不在最右边，共有25920+5040=30960种站法， 方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法 从中扣除甲在左端的A?种排法和乙在右端的A?种排法， 但甲在左端乙在右端的排法在扣除甲在左端的情况时被扣去一次， 在扣除乙在右端的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次， 由于甲在左端乙在右端有A。种不同的排法， 所以共有A-2A?+A。=30960(种)不同的排法 (9)与无任何限制的排列相同，即8个元素的全排列，有A=40320(种) 排法： (10)(定序排列)8名学生排成一行，分两步： 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为W: 第二步，对甲、乙、丙进行全排列.由乘法原理得A=W×A,所以 元=6720（种）： N= (11)男生甲、乙排好有A;种排法，从三个女生中选两人排在甲、乙之 间有A;种排法， 再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成 一队有A;种排法， 所以共有A,A,A:=1440(种)不同的排法 【33】(1)240(2)144(3)504(4)192(5)120 解析：(1)甲乙相邻，直接将甲乙捆绑，有AA=240种排法： (2)将除甲、乙、丙之外的3人进行全排列，有A;=6种情况，排好后 有4个空位， 在4个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有A=24种情况， 则共有AA=144种排法. (3)甲站在排尾时，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有 A=120种排法， 甲不站在排尾时，则甲有4个位置可选，有A:=4种排法， 乙不能在排尾，也有4个位置可选，有A:=4种排法 剩余4人进行全排列，安排在其他4个位置，有A=24种排法 此时有A4A1A=384种排法： 故甲不站排头，乙不站排尾的排法有A+AA,A=504种 (4)先将甲、乙全排列，有A;=2种情况， 在剩余的4个人中任选1个，安排在甲乙之间，有A:=4种选法， 将三人看成一个整体，与其他3人进行全排列，有A=24种排法 则甲、乙中间有且只有1人共有AA4A=192种排法. （6)定序问题总=120种 【34】ABD 解析：对于A,将A,C,D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有 A兰=120种站法 故A正确： 对于B,先排B,D,E,F,共有A种站法，A与C同学插空站，有A:种站 法， 故共有A,A种站法，故B正确： 对于C,将A,C,D三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2 种情况， 捆绑后有A!种站法，故共有2×A=48种站法，故C错误： 对于D,当A在排尾时，B随意站，则有A;=120种站法： 当A不在排头也不在排尾时，有A种，B有A:种，剩下同学随意站有 A种，共有A×A×A4=384种， 故A不在排头，B不在排尾，共有120+384=504种站法，故D正确： 故选：ABD. 【35】(1)2500:(2)96:(3)20:(4)36;(5)88 解析：(1)各个数位上数字允许重复，首位上不能为0，故采用分步乘法 计数原理， 有4×5×5×5×5=2500个. (2)考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4 种填法， 其余四个位置，4个数字全排列，故共有A4=96个. (3)构成3的倍数的三位数，其各个位上数字之和是3的倍数， 则由0,1,2和0,2,4,1,2,3以及2,3,4组成三位数， 由0，L,2和0,2,4组成的三位数有244=8个， 由12,3以及2,3,4组成三位数有24=12个，故共有8+12=20个： (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有 种填法， 然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还 有3个数 在中间三个位置上全排列，排列数为4，故共有AAA=36个 (5)本小问的本质就是不大于42130的数有多少. 按分类加法计数原理，当万位数字为1、2、3时均满足，共有A4三个 数 当万位数字为4，千位数为0、1时均满足，共有AA个数， 当万位数字为4，千位数字为2，而百位数字为0和1时均满足，共有A4 个，所以42130是第AA+AA+A4=88个数. 【36】C 解析：第一类0在个位，共有4=60种： 第二类，0不在个位，从2、4中选一个数排个位，4种方法： 从余下的数字中选一个排千位，A种方法：再排十位、百位，A种方法： 所以共有A;AA=96种：所以这样的四位偶数共有60+96=156种，所以 C正确：故选：C 【37】B 解析：用数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数的个数为 5A;=600 以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为A:=120, 由于201345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个， 所以没有重复数字且大于201345的六位数的个数为600-120-1=479 故选：B 【38】660 解析：若末位为0，则可组成A:个满足题意的五位数：若末位为5，则可 组成A;A:个满足题意的五位数：·共可组成满足题意的五位数 有：A+A:A=660个. 【39】C 解析：因为各位数字之和为7的四位数叫幸运数，所以按首位数字分别 计算 当首位数字为7，则剩余三位数分别是0,0,0，共有1个幸运数： 当首位数字为6，则剩余三位数分别是1,0,0，共有3个幸运数： 当首位数字为5，则剩余三位数分别是1,1,0：2,0,0，共有3+3-6个幸运 数 当首位数字为4，则剩余三位数分别是21,03,0,01,11，共有 A+3+1=10个幸运数： 当首位数字为3，则剩余三位数分别是3,1,0：4,0,0112：2,2,0 共有A+3+3+3=15个幸运数： 当首位数字为2，则剩余三位数分别是4,1,0：5,0,01,1,33,2,02,2,1， 共有A+3+3+A+3-21个幸运数： 当首位数字为1，则剩余三位数分别是 5,L0:6,0,011442,0:3,2,上3,3,0：2,2,2， 共有A+3+3+A+A+3+1=28个幸运数： 则共有1+3+6+10+15+21+28-84个幸运数：故选：C 【40】BC 解析：对于A,因为百位数上的数字不能为零， 所以组成的三位数的个数为A,A=4×4×3=48,故A不正确： 对于B,将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为0，则有 A=4×3=12种， ②个位数为2或4，则有AAA=2×3×3=18种， 所以在组成的三位数中，偶数的个数为12+18=30，故B正确： 对于C、D,将这些“凹数分为三类，①十位为0，则有=4×3=12种， ②十位为1，则有=3×2=6种， ③十位为2，则有=2×1=2种， 所以在组成的三位数中，“凹数的个数为12+6+2=20，故C正确，D不 正确.故选：BC. 【41】D 解析：定序问题A =42,故不同的比赛顺序共有6×7=42种.故选：D 【42】D 解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选 的路线有A条：②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有2A;条.所以 小李可选的旅游路线的条数为A+2A;=10.故选：D. 【43】B 解析：先把3家小吃店捆绑全排共有A=6种排法， 再把小吃店与玩具店全排共有A:=2种排法， 然后把2家文创店插空全排共有A:=6种排法 所以共有6×2×6=72种故选：B. 【44】A 解析：语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体， 数学与物理不能相邻，采用插空法，后排. 第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列 种类为A: 第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为 A4: 第三步，语文与生物的排列种类为A; 所以，总的排列顺序有A·A·A=6×12×2=144.故选：A 【45】C 解析：先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座 共有A。种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有A 种排法， 排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位， 从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》 的讲座，有A种排法，故总共有AAA种排法，故选：C 【46】D 解析：因为恰有5个连续空位，即5个连续空位与另一个空位中间至少有 1人，至多有4人： 若5个连续空位与另一个空位中间有1人，此时共有AAA192种： 若5个连续空位与另一个空位中间有2人，此时共有AAA-144种： 若5个连续空位与另一个空位中间有3人，此时共有AAA=96种 若5个连续空位与另一个空位中间有4人，此时共有AA=48种： 所以共有192+144+96+48=480种.故选：D. 【47】ACD 解析：对于A选项，不同安排方法种数为A×A=144: 对于B选项，不同安排方法种数为A×A×2=72: 对于C选项，采用间接法，6人的面试顺序的不同安排方法种数为4,3 名女生全相邻时，将3名女生看成一个整体，与3名男生一起看作4个对 象， 共有A×A种不同的安排方法， 所以3名女生的面试顺序不同时相邻时，不同的安排方法种数为 A-AA=576: 对于D选项，采用间接法，6人的面试顺序的不同安排方法种数为A, 男生甲在第一个面试或男生乙在最后一个面试的不同安排方法种数均 为A、 男生甲在第一个面试且男生乙在最后一个面试的不同安排方法种数为 A 则符合条件的安排方法种数为A。-A-4+A=504 故选：ACD 【48】30 解析：若A球放在4号盒子内，则B球可放在2号或3号或5号盒子内 此时共有3A=18种不同的方法： 若A球放在3号或5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，此时共有 2A=12种不同的放法. 综上所述，共有12+18=30种不同的放法.故答案为：30 【49】78 解析：先满足特殊元素，即甲和乙分别不能完成第一和第二种工作，分三 种情况： 第一类：甲、乙分别完成后三种工作中的一种，有AA种： 第二类：甲完成第二种工作，乙完成后三种工作中的一种，有A!A种： 第三类：乙完成第一种工作，甲完成后四种工作中的一种，有A!A种 由分类加法计算原理知，不同的分配方法共有AA+AA+AA=78 种】 【50】(1)1440:(2)30240:(3)2880 解析：试题分析：(1)先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可 得出结论：(2)先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即 可得到结论：(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻， 利用插空法，即可得到结论. 试题解析：(1)AA=1440种排法.(2)AA=30240种排法.（3) AAA=2880种排法， A出 【51】I)A种(2)AixA种 解析：(1)先对高一、高二的节目进行全排列，有A种不同的排法， 再在高一、高二的8个节目形成的9个空隙中选7个排初中的7个节目， 有A种排法， 由分步乘法计数原理可得，共有AA,种不同的出场顺序 (2)高一的5个节目全排列，有A种不同的排法，其中4在其余4个 节目前面，有A种排法. 高二的3个节目全排列有A;种不同的排法，其中B在其余2个节目前 面，有A;种排法。 初中、高一和高二的15个节目全排列有A:种不同的排法。 所以不洞的排法共有AXA×A×A:种 综合巩固提升 1.【答案】B 解析：本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为： -2-2 y2-1-1 1一3一3一3 13-1-1 4-4-4 4-1-1 /2一1 -13-1 1-1-13 由此可知共有12个符合题意的四位数. 故选：B 2.【答案】C 解析：把座位从1到15标上号，问题就转化为15人坐在15个座位上， 共有A:种. 3.【答案】D 解析：因为恰有5个连续空位，即5个连续空位与另一个空位中间至少有 1人，至多有4人； 若5个连续空位与另一个空位中间有1人，此时共有A1AA192种： 若5个连续空位与另一个空位中间有2人，此时共有AAA144种 若5个连续空位与另一个空位中间有3人，此时共有AAA-=96种： 若5个连续空位与另一个空位中间有4人，此时共有AA=48种； 所以共有192+144+96+48=480种. 故选：D. 4.【答案】D 解析：将第6名同学放到原来5名同学形成的6个空中，有6种放法： 将第7名同学放到已经排好的6名同学形成的7个空中，有7种放法， 故不同的比赛顺序共有6×7=42种 故选：D 5.【答案】D 解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选 的路线有A条：②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有2A:条. 所以小李可选的旅游路线的条数为A+2A:=10 故选：D 6.【答案】ACD 解析：对于A选项，不同安排方法种数为4×A=144: 对于B选项，不同安排方法种数为A××2=72； 对于C选项，采用间接法，6人的面试顺序的不同安排方法种数为A,3 名女生全相邻时，将3名女生看成一个整体，与3名男生一起看作4个对 象， 共有A×A种不同的安排方法， 所以3名女生的面试顺序不同时相邻时，不同的安排方法种数为 A-AA4=576: 对于D选项，采用间接法，6人的面试顺序的不同安排方法种数为A, 男生甲在第一个面试或男生乙在最后一个面试的不同安排方法种数均 为A, 男生甲在第一个面试且男生乙在最后一个面试的不同安排方法种数为 Ai 则符合条件的安排方法种数为A。-A-A+A=504 故选：ACD 7.【答案】2880 解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7四条跑道可安排，共有4×3×2=24（种）方法：第二步：安排另外 5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1= 120(种)方法.所以安排这8人的方式共有24×120=2880（种） 8.【答案】15. 解析：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A!种 第二类用2面旗表示的信号有A?种： 第三类用3面旗表示的信号有A种： 由分类计数原理，所求的信号种数 是：+A+A=3+3×2+3×2×1=15 9.【答案】840 解析：将千位数字a与个位数字b的取值记为(a,b),则满足个位数字与 千位数字之差的绝对值是2的所有可能的取值有 (1,3),(2,0),(2,4),(3,1,(3,5）,(4,2）,(4,6),(5,3),(5,7),(6,4) (6,8),(7,5),(7,9),(8,6),(9,7),共15种情况 则百位数字和十位数字有A:=56种情况 .满足题意的整数个数共有15×56=840个 10.【答案】(1)1440：(2)576：(3)720：(4)840 解析：(1)解：因为偶数不相邻， 所以将4个奇数排列有A种方法 产生5个空，将3个偶数排上有A种方法， 所以偶数不相邻共有A1A=1440种方法： (2)先将3个偶数排在奇数位上有种方法， 再将4个奇数排列有A种方法， 所以偶数一定在奇数位上有AA=576种方法： (3)先在1和2之间插上一个奇数有A种方法， 然后看作一个整体和其他数全排列有AAA=720种方法： (4)七个数的全排列有4？种方法，三个偶数全排列有A种方法， 所以三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列有是-840种方法